Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

3.5. Алгоритм Ковалевской	141
Например, в уравнении второго порядка
wzz = w2 + A w + B	(3.5.4)

ведущими членами являются wzz и w2.

Подставляя (3.5.3) в ведущие члены уравнения (3.5.1) и приравнивая выражения при наименьших степенях ξ, можно определить пары значений (p, a0). Их может быть несколько. В этом случае они соответствуют различным семействам решений уравнения (3.5.1). Например, подставляя (3.5.3) в ведущие члены уравнения (3.5.4), находим, что

p (p + 1) a0 = a20

ξp+2 ξ2p

откуда p = 2, a0 = 2, и мы имеем лишь одно семейство решений. Для того чтобы решение уравнения (3.5.1) не имело критических подвижных алгебраических особых точек, значение p на этом шаге должно быть целым. В случае дробного или мнимого p исходное уравнение не имеет свойства Пенлеве. Однако значение p может подсказать замену в исходном дифференциальном уравнении, с помощью которой можно перейти к уравнению ти-

па Пенлеве.

Например, если подставить (3.5.3) в дифференциальное урав-

нение
				1		w3 + Ay,
			wz = −				(3.5.5)
					2
то получим, что (p, a0) =				21 , ±1 , откуда следует, что уравне-
ние (3.5.5) не имеет			свойства Пенлеве. Однако, сделав замену
w = 1/√		в уравнении (3.5.5), получаем линейное уравнение
	v
			vz = 1 − 2A v,				(3.5.6)
имеющее свойство Пенлеве.

142 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

Если все полученные на первом шаге значения p целые, то

анализ дифференциального уравнения может быть продолжен. Второй шаг. Определение индексов Фукса для каждой пары

значений (p, a0).

Определение 3.13. Индексами Фукса называются номера jr (r = 1, . . . , n − 1) коэффициентов aj в разложении решения (3.5.2), при которых коэффициенты aj не определяются.

Индексы Фукса (иногда называемые резонансами) определя-

ются при подстановке выражения
w =	a0	+ βξr−p,	ξ = z − z0,	(3.5.7)
	ξp

в ведущие члены уравнения (3.5.1).

Здесь β один из коэффициентов разложения (3.5.2), который не определяется в результате подстановки (3.5.2) в исходное уравнение (3.5.1). Подставив (3.5.7) в ведущие члены уравнения (3.5.1) и приравняв выражения с первой степенью β нулю, получим соотношение

Q (r) β · ξq = 0, q −p + r − n,

(3.5.8)

где Q (r) — многочлен. Корни уравнения

Q (r) = 0,

(3.5.9)

соответствующие β = 0, определяют индексы Фукса.

При решении уравнения (3.5.9) следует иметь в виду, что один из индексов Фукса всегда равен −1. Это значение соответствует произвольности выбора z0. Любые корни при Re r > 0, не равные вещественному целому числу, указывают на критические подвижные особые точки вблизи z = z0. В этом случае необходимости в проведении дальнейшего анализа нет, поскольку уравнение не имеет свойства Пенлеве.

3.5. Алгоритм Ковалевской

143

Многочлен Q (r) должен иметь n − 1 неотрицательных целых корней, поскольку общее решение обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка при разложении вблизи подвижного полюса должно иметь n произвольных постоянных. В случае, если хотя бы для одной пары (p, a0) положительных целых корней меньше n − 1, локального общего решения вида (3.5.2) уравнения (3.5.1) нет, и для анализа дифференциального уравнения на свойство Пенлеве следует проводить дополнительное исследование.

Корни уравнения (3.5.9) для индексов Фукса, таких, что Re r < 0 (кроме −1), указывают на то, что решение уравнения (3.5.1) в виде (3.5.2) непредставимо, и описываемый метод для анализа данной ветви решения не применим. Для ответа на вопрос о свойстве Пенлеве уравнения (3.5.1) в этом случае также требуется дополнительное исследование.

Если все корни уравнения (3.5.9), кроме −1 (и возможно 0), положительные и целые числа для каждой пары значений (p, a0), то в решении уравнения (3.5.1) критических подвижных алгебраических особых точек нет, но возможны критические подвижные особые точки логарифмического типа.

Третий шаг. Определение постоянных интегрирования в решении дифференциального уравнения (3.5.1).

Предположим, что ri (i = 1, . . . , s; r1 r2 . . . rs) — положительные целые корни уравнения (3.5.9) для каждой пары

(p, a0), где s n − 1. Подставляя

rs
w = aj ξj−p, ξ = z − z0, s = 1, . . . , n − 1,	(3.5.10)

j=0

в дифференциальное уравнение (3.5.1) и приравнивая последовательно выражения при одинаковых степенях ξ нулю, получаем соотношение при j = 1, 2, . . . , rs

Q (j) aj = Rj (z0, a, a1, . . . , aj−1),

(3.5.11)

144 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

из которых рекурентным способом последовательно находятся aj . Однако Q (r1) = 0 при j = r1 в силу (3.5.9), и коэффициент ar1 не определяется. Коэффициент ar1 в этом случае можно выбрать произвольным, если

Rr1 (z0, a, a1, . . . , ar1−1) = 0.

(3.5.12)

Если

Rr1 (z0, a0, a1, . . . , ar1−1) = 0,

то соотношение (3.5.11) не выполняется, и гипотеза о разложении решения уравнения (3.5.1) в ряд Лорана (3.5.2) не верна.

Решение w (z) при этом следует искать в виде

r1−1

w = aj (z − z0)j−p + [ar1 + br1 ln (z − z0)] (z − z0)r1−p + . . .

j=0

(3.5.13) так, чтобы выражение Q (r1) br1 стало равным нулю. Из этого условия определяется коэффициент br1 при произвольном выборе ar1 . Однако, продолжая вычислять коэффициенты разложения, будем вынуждены вводить логарифмические члены. В результате получим асимптотическое решение уравнения (3.5.1), не обладающее свойством Пенлеве.

Если соотношение (3.5.12) выполняется, то коэффициент ar1 можно выбрать произвольным. В этом случае, используя формулу (3.5.10), следует перейти к вычислению коэффициентов aj при r1 < j r2 и к исследованию коэффициента ar2 при следующем значении индекса Фукса. Если коэффициент ar2 можно выбрать произвольным, то можно переходить к определению коэффициентов в следующем интервале индексов Фукса и т.д. При этом следует иметь в виду, что если при исследовании коэффициентов с любым индексом Фукса возникают логарифмические выражения, то исследуемое дифференциальное уравнение (3.5.1) не имеет свойства Пенлеве.

3.5. Алгоритм Ковалевской

145

Если число произвольных коэффициентов ars в разложении (3.5.2) равно n − 1, то дифференциальное уравнение (3.5.1) проходит тест на свойство Пенлеве.

Основные этапы исследования системы дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве незначительно отличаются от описанного алгоритма, относящегося к одному уравнению.

На первом шаге, как и в случае одного дифференциального уравнения, предполагается, что решение системы имеет вид

wi = a0(i)ξ−pi , ξ = z − z0 (i = 1, . . . , n) ,

(3.5.14)

где n — порядок системы уравнений. Подстановка (3.5.14) в си-

стему уравнений позволяет найти пары				pi, a(i)	. При этом, если
				0
найденные	p	i не целые, то, как и в	случае одного уравнения, ис-

следуемая система уравнений не принадлежит к типу Пенлеве. На втором шаге в систему дифференциальных уравнений

подставляются выражения
wi = a(i)	ξ−pi + β(i)ξr−pi	(i = 1, . . . , n) ,	(3.5.15)
0

которые приводят к системе алгебраических уравнений для определения индексов Фукса. В результате приравнивания выражений, линейных по β(i) нулю, получаем

[Q (r)] β = 0,

(3.5.16)

где [Q (r)] — матрица n × n и β — столбец, составленный из компонент β(i). Индексы Фукса находятся из равенства нулю определителя матрицы [Q (r)]

det [Q (r)] = 0.

(3.5.17)

При этом вследствие произвольности выбора z0 один из корней уравнения (3.5.17) опять же равен −1.

146 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

На третьем шаге исследования определяются постоянные интегрирования в разложении решения системы уравнений в ряд Лорана. Предполагается, что

rs(i)

wi = a(ki) (z − z0)k−pi (i = 1, . . . , n; s = 1, . . . , n − 1) ,

k=1

(3.5.18) где rs(i) — индексы Фукса. Для того чтобы исследуемая система уравнений проходила тест на свойство Пенлеве, все коэффициенты a(ris) должны быть произвольными.

3.6.Локальные представления решений уравнений типа Пенлеве

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие применение метода Ковалевской для анализа нелинейных дифференциальных уравнений.

Пример 1. Уравнение Риккати

	wz = −w2 + w (z) .				(3.6.1)
	Полагая	a0		ξ = z − z0,
	w =				(3.6.2)
			,
		ξp
	и подставляя в первый	и		второй члены	уравнения, имеем

(p, a0) = (1, 1). Поскольку p = 1, то первое необходимое условие теста выполняется.

После подстановки формулы
w = ξ−1 + β · ξr−1	(3.6.3)
в (3.6.1) и приравнивания выражений при β нулю, находим
β (r + 1) ξr−2 = 0.	(3.6.4)

3.6. Локальные представления решений

147

Откуда получаем, что индекс Фукса равен −1. Поскольку уравнение (3.6.1) первого порядка и z0 выбрано произвольным, то необходимое условие для того, чтобы уравнение (3.6.1) имело свойство Пенлеве, выполняется.

Пример 2. Уравнение ангармонического осциллятора

wzz = −3 w2 + C0w − C1.

(3.6.5)

Проверим на свойство Пенлеве уравнение (3.6.5), в котором C0 и C1 — произвольные постоянные. Подставив (3.6.2) в первый и второй члены уравнения (3.6.5) и приравняв выражения при одинаковых степенях ξ, имеем: p = 2, a0 = −2.

Используя

w = −2ξ−2 + βr−2, ξ = z − z0,

получаем уравнение для индексов Фукса в виде:

r2 − 5r − 6 = 0.

Откуда

r1 = −1, r2 = 6.

Подставляя

w = −2ξ−2 + a1ξ−1 + a2 + a3ξ + a4ξ2 + a5ξ3 + a6ξ4 (3.6.6)

в уравнение (3.6.5), последовательно находим коэффициенты разложения решения уравнения (3.6.5) в ряд Лорана. Они имеют

вид: a1 = 0, a2 = −		C0		, a3		= 0, a4	= −		12C1+C2		, a5 = 0, a6 —
									0
		6							120
произвольное число.
Таким образом, разложение решения уравнения (3.6.6) имеет
вид:
	C				12C1 + C2
w = −2 (z − z0)−2 −	0			−		120	0	(z − z0)2 + a6 (z − z0)4 + . . .
	6
											(3.6.7)

148 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

Уравнение (3.6.5) второго порядка содержит две постоянные z0 и a6, и поэтому оно проходит тест Пенлеве.

Аналогично рассмотренному примеру может быть проверено первое уравнение Пенлеве

wzz = 3 w2 + z.

(3.6.8)

Уравнение (3.6.8) имеет те же индексы Фукса, что и уравнение (3.6.5). Локальное представление общего решения уравнения (3.6.8) принимает вид:

w = 2 (z − z0)−2 −	z0		1
			(z − z0)2 −		(z − z0)3 + a6	(z − z0)4 + . . .
	10			6
Пример 3. Уравнение [78]							(3.6.9)
			w wzz − 4 wz2 = 0.				(3.6.10)
Подставляя (3.6.2)			в уравнение (3.6.10), имеем p				= 0 и

p = −1/3. Исходное уравнение не имеет свойства Пенлеве. Однако, сделав замену

w = v−1/3 ,

приходим к линейному уравнению для v (z)

vzz = 0,

(3.6.11)

имеющему свойство Пенлеве. Пример 4. Уравнение [78]

wzzzz − 27 wzz y2 − 21 wz y3 + 9 w5 = 0.

(3.6.12)

Полагая (3.6.2) в уравнении (3.6.12), имеем (p, a0) = (1, 1). Используя (3.6.3), получаем уравнение для индексов Фукса

(r + 1) (r − 1 )2 (r − 9) = 0.

(3.6.13)

3.6. Локальные представления решений			149
Асимптотическое решение уравнения имеет вид [78]
−1	+ c1 + c2 #22 ln (z − z0) + 27 [ln (z − z0)]	2	+ . . . ,
y = (z − z0)		$	(3.6.14)

где z0, c1 и c2 — произвольные постоянные. Уравнение (3.6.12) не относится к уравнениям типа Пенлеве.

Пример 5. Уравнение [1]
wzz − 2 w3 − zm w = 0,	(3.6.15)

где m — целое и больше нуля. Очевидно, что при m = 0 уравнение (3.6.15) имеет свойство Пенлеве, поскольку после умножения на yz и интегрирования по z имеем

w2	= c1 + w2 + wy4,	(3.6.16)
z

где c1 — постоянная интегрирования.

Если ввести новую переменную ω = y2, то уравнение (3.6.16)

можно представить в виде
			ω	−
			−
			d			= dz,	(3.6.17)
		ω(ω	α) (ω		β)

где α и β — корни квадратного уравнения c1 + ω + ω2 = 0.

Интеграл (3.6.17) представляет собой эллиптический интеграл первого рода.

При m = 1 уравнение (3.6.15) является вторым уравнением Пенлеве.

В уравнении (3.6.15) сделаем замену z = ξ + z0, тогда, используя формулу для бинома Ньютона

(ξ + z0)m = zm + mξ zm−1 + m (m − 1) ξ2zm−2 + . . . ,

0 0 2 0

150 Глава 3. Аналитические свойства нелинейных уравнений

уравнение (3.6.15) можно представить в виде
wξξ − 2 w3 − z0m + ξ m z0m−1 +	1	ξ2 z0m−2 + . . .	w = 0.
	2 m (m − 1)

(3.6.18) Подставляя (3.6.2) в ведущие члены уравнения (3.6.18), находим, что уравнение имеет два семейства решений, поскольку (a0, p) = (1, 1) и (a0, p) = (−1, 1). Значения p — целые, и тест

Ковалевской может быть продолжен. Подставляя

w= ξ−1 + βξj−1

впервое и второе слагаемые уравнения (3.6.18), находим уравнение для индексов Фукса в виде

j2 − 3j − 4 − 0,

имеющее корни

j1 = −1, j2 = 4.

Индексы Фукса целые, и поэтому анализ уравнения на свойство Пенлеве следует продолжить.

Подставляя

w= ξ−1 + a1 + a2ξ + a3ξ2 + a4ξ3 + . . .

вуравнение (3.6.18) и приравнивая выражения при одинаковых степенях ξ, последовательно находим:

a1 = 0, a2 = −	1	m		= −	m zm−1
					0
		z0	, a3			.
	6				4

Коэффициент a4 не определяется, так как члены с ξ4 дают соотношение:

5 (j	−	4) a	=	1	zm−2m (m	−	1) .	(3.6.19)
		4		2 0