Крастелев Мосчные електроимпулсные системы 2008

но, максимум электрической прочности. При заданном значении R2 линия может быть заряжена до напряжения Umax =

= R1Emax = Emaxe R2 .

Таким образом, параметры линии, оптимизированной по напряжению, выклядят следующим образом:

z	в	=	60	;	R =	R2	; U	max	=	Emax R2	.
			ε		1	e				e

Оптимизация по мощности ОФЛ (неполярный диэлектрик)

Оптимизация коаксиальной ОФЛ по мощности предполагает нахождение такого соотношения радиальных размеров электродов линии R2/R1, при котором достигается максимальная мощность импульсов в согласованной нагрузке.

Чтобы провести оптимизацию ОФЛ по мощности, найдем сначала энергию, запасаемую в линии на единице длины при зарядке ее до напряжения U0:

R			R	U02			U02
W1 = ∫2	1	εε0 E2 (r) 2πrdr = πεε0	∫2			rdr = πεε0				.
R1 2			R1	r2 ln2	R2		ln	R2
					R			R
				1				1

При разряде линии на согласованную нагрузку эта энергия будет выделена за время t = 2 εε0μ0 , а значит мощность, развиваемая линией, окажется равной

W

π

ε

ε

0

U 2

P =

1

=

0

.

t

2

μ0 ln

R2

R

1

Так как

μ0 =120π (Ом), выражение для мощности в нагрузке

ε0

приобретает следующий вид:

P =

1

ε

U02

.

240

ln

R2

R

1

71

Зарядное напряжение U0 при заданных геометрических разме-

рах линии R1 и R2 определяется максимально допустимой напряженностью поля

Emax =

U0

,

R ln

R2

1

R1

откуда

U

0

= E

max

R ln

R2

.

1

R1

Таким образом, максимальная мощность линии при заданных ее геометрических размерах равна:

P = 2401 εR12 Emax2 ~ εEmax2 .

Пусть теперь R2 задано и требуется найти такое R1 и, следовательно, zв, при котором P=Pmax (при заданных свойствах диэлектрика ε и Еmax). Экстремум функции P (R1) достигается при

∂P

1

εE2

R R2

R R

=

2R ln

2

−

1

1

2

= 0

,

2

∂R1

240

max

1

R1

R2

R2

R1

откуда

2ln

=1

или

R2

=

e .

R

R

1

1

Таким образом, линия, оптимизированная по мощности, имеет следующие параметры:

30

R

R2

εE2

R2

εE2

z

в

=

;

R =

2

;

P =

1

max

=

2

max

.

ε

1

e

max

480

e 480

Оптимальные волновые сопротивления для линий с полярными диэлектриками

E−

У полярных диэлектриков пр = g >1 . Примем для определен-

Eпр+

ности, что внутренний электрод линии имеет отрицательный потенциал по отношению к внешнему электроду.

72

Значения напряженности электрического поля на внутреннем и

внешнем электродах линии соотносятся как: E(R1) = R2 . Для ли-

E(R2 ) R1

	нии, оптимизированной по напряжению,	R2	= e , т.е. напряжен-
		R
		1

ность поля на поверхности внешнего электрода в e раз меньше, чем на поверхности внешнего. Поскольку для всех используемых на практике диэлектриков коэффициент полярности 1 ≤ g ≤ 2 , т.е.

g < e , то электрическая прочность линии будет определяться на-

пряженностью на внутреннем электроде и полученное ранее выражение сохраняет силу, т.е. оптимальное волновое сопротивление zв = 60ε .

Для линии, оптимизированной по мощности, значение волнового сопротивления принимает различные значения в зависимости от коэффициента полярности:

1) если коэффициент полярности g >

ε =1,65 (например, у во-

R

60

R2 ln g

εE2

ды g = 2),

R =

2

и

z

в

=

ln g , а

P

=

2

max

;

1

g

ε

max

240g2

2) если g < 1,65,

то

R2

=

e =1,65

и

zв =

30

.

R1

ε

Учет эффекта площади

Этот эффект проявляется в зависимости пробивной, а, соответственно, и предельно допустимой напряженности электрического поля от площади поверхности электродов. Для оценки его влияния на выбор оптимального волнового сопротивления воспользуемся формулами Мартина. Из них следует, что максимальная напряженность на отрицательном (как и ранее) внутреннем электроде не

должна превышать E−	=	p−a−	.
max		tэфk Sэфm
	73

С учетом того, что площадь поверхности S = 2πR1l = 2πR1 cε t2и , где с – скорость света в пустоте, tи – дли-

тельность импульса, формируемого линией, получим:

Emax− =			p−a−
					.
		πtиc m
				Rmtk
		ε		1 эф

Пример учета эффекта площади при оптимизации ОФЛ по мощности

Подставляя это соотношение в выражение для мощности, развиваемой линией на согласованной нагрузке, получим:

ε

R2 ln

R

( p−a−)2

R2(1−m) ln

R

P =

2

2

.

R1

πtиc 2m R2mt2k

240

1

1

R1

ε

1

эф

Максимум мощности достигается при:

∂P

R2(1−m)

R

R2(1−m)

2(1

−m)

1

ln

2

−

1

= 0 .

∂R

R

R

R

1

1

1

1

Из решения этого уравнения следует,

что

ln

R2

=

1

,

а

R

2(1− m)

1

оптимальное

волновое сопротивление

z =

60

ln

R2

=

30

в

ε

R1

(1−m)

ε

R2

(Ом), откуда

R1 =

.

1

e

2(1−m)

Соответственно, для такой линии

P

R2 εE2

R2

εE2

= 1

max =

2

max ,

max

480

1

480e2(1−m)

а максимальное зарядное напряжение

74

U

= E R ln

R2

= E

R

1

=

R

2(1−m)

0

max

1

max

1

1

p−a−R

p−a−

R(1−m)

=

1

= 0,5

1

.

πtиc m

Rmtk

2(1− m)

πtиc

m tk

1− m

ε

1 эф

эф

ε

Напомним, что для воды и масла k = 1/3, а m = 0,06 у воды и m = = 0,08 у масла.

Для масла, при g < 1,65 оптимальное волновое сопротивление

	zв =	33,3	реализуется при соотношении радиусов	R2	=1,74 . Для
		ε		R1

воды, у которой коэффициент полярности g = 2, оптимальное зна-

чение zв =5,13 (Ом), а соотношение радиусов R2 = 2,16 .

R1

Учет эффекта площади при оптимизации по напряжению дает следующие значения:

	R		66,7	7,4 Ом,	(вода),
	2	= 3,04 ; zв =		=	(масло).
	R1		ε
				43 Ом,

Оптимизация волновых сопротивлений ДФЛ

Как и ранее будем придерживаться следующих обозначений: R1, Rср, R2 – радиусы внутреннего и внешнего электродов линии (ДФЛ), а zв1 и zв2 – волновые сопротивления внутренней и внешней линий. В общем случае, ДФЛ может быть несимметричной, т.е. волновые сопротивления внутренней и внешней линий могут быть неравными. Более того, как показывает детальный анализ, именно несимметричная ДФЛ обеспечивает получение максимальных значений амплитуды напряжения и мощности импульсов.

Оптимизация ДФЛ по напряжению (без учета эффектов полярности и площади)

Рассмотрим ДФЛ, у которой обе линии имеют одинаковую максимальную напряженность электрического поля (ДФЛ с равнонапряженными линиями). Тогда

75

				Rср				R
	E	max	R ln		= E	max	R ln	2	=U	0
				R				R
			1				ср
				1				ср

–напряжение, до которого заряжены линии.

Внаиболее тяжелых условиях находится внутренняя линия, имеющая меньшие радиальные размеры. Максимальная ее электрическая прочность достигается когда

ln

Rср

=1,

откуда

zв1

=

60

и

Rср

= e .

R1

ε

R1

Учитывая это, получим:

R2

R1

= e

−1

R2

1/e

ln

=

или

= e

=1,44

R

R

R

ср

ср

ср

и

z

в2

= 60

= 22,07 .

ε e

ε

Видно, что в случае равнонапряженной линии zв1 ≠ zв2 , следо-

вательно, в согласованной нагрузке Rн = zв1 + zв2 за время tи выделится не вся энергия, запасенная в линиях.

Действительно, при разряде линии, исходно заряженной до напряжения U0, в согласованной нагрузке Rн = zв1 + zв2 в течение первого импульса длительностью tи выделится энергия

U 2

Wн = zв1 +0zв2 tи .

Энергия, исходно запасенная в обеих линиях, равна

	2	2				zв1 + zв2
Wл =	U0	+	U0	tи =	1U02tи		.
	4zв1				4	zв1zв2
			4zв2

Соответственно, доля энергии, выделяемая в нагрузке за время tи, равна

	η=	Wн		= 4	zв1zв2	,
		Wл			(zв1 + zв2 )2
и для оптимизированной линии
η= 4	60 22,07			0,785 , т.е. около 79 %.
	(82,07)2
				76

Сравнение оптимизированных по напряжению ОФЛ и ДФЛ

Сравним напряжения на нагрузке, развиваемые ОФЛ и ДФЛ, имеющими одинаковые габариты (т.е. радиус внешнего электрода R2) и одинаковый тип диэлектрика. Такие линии могут быть заряжены соответственно до:

U

0 ОФЛ

= E

max

R2

,

e

U

= E

Rср

,

0 ДФЛ

max

e

откуда

U0 ОФЛ

=

R2

=

R2

.

U

0 ДФЛ

R

eR

ср

1

R

R

Rср

R

R

Преобразуя

2

=

2

и

логарифмируя

ln

2

= ln

2

+

R

R

R

R

R

1

ср

1

1

ср

+ln Rср , получим:

R1

Откуда

С учетом, что

Окончательно

ln

R2

=

ε

(z

в1

+ z

в2

) .

R

60

1

U

0 ОФЛ

1

ε

=

exp

(zв1

+ zв2 ) .

e

60

U0 ДФЛ

zв1

=

60

, получим:

ε

1+

.

U0 ОФЛ

=

1

exp

zв1

= exp

zв2

U0 ДФЛ

e

zв2

zв1

U0 ОФЛ

22,7

= exp

=1,445 .

U0 ДФЛ

60

Напряжение на согласованной нагрузке ОФЛ и ДФЛ равны соответственно:

Uн ОФЛ =	1	U0 ОФЛ, Uн ДФЛ =U0 ДФЛ .
	2
	77

Следовательно

	Uн ОФЛ	=	0,5 U0 ОФЛ	= 0,723 > 0,5 или Uн ДФЛ =1,4Uн ОФЛ.
	Uн ДФЛ		U0 ДФЛ

Таким образом, напряжение на согласованной нагрузке ДФЛ, оптимизированной по напряжению и имеющей тот же внешний радиус R2, что и оптимизированная по напряжению ОФЛ, будет в 1,4 раза выше (но не в 2 раза, как это могло бы показаться на первый взгляд).

Оптимизация ДФЛ по мощности (без учета эффектов полярности и площади)

Рассмотрим равнонапряженную ДФЛ, т.е. ДФЛ, в которой максимальные напряженности поля в обеих линиях одинаковы. Тогда

Rср

R

E

R ln

= E

max

R

ln

2

=U

0

,

R

max 1

ср

R

1

ср

откуда

R z

в1

= R

z

в2

и z

в2

=

R1

z

в1

.

R

1

ср

ср

Мощность в согласованной нагрузке

Rср

U 2

R2 ln

U

εE

R

2

2

1

P =

0

=

0

=

max

1

.

z

в1

+ z

в2

z

1+ R R

60

1+ R R

в1 (

1

ср)

1

ср

Найдем R1/Rср, при котором P = Pmax:

∂P

= 0

Rср

R

R

Rср

2ln

−1

1

+

1

=

1

ln

∂R

R

R

R

R

1

1

ср

ср

1

или

ln

Rср

=

1+ Rср R1

и

Rср

≈1,835.

R1

1

+ 2 Rср

R1

R1

опт

Следовательно, для оптимизированной по мощности ДФЛ, волновые сопротивления линий равны соответственно

78

zв1

=

60

ln

Rср

=

36,42

,

ε

R1

ε

zв2 =

19,85

,

ε

Rср

z

в1

=

=1,835 .

z

в2

R

1

При разряде на согласованную нагрузку коэффициент передачи энергии ДФЛ в основном импульсе составит

	η= 4	zв1zв2	= 4		zв1 zв2	≈ 0,91.
		(zв1 + zв2 )2		(1	+ zв1 zв2 )2

Оптимизация ДФЛ по мощности с учетом эффекта полярности

При использовании в линии диэлектрика с коэффициентом полярности g < 1,65 справедливы полученные выше соотношения, а при g > 1,65 (вода) оптимальные соотношения при отрицательной полярности среднего электрода соответствуют:

R2	=1,29 ;	Rср	=1,8 .
R		R
ср		1

При положительной полярности среднего электрода.

Учет эффекта площади

Для симметричной линии (zв1 = zв2) оптимизация по напряжению с учетом эффекта площади приводит к следующим результатам:

R2 = Rср =1,74,

Rср R1

	zв1 = zв2	=	33,3	(для g < 1,65).
			ε

Оптимизация по мощности дает:

79

R2 = Rср =1,301,

Rср R1

zв1 = zв2 =15,8ε .

Для равнонапряженной линии (zв1 ≠ zв2) оптимизация по напряжению дает:

	R2		=1,44 ;			Rср	=1,97;
	R					R
	ср					1
	zв1	=		40,6	;	zв2	=	22,1	;
				ε				ε

при этом коэффициент использования энергии η = 91 %.

В заключение отметим, что при zв1 > zв2 выгоднее коммутировать внутреннюю линию, поскольку через коммутатор будет про-

текать меньший U0 ток, но технически выполнить это труднее.

zв1

Рис. 37. Области преимущественного использования ОФЛ и ДФЛ с масляной и водяной изоляцией, а также изоляцией из полимерной пленки

80