Милованов Лабораторный практикум по СВЧ 2007

Р а б о т а 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДОБРОТНОСТИ РЕЗОНАТОРА МЕТОДОМ ИЗМЕРЕНИЯ ПОЛНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Цель: освоить методику измерения добротности резонатора по импедансной характеристике (измерение частотной зависимости коэффициента отражения).

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Основными электродинамическими характеристиками резонаторов являются собственная частота f0, добротность Q и сопротивление. При рассмотрении резонаторов, используемых в ускорителях заряженных частиц и в электровакуумных приборах СВЧ, представляют интерес шунтовое сопротивление Rш и сопротивление связи Rсв. Для конкретных резонаторов и на определенном виде колебаний можно найти параметры эквивалентного резонансного контура с индуктивностью L, ёмкостью C, активным сопротивлением R (для последовательного контура) или активной проводимостью G (для параллельного контура). Параметры резонатора f0 и Q связаны с параметрами эквивалентного резонансного контура соотношениями:

f0	=	1	,	(2.1)
	2π	LC
для последовательного контура
	Q =	ωL	;	(2.2а)
для параллельного контура		R
		ωC
	Q =		;	(2.2б)
		G

Резонансная частота электромагнитных колебаний в цилиндрическом резонаторе радиуса R и длиной L рассчитывается по формуле

f =	c	(μni	R)2 + (pπ L)2	,	(2.3)
			2π
			21

где μni – корни первой производной функции Бесселя n-го порядка для колебаний типа Нnip{ или корни функции Бесселя n-го порядка для колебаний типа Enip{ .

Для призматического резонатора резонансная частота на виде колебаний Етпр или Нтпр

f =	ε0μ0	m 2		n 2			p	2
	2			+		+	.
			a	b			l

Добротность резонатора СВЧ имеет более широкий смысл, чем добротность радиотехнических контуров. Различают собственную Q0, внешнюю Qвн и нагруженную Qн добротности.

Собственная добротность Q0 определяется как отношение энергии, запасенной в резонаторе Wзап, к энергии потерь за период колебаний внутри резонатора.

W

2 μ

∫

Hmax

2 dV

Q

,

(2.4)

= ω

зап = ω

V

0

0

Pрас

0 δ μ0

∫

Hτ

2dS

где δ = 2 (ωμстμ0σст )

S

– глубина проникновения

поля в стенки;

σст – удельное сопротивление материала стенок; μ0 = 4π10–7 Гн/м. В отличие от собственной добротности нагруженная добротность Qн учитывает рассеяние энергии как в резонаторе, так и в подводящих цепях. Отношение запасенной энергии к потерям за период только во внешних цепях определяет значение внешней добротности Qвн. Между названными видами добротности сущест-

вует определенная связь:

1/Qн=1/Q0+1/Qвн. (2.5)

Известны три основных метода экспериментального определения добротности резонаторов:

1)на основе измерения импедансной характеристики резонатора

вчастотном диапазоне (метод полных сопротивлений);

2)по резонансной характеристике (по Q-кривой);

3)по декременту затухания.

Измерение добротности по резонансной характеристике используется в тех случаях, когда допускается включение исследуемого

22

объекта по схеме четырёхполюсника, т.е. имеются два устройства связи с внешними цепями.

Метод декремента затухания используется преимущественно для измерения весьма больших добротностей полых резонаторов специальных конструкций – эхо-резонаторов или сверхпроводящих структур.

Метод полных сопротивлений позволяет получить значения собственной, нагруженной и внешней добротностей системы. Обычно измерение этим методом добротностей в диапазоне от нескольких сот до десятка тысяч не встречает трудностей, а при некоторой модификации и более низких значений добротностей.

Представим резонатор в виде эквивалентного резонансного контура Lk, Ck, Rk, связанного с линией передач по схеме идеальным трансформатором без потерь через взаимную индуктивность M (рис. 2.1). Индуктивность первичной обмотки трансформатора обозначим Lсв.

б			а	M	Cк
Рис. 2.1. Эквивалентная схема
резонатора, связанного
с передающей линией через			Lсв	L к			R	к
трансформатор типа волны
без потерь

ба

Запишем сопротивление контура Lk, Ck, Rk, в сечении а–а с уче-

том индуктивного сопротивления связи линии связи xсв = ω Lсв

x

= ix

+

(ωM )2

= ix +

(ωM )

,

(2.6)

R +i(ωL −1 ωС

)

R

(1+i2Q δ)

aa

св

св

св

k

св

k

0

где δ = (ω−ω0 )/ ω0

− относительная

расстройка

частоты,

Q0 = ωLk / Rk − собственная добротность контура.

Выберем в передающей линии такое сечение б–б, в котором при полной расстройке частоты резонатора сопротивление zбб было бы равным нулю. Это сечение назовем положением узла при расстройке резонатора.

23

Относительное входное сопротивление в сечении б–б связано с сопротивлением в сечении а–а соотношением

zбб	=	zаа +i z0t g kzl	.	(2.7)
z0
		z0 +i zаа tg kzl

Как следует из выражения (2.6), при полной расстройке резонатора сопротивление zаа оказывается равным индуктивному сопротивлению связи zаа = izсв. Поскольку в этом случае zбб обращается в нуль, из соотношения (2.7) получаем

tgkzl = −xсв / z0 .

(2.8)

Подставляя zаа из (2.4) и tg(kzl) из (2.6) в выражение (2.5), получим для частот вблизи резонанса (при небольшой расстройке частоты относительно резонансной)

	zбб		χ
		=		,	(2.9)
	z0		1 + i 2Q0 (δ′ − δ0 )
где χ − коэффициент связи, определяемый соотношением
χ = (ωM )2 /(z0 Rk )= R0 / z0 = Q0 / Qвн ,					(2.10)

δ0 = χ(2Q0 ) (xсв z0 ) представляет собой относительную частот-

ную расстройку, учитывающую смещение резонансной частоты под влиянием реактивности устройства связи.

При выводе выражения (2.9) учтено, что xсв2 z02 <1.

Если резонансная частота определена экспериментально, с учетом реактивности устройства связи, выражение для входного сопротивления можно упростить:

	zбб			χ
			=		.	(2.11)
	z	0		(1+i 2Q δ)
			0
Зависимость полного сопротивления резонатора						zбб / z0 от час-

тоты, определяемая выражением (2.11), изображается на круговой диаграмме полных сопротивлений окружностью. На резонансной частоте ω0 нормированное входное сопротивление будет активным и численно равным коэффициенту связи χ, то есть коэффициенту стоячей волны ρ при пересвязи резонатора с подводящей линией передач и 1/ρ – при недосвязи.

24

Собственную добротность резонатора Q0 можно выразить через значения относительных частот δ1 и δ2, при которых второе слагае-

мое в знаменателе уравнения (2.9) равно ±1, то есть
2Q0 (δ1 – δ0) = 1 и 2Q0 (δ2 – δ0) = –1.
Складывая эти выражения, получим
Q0 = 1/(δ1 – δ2),	(2.12)

где δ1 = (ω1 – ω0)/ω0 и δ2 = (ω2 – ω0)/ω0						− относительные расстройки
частоты.
Подставляя (2.12) в уравнение (2.11), получим:
	zбб		χ		χ(1 ± i)		.	(2.13)
		=		=
	z0		(1 ± i)		2

На круговой диаграмме сопротивлений этим уравнениям соответствуют линии X = ±R. Пересечение этих линий с импедансной характеристикой резонатора позволяют найти частоты ω1, ω2 и определить по формуле (2.12) собственную добротность резонатора. При выполнении работы удобнее пользоваться выражением (2.12), записанным для значений частот, а не частотных расстроек.

Подобно собственной добротности по импедансной характеристике можно найти значения нагруженной Qн и внешней Qвн добротностей. Для этого следует в формулу (2.9) подставить в одном случае Q0 = Qн(1+χ), а в другом Q0 = χQвн .

Так, нагруженную добротность можно вычислить по формуле

Qн = 1/ (δ3 – δ4),

(2.14)

где относительные расстройки частоты δ3 = (ω3 – ω0)/ω0,

δ4 = (ω4 – ω0)/ω0

можно определить, приравнивая 2Qн (δi – δ0)

к ±1

из второго слагаемого знаменателя выражения

zбб

=

χ

.

(2.15)

z

0

1 + i(1 + χ)2Q (δ

i

− δ

0

)

н

Теперь выражение (2.15) может быть записано в виде

zбб

χ

χ(1± i(1+ χ))

=

=

= 1−(1+ χ)2

z0

1± i(1+ χ)

(2.16)

χ

χ(1+ χ)

r

x

=

± i

=

± i

= R ± iX .

1−(1+ χ)2

1−(1+ χ)2

z0

z0

25

На круговой диаграмме сопротивлений этим уравнениям соответствуют линии X = ±R(1 + χ). Пересечение этих линий с импе-

дансной характеристикой резонатора соответствует частотам ω3, ω4. Зная это, по формуле (2.14) можно определить нагруженную добротность резонатора.

Внешняя добротность вычисляется по формуле

Qвн = 1/ (δ5 – δ6).

(2.17)

В этом выражении относительные расстройки частоты

δ5 = (ω5 – ω0)/ω0 δ6 = (ω6 – ω0)/ω0

можно

определить,

приравнивая

2Qвн (δi – δ0) к ±1 во втором слагаемом знаменателя выражения

zбб

=

χ

.

(2.18)

z

0

1+iχ2Q

(δ

i

−δ

0

)

вн

Теперь выражение (2.18) может быть записано в виде

zбб

=

χ

=

χ(1±iχ)

=

1±iχ

1−χ2

z0

(2.19)

χ2

χ2

r

x

=

±i

=

±i

= R ±iX .

1

−χ2

1−χ2

z0

z0

На круговой диаграмме сопротивлений этим уравнениям соответствуют линии X = ±Rχ. Пересечения этих линий с импеданс-

ной характеристикой резонатора позволяют найти частоты ω5, ω6 и определить по формуле (2.17) внешнюю добротность резонатора.

Рис. 2.2. Импедансная характеристика резонатора и характерные линии

26

На рис. 2.2 изображена импедансная характеристика резонатора и характерные линии X = ± R, X = ± Rχ и X = ± R(1+χ). Искомые значения частот ω1, ω2, ω3, ω4, ω5, ω6 определяются пересечением характерных линий с импедансной характеристикой. Частоты, соответствующие этим точкам, находятся по экспериментальным данным характеристики.

Расчет добротностей резонатора по его импедансной характеристике основан на определении относительных частотных расстроек, соответствующих точкам пересечения импедансной характеристики с характерными кривыми. Так как изменение частоты вдоль импедансной характеристики неравномерно, то непосредственное определение частот в требуемых точках является трудно осуществимым. Для решения этой задачи рекомендуется построить линейную шкалу частот, проведя в произвольном месте диаграммы перпендикулярно горизонтальной оси линию и перенеся на нее значения частот нескольких экспериментальных точек, лежащих вблизи резонанса. Построение такой шкалы по четырём точкам (A – D) иллюстрируется схемой рис. 2.3.

	f, МГц
	fA
A	fB
Рис. 2.3. Построение	B
линейной шкалы частот	C
	fC
D	f1
	fD

Масштаб шкалы частот [Гц/мм] определяется соотношением расстояния вдоль оси и разности частот какой-либо пары точек. Для получения более точного результата рекомендуется рассчитать

27

среднее из нескольких значений, взяв различные пары экспериментальных точек. Для расчета значений частоты произвольной точки импедансной характеристики (например, обозначенной кружком на рис. 2.3) достаточно измерить расстояние от ее проекции на шкалу частот (точка f1) до какой-либо реперной точки (например, точки fD) и, умножив это расстояние на масштабный коэффициент, прибавить (или вычесть) полученное значение к частоте реперной точки.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ

1. Рассчитать резонансные частоты несвязанного резонатора и резонатора с критической связью (χ = 1) на виде колебаний Н101. Резонатор – призматический, с размерами а = 72 мм, b = 34 мм, l = 80 мм.

При расчете коэффициента затухания использовать формулу:

	ωμсε0 / 2σ			b		λ	2
α =			+ 2
	b 1 − (λ/ λкр)	2 1		a
						λкр
Материал стенок резонатора		–	сталь			Ст3		с параметрами

σ = 3,5 105 (Ом м)-1, μс = 1,0. Расчет провести на частоте несвязанного резонатора.

2.Изобразить картину силовых линий электромагнитного поля в

призматическом резонаторе на виде колебаний Н101 и показать возможные способы возбуждения этой волны.

3.Какие виды электрических и магнитных колебаний будут в резонаторе ближайшими к виду колебаний Е010?

4.Рассчитать, как изменится частота вида колебаний Е010 при

изменении каждого размера резонатора на ±0,1 мм относительно указанных в п.1 значений.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

В работе предлагается провести измерения добротностей и резонансной частоты призматического резонатора (рис. 2.4), представляющего собой короткозамкнутый отрезок прямоугольного волно-

28

вода сечением 72×34 мм, и длиной 80 мм. Связь с передающей линией осуществляется через окно связи – диафрагму. В таком резонаторе возбуждается основной тип колебаний Н101, т.е. по длине резонатора укладывается одна полуволна электромагнитного поля.

Наличие устройства связи (диафрагмы) приводит к тому, что длина резонатора несколько отличается от половины длины волны. Если рассмотреть резонатор с учетом шунтирующего действия диафрагмы, то резонансная частота несколько понизится за счет внесенной реактивности связи.

Рис. 2.4. Призматический резонатор, связанный с рямоугольным волноводом: 1 – передающая линия; 2 – диафрагма; 3 – резонатор

Функциональная схема экспериментальной установки изображена на рис. 2.5. Высокочастотный сигнал от генератора через адаптерную головку и развязывающий аттенюатор подается в измерительную линию и далее в исследуемый резонатор. Для измерения частоты в схему включен частотомер. Предварительная настройка частоты измерительного генератора на резонанс осуществляется с помощью детекторной головки (на схеме не показана).

Рис. 2.5. Функциональная схема экспериментальной установки

29

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Ознакомиться с аппаратурой и элементами экспериментальной установки. Проверить правильность соединений блоков установки.

2.Включить генератор и установить частоту, равную резонансной, согласно результатам выполнения предварительного задания.

3.Найти частоту возбуждения резонатора. Для этого в отверстие, сделанное в боковой стенке резонатора, поместить петлю детекторной головки, соединенной с чувствительным прибором, и, плавно меняя частоту генератора, найти резонансную частоту по максимальному отклонению индикаторного прибора. Чтобы облегчить работу, рекомендуется поиск резонансной частоты производить при глубоком погружении петли связи в резонатор. Если прибор детекторной головки зашкаливает, следует уменьшить глубину погружения петли связи. Индикация истинного резонанса должна проводиться при минимальной глубине погружения петли так, чтобы показания прибора соответствовали 10–15 % шкалы.

4.Не изменяя частоты генератора, отсоединить резонатор от волноводного тракта и отградуировать измерительную линию. Построить график градуировки.

5.Определить положение "узла" стоячей волны при полной расстройке. Записав частоту возбуждения резонатора, следует отсоединить от резонатора детекторную головку с петлей связи и изменить частоту генератора так, чтобы частота колебаний была далека от резонанса. Расстройку частоты выбирают порядка 10 МГц. Далее следует методом "вилки" определить положение минимума стоячей волны в линии. Это сечение определяет искомое положение узла при расстройке. Все последующие вычисления фаз коэффициента отражения производить, используя это значение.

6.Провести измерение зависимости полного входного сопротивления резонатора от частоты. Для этого установить частоту генератора, немного отличающуюся от резонансной (например,

±0,5 МГц и ±1 МГц от резонансной) и измерить величины Imax, Imin и положение минимума zmin.

30