Климанов Дозиметрическое планирование лучевой ч2 2008

Частным случаем модели, когда можно пренебречь самопоглощением излучения в источнике, является понятие линейного источника.

Пусть такой линейный источник находится в «свободном пространстве» (как приближение – в воздухе) (рис. 4.4). В соответствии с формализмом TG-43 мощность воздушной кермы в точке (r,θ) для цилиндрически симметричного источника равна:

K		(r,θ) = S		G(r,θ)	.	(4.13)
	air		k G(1см,90o )

Рис. 4.4. Геометрия расчета мощности воздушной кермы для линейного источника

Геометрический фактор G(r,θ) для линейного			источника имеет
простое аналитическое выражение:
G(r,θ) = β/(r · sinθ).			(4.14)
Отсюда
Kair (r,θ) = Sk	β	,	(4.15)
	β0 r sin θ

где β и β0 – величины углов, под которыми виден линейный источник из точек (r,θ) и (1см,90о) соответственно (см. рис. 4.4).

В общем случае, когда протяженный цилиндрически симметричный источник находится в среде (рис. 4.5), то мощность дозы в среде (воде или ткани) в алгоритме TG-43 рассчитывается по формуле

	D&(r,θ) = Sk Λ g(r)	G(r,θ)	F (r,θ),	(4.16)
		G(1см,90o )

где F(r,θ) – функция анизотропии источника.

Функция F(r,θ) учитывает изменение величины дозы, обусловленное изменением в конструкции стенок оболочки и самопоглощением в

271

источнике, при перемещении расчетной точки с поперечной оси (r,θ =

=90о) в положение (r,θ). Эта функция включает и влияние поглощения

ирассеяния в среде.

Рис. 4.5. Геометрия расчета мощности дозы в среде от цилиндрически симметричного источника

Таким образом, для расчета мощности поглощенной дозы в соответствии с формализмом TG-43 необходимо иметь численные значения величин Sk, Λ, G(r,θ), g(r) и F(r,θ). Они зависят как от

используемого радионуклида, так и от конструкции источника. Значения этих величин получают в настоящее время или экспериментально, или расчетом с помощью метода Монте-Карло.

4.3.Традиционные методы расчета мощности дозы

вбрахитерапии

Будем называть традиционными те методы расчета пространственных дозовых распределений, которые были разработаны до появления формализма TG-43. Эти методы используются в старых системах планирования и, кроме того, они более удобны для проверочных ручных расчетов.

272

4.3.1. Точечный источник

Рассмотрим метод расчета мощности дозы, основанный на знании воздушной кермы в воздухе, придерживаясь изложения, данного в работе [1].

Пусть известна эффективная активность источника Аapp и постоянная мощности воздушной кермы ΓAKR , тогда мощность

воздушной кермы в воздухе (Kair )air на расстоянии d от источника рассчитывается по формуле (4.6). Следующий шаг – расчет мощности воздушной кермы в воде (Kair )w на том же расстоянии d между

источником и расчетной точкой.

Для источников, испускающих фотоны с энергиями близкими или большими средней энергии 192Ir, отношение (Kair )w /(Kair )air является

медленно изменяющейся функцией расстояния d и может быть достаточно точно аппроксимировано полиномом третьего или четвертого порядка M(d). Отсюда

(Kair ) w = (Kair ) air · M(d).

(4.17)

Рис. 4.6. Зависимость поправки на рассеяние и поглощение фотонов в воде для 192Ir и 137Сs

Полином M(d) учитывает поглощение и рассеяние излучения в воде.

На рис. 4.6 показана его зависимость от расстояния для источников с

192Ir и 137Сs [15].

C первого взгляда может показаться, что радиальная дозовая функция g(r) в формализме TG-43 и поправка на поглощение и рассеяние в воде M(d) идентичны. Однако это не так. Функция g(r)

273

нормируется на расстоянии 1 см, в то время как поправка M(d) нормируется на нулевом расстоянии.

Мощность водяной кермы в воде связана с воздушной кермой в воде через отношение массовых коэффициентов передачи энергии:

(K&			= (K&				µ	tr	w
	)	w		)	w				.	(4.18)
w			air				ρ
									air

Для большинства используемых в брахитерапии нуклидов с энергией выше 200 кэВ отношение массовых коэффициентов передачи

энергии очень близко к 1,11. Для низкоэнергетических нуклидов таких, как 125I и 103Pd это отношение близко к 1,01.

Мощность поглощенной дозы в воде на расстоянии d от источника равна:

D&w = (K&w )w ×(1 − g),

(4.19)

где g – доля от переданной энергии, которая уносится тормозным излучением. В брахитерапии этот эффект обычно игнорируется, так как для применяемых здесь радионуклидов величина g < 0,3 %.

Окончательно уравнение (4.18) может быть записано как:

D&w (d ) = (Kair )air M (d ) (µtr / ρ)airw (1 − g).

(4.20)

Если источник калибруют в единицах мощности воздушной кермы в

воздухе на расстоянии dref , то на расстоянии d значение (K&air (d ))air будет равно

		d		ref	2
&	&
(Kair (d ))air	= (Kair (dref ))air		d		.	(4.21)

Для определения мощности дозы в воде можно использовать выражение:

	w	dref		2
&					. (4.22)
Dw (d) = (Kair (dref ))air M (d ) (µtr / ρ)air (1		− g)	d

В некоторых устаревших руководствах и системах планирования для расчета мощности дозы в воде (ткани) от точечного источника

применяется следующая формула:

T (r)

D&(r,θ) = Α

Γ

f

(θ),

(4.23)

app

med

φ

an

x

r 2

где T(r) – фактор ослабления гамма-излучения нуклида в воде (ткани), учитывающий и ослабление, и рассеяние излучения; φan – фактор

274

анизотропии;

fmed = 0,876 (µen / ρ)airw .

Усреднение

величин

проводится по спектру излучения радионуклида.

Для лучшего понимания различия между формализмом TG-43 и традиционным подходом полезно переписать выражение (4.23) для точечного изотропного источника в другом виде и сравнить с формулой (4.12), выделяя члены, имеющие одинаковый физический смысл:

µen

w

T (r)

1

D&

(r,θ) = [Αapp Γx f ]

T (1 cм)

, (4.24)

2

ρ

T (1 см)

r

air

где f = 0,876 сГр/Р.

Сравнение формул показывает, что выражение в первых квадратных скобках формулы (4.24) играет в формуле (4.12) роль Sk, во вторых квадратных скобках – роль Λ,и в третьих – g(r).

Интересно сравнить относительное изменение мощности поглощенной дозы в воде в зависимости от расстояния до точечных

источников с законом обратных квадратов. Такое сравнение приведенона рис. 4.7 для точечных источников 60Со, 226Ra, 137Cs, 198Au,

192Ir и 125I. Сравнение данных показывает, что на расстояниях ≤ 6 см относительные изменения мощности дозы для 226Ra, 60Co и 137Cs практически совпадают между собой и идут немного ниже закона обратных квадратов. Зависимости же для 192Ir и 198Au фактически совпадают с этим законом вплоть до расстояний ≤ 6 см. И только пространственное распределение дозы для 125I заметно отклоняется от закона обратных квадратов вследствие повышенного ослабления в воде.

275

Рис. 4.7. Сравнение пространственных распределений относительной дозы для точечных источников 60Со, 226Ra, 137Cs, 198Au, 192Ir , 125I и закона обратных квадратов [16, 17]

4.3.2. Линейный источник

Расчет дозового распределения от линейного источника (ЛИ) можно выполнить, представляя последний как суперпозицию точечных источников (рис. 4.8). Рассмотрим ниже три варианта: а) упрощенный случай – ЛИ без капсулы (нефильтрованный источник) в воздухе; б) более сложный случай – ЛИ в капсуле ( фильтрованный источник) в воздухе; в) типовой случай –ЛИ в капсуле в воде.

276

Нефильтрованный линейный источник в воздухе. Геометрия такой задачи представлена на рис. 4.8 Мощность воздушной кермы в воздухе рассчитывается из выражения:

(K	air	)	air	=	Α ΓAKR	(θ −θ	2	),	(4.25)
					L h	1

где Α – полная активность ЛИ; L – длина ЛИ; h – расстояние по перпендикуляру от расчетной точки до линии ЛИ; θ1 и θ2 – углы, показанные на рис. 4.8.

P(x,y)

y

h

θ1 θ2

x

L

Рис. 4.8 Геометрия расчета воздушной кермы в воздухе для линейного источника без капсулы

Рис. 4.9. Геометрия расчета воздушной кермы в воздухе для фильтрованного линейного источника

277

Фильтрованный линейный источник в воздухе. Мощность воздушной кермы в воздухе от бесконечно малого элемента dx источника равняется:

d((K&air )air ) =	Α ΓAKR dx	e	−µ′ t / cosθ	,	(4.26)
	L r 2

где µ’ – эффективный линейный коэффициент ослабления гаммаизлучения нуклида в материале капсулы ЛИ; другие переменные показаны на рис. 4.9.

Введем следующие соотношения:

r = y / cos θ; x = y tan θ; dx = y sec2 θ dθ.

(4.27)

Подставляя (4.27) в (4.26) и интегрируя по длине источника, получим:

(K

где

			θ2		−µ′ t / cos θ	θ1	−µ′ t / cos θ
air )air	=	Α ΓAKR		∫e		dθ − ∫e
		L h						dθ , (4.28)
						0
			0
∫θ e−µ′ t / cosθ dθ				–	интеграл Зиверта, учитывающий ослабление
0

фотонов в материале капсулы; t – толщина стенок капсулы.

Значения интеграла Зиверта имеются в литературе в табулированной форме. Для углов θ < 0,35 радиана (20о) можно использовать следующую аппроксимацию:

∫θ e−µt / cosθ dθ ≈ θ e−µt	(4.29)
0

Отметим, что в формулу (4.28) не включено самопоглощение фотонов в источнике. Учесть этот эффект можно, выделив уже не элемент длины, а элементарный объем в источнике и добавив в (4.26) еще один экспоненциальный множитель вида exp(-µ1·t1), где µ1 – эффективный линейный коэффициент ослабления для спектра фотонов радионуклида в материале источника; t1 – толщина материала источника вдоль луча, соединяющего расчетную точку и элементарный объем. Однако такой случай уже не относится к модели линейного источника, и после такого преобразования интегрирование выражения (4.26) возможно только численное.

Следует также подчеркнуть, что аналитическая форма, даваемая интегралом Зиверта, обычно недооценивает воздушную керму или дозу

врасчетных точках вблизи оси источника. Причина заключается в том,

винтеграле Зиверта не учитывается многократное рассеяние фотонов в

278

источнике и его капсуле. Такой учет возможен практически только в рамках метода Монте-Карло.

Фильтрованный линейный источник в воде. Учитывая предыдущие алгоритмы расчета мощности дозы и кермы для точечного и линейного источников, выражение для расчета мощности дозы в воде в точке P можно записать в виде:

θ2

−μt / cos θ

θ1

−μt / cos θ

Α ΓAKR

∫e

M (r, θ)dθ− ∫e

D(r, θ) =

M (r, θ)dθ

×

L h

0

0

μ

tr

w

(1 − g) ,

×

(4.30)

ρ air

где M(r,θ) – поправочный фактор на поглощение и рассеяние, изменяющийся вдоль длины источника; r – расстояние между точкой P и элементом источника. Интегрирование уравнения (4.29) проводится численно.

4.4. Расчет полной дозы за время облучения

Для заданных значений периода полураспада T1/2 и первоначальной мощности дозы D0 (r) от источника в точке r полная доза за временной интервал [0, t1] определяется из следующего выражения:

t1

−

ln(2) t

−

0,693 t1

(r) e

T1 / 2

T1 / 2

(1 −e

) / ln 2

=

D(r) = ∫D0

dt = D0 (r) T1 / 2

0

−

0,693 t1

=

T1 / 2

).

(4.31)

D0 (r) 1,443

T1 / 2 (1 −e

При небольшом

времени облучения источником с большим

периодом

полураспада

член

exp(-0,693·t1/T1/2)

корректно

аппроксимируется выражением (1– ln(2)·t1/T1/2. В результате формула (4.30) упрощается до следующего вида:

	(r) t1 .	(4.32)
D(r) = D0

Формула(4.32) однаконеприменимакрадионуклидамскороткимпериодом полураспада таким, как 198Au, 125I и 103Pd. Но когда они используются для

постояннойимплантации, тосуммарнаядозабудетравна

	(r) .	(4.33)
D(r) =1,443 T1/ 2 D0

279

4.5.Компьютерное планирование

4.5.1.Определение положения источников

Корректный расчет дозовых распределений возможен только при условии точного определения координат расположения каждого источника по отношению к произвольно выбранному началу системы координат. При небольших расстояниях доминирующее влияние на дозовое распределение оказывает закон обратных квадратов. Локализация источника может быть проведена одним из следующих радиографических методов:

•два ортогональных рентгеновских снимка;

•два стереосдвинутых рентгеновских снимка;

•два/три изоцентрических рентгеновских снимка;

•КТ.

Ручное определение положения источников является непростой и очень трудоемкой задачей, особенно при большом количестве источников. Однако обычно в компьютерных системах дозиметрического планирования брахитерапии имеются алгоритмы автоматического определения координат источников.

4.5.2. Расчет пространственного распределения дозы

Основными алгоритмами в современных системах дозиметрического планирования являются модель точечного источника и модель линейного источника. В большинстве случаев расчет проводится с использованием двумерных таблиц, предварительно рассчитанных для стандартной длины источников, и суммированием вкладов от каждого источника. Для имплантатов в виде гранул в старых системах для каждого источника применялась одномерная аппроксимация модели точечного источника. В современных системах планирования используется формализм TG-43 для линейных источников.

280