Нагорнов Обратные задачи палеотермометрии 2008

U (H ) Us

и

	V (z,t) a2 2V (z,t)			A	z V (z,t)		,
					H z
	t		z2	0
	z [0, H ],		t (0,t f ] ,
	V	(0,t) 0 ,					(11.3)
	z

V (H ,t) (t) , V (z,0) 0 .

Несложно установить, что решение задачи (11.2) для стационарного температурного профиля будет следующим:

U(z) U0			(erf ( H) erf ( z))	(11.4)
		2

			q			A0	, erf (z) – функция ошибок.
	где k ,
						2a2 H
			Решение задачи (11.3) для остаточного температурного про-
	филя V(z,t) будем искать в виде:
	V(z,t) (t) V(z,t).									(11.5)
	V(z,t) является решением следующей задачи:
				2
		V (z,t) a2		V (z,t) A				z V (z,t)		f (t) ,
								H z
		t			z2		0
		z [0, H ], t (0,t f ] ,
		V	(0,t) 0 ,							(11.6)

z

V (H ,t) 0 ,

V (z,0) 0 ,

91

	где	f (t)		d (t)	. Введем безразмерные	переменные: z z ,
				dt
		A0t
	t		(в дальнейшем под переменными z			и t будут подразуме-
		2H

ваться указанные выше безразмерные переменные), тогда задача (11.6) будет иметь следующий вид:

			2	2z		f (t) ,
V (z,t)			V (z,t)		V (z,t)
t			z2		z
z [0, H ],			t (0,t f	] ,
V	(0,t) 0 ,					(11.7)
z

V (H ,t) 0 , V (z,0) 0 .

Будем искать решение данной задачи в виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующей задачи для однородного уравнения:

			2	2z		(11.8)
V (z,t)			V (z,t)		V (z,t) .
t			z2		z
Пусть	V (z,t) (z,t)e z2 /2 . Подставляя это					выражение в (11.8),

приходим к уравнению для параболического потенциала:

		2	(z2 1)		.	(11.9)
t		z2
				z

Разделив переменные в (11.9), получим следующую задачу ШтурмаЛиувилля на собственные функции и собственные значения:

d 2	2z d	0;	d	(0) 0; (H ) 0 .	(11.10)
dz2	dz		dz

Собственные функции задачи (11.10) имеют вид [Hanson and Dickinson, 1987]:

		z2			1		2
	n e 2					, z			,	(11.11)
			M	n ,	2
				4
										92

	M					n		,	1	, z 2
где													– гипергеометрическая функция Куммера:
									2
					4
M (a,b, x) 1										ax			a(a 1)x	2			n	,
															... (a)n x				(11.12)
												b	b(b 1)2!		n 0	(b)n n!
(a)n a(a 1)...(a n 1) (a n) .
														(a)
Тогда собственные значения n															определяются из уравнения:
	n				1						2
M			,				, H					0 .							(11.13)
	4				2

Таким образом, решение задачи (11.7) будет выглядеть следующим образом:

t

d ,

(11.14)

V(z,t) In n (z) f ( )e

a2

(t )

n

n 1

0

где

H n (z)dz .

In

1

(11.15)

n

2

0

Соответственно, решением задачи (11.3) на конечный момент времени t f , с учетом того, что (0) 0 , будет:

V(z,tf ) (tf ) In n

n 1

	t f	2
(z) (tf ) na2	( )e a		n (t f )d (11.16)
	0

93

12. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛЕДНИКОВ И ГОРНЫХ ПОРОД

12.1. Общие замечания

Решение прямой задачи для горных пород (4.38) (или для ледников (9.5)) может быть записано в виде операторного соотношения:

T (z,t f ) R (t) .

(12.1)

Если обозначить измеренный температурный профиль в скважине как (z) , то решение обратной задачи можно записать в

следующем виде:
(t) R 1 (z) .	(12.2)

Данное уравнение не имеет точного решения для элемента (z) на

множестве историй изменений температуры поверхности F ( (t) F ). Это связано с тем, что измеренный температурный про-

филь (z) содержит возмущения температуры, которые приводят к тому, что (z) G , где G RF – множество образов при отобра-

жении, осуществляемом оператором R . Эти возмущения температуры связаны с ошибками измерений, а также с тем, что рассматриваемая математическая модель не учитывает всех возможных процессов, оказывающих влияние на распределение температуры в леднике. Кроме того, оператор R не является взаимно непрерывным, т.е. решение обратной задачи неустойчиво к “малым” изменениям

профиля T (z,t f ) на множестве образов G . Следовательно, задача

реконструкции изменений температуры поверхности по данным измерений температуры в скважине относится к классу некорректно поставленных задач.

Так как стационарный профиль температуры U (z) , связан-

ный с геотермическим потоком Земли, может быть выделен из измеренного температурного профиля (z) , далее будут рассматривать-

ся обратные задачи для остаточного температурного профиля, полученного в результате измерений температуры в скважине:

(z) (z) U (z) .

(12.3)

94

Эти профили соответствуют прямым задачам (4.41) (или (9.8)), для которых можно ввести оператор R :

V (z,t f ) R (t) ,	(12.4)
который также как и R не является взаимно непрерывным.

12.2. Теоретические основы решения обратных задач палеотермометрии

Докажем следующую лемму.

Лемма 1.

Помимо тривиального решения u z,t 0; Ts t 0 обратная задача

				t t f , 0 z ,
ut wuz uzz , 0
u(z, 0) 0,		0 z ,
				t t f ,						(12.5)
u(0, t) Ts (t), 0
k uz ( , t) 0, 0 t t f ,
u z,t f 0, 0 z ,									u z,t ; Ts t .
имеет нетривиальное решение
	Доказательство.							Предположим, что Ts 0 Ts t f 0 и
			mt							um z,t
								где	m – неизвестные. Введем
Ts t m sin				t f			,
	m 1
как решение следующей прямой задачи:
vt wvz vzz , 0 t t f , 0 z ,
		0 z		,
v(z, 0) 0,
	v(0, t) m sin		mt					0 t	t f ,
				t		,
					f
		0, 0		t t f .
k vz ( , t)

Решение такой задачи легко находится

95

mt

m

t

um z,t m sin

t f

t f

t

A e

z

exp

t

cos

mt

d ,

n n

n

t f

n 1

0

1

en z и

где

An

0 en z dz ,

n

– собственные функции и

en z

собственные векторы следующей задачи Штурма-Лиувилля:

k Z

(z) w(z) Z

(z) Z (z), z 0,

(12.6)

Z (0) Z

( ) 0.

Пусть

k const , тогда все собственные значения – вещест-

венные ( n ). Действительно, первое уравнение (12.6) эквивалентно следующему:

d

(12.7)

k d z p z Z (z) p z Z (z) ,

z

~

w( )

где

~

.

Рассмотрим

слагаемое

p z exp

w( )d ,w( )

k

0

p z Z(z)

(z)dz .

После двух интегрирований по частям и ис-

Z

0

пользуя уравнение

(12.7), это

слагаемое

станет

равным

p z Z(z)

(z)dz . Это означает,

что

, и n .

Z

0

Асимптотика

собственных

значений

известна [Михайлов,

1

1976]:

n

~C n2 ,

n . Поэтому

ряд

сходится. Тогда

n

e nt n неполна в

n 1

система функций

L

0,t

f

, что есть следствие

n 1

2

теоремы Мюнца [Paley and Wiener, 1934]. Таким образом, существу-

96

m 1 n 1

ет ненулевая функция						F t при		t 0,t f ,		что F t ортогональна
e nt в	L2 0,t f .			Разложим			F t в		ряд	Фурье при t 0,t f :
	mt
F t	m sin					. Докажем, что			u z,t um z,t есть ре-
			t
				f
m 1										m 1
шение задачи (12.5) и					Ts t F t			, m m . Действительно, u z,t

удовлетворяет первому уравнению (12.5), начальным и граничным условиям. Проверим последнее условие в (12.5):

u z,t f m mtAf nen z t0f exp n (t f ) cos tmf d .

После интегрирования по частям получим:

t f

m

u z,t f Anen z n exp nt f e

n

d 0,

m sin

t

n 1

0

m 1

f

потому что внутренний ряд F

и он

ортогонален e nt . Таким

образом, находим нетривиальное решение

u z,t и лемма доказана.

Задача состоит в нахождении функций u x,t ,

t :

t t f , 0 z H ,

ut wuz uzz , 0

u(z, 0) 0, 0 z

H,

t t f ,

u(H , t) t , 0

t t f ,

k uz (0, t) 0, 0

z H,

u z,t f z , 0

где w z A 1 z / H .

Введем

новую

независимую

переменную

y HA w z H z ; t ;

y 0; H ; t 0; t f 0; t f .

97

Соответственно, функция u z,

t u H y / ; / v y, . В

новых переменных задача формулируется в следующем виде.

Найти v y,

, , удовлетворяющие условиям

v

A

y v

y

2v

yy

0, y 0; H , 0;

t

f

;

H

v y,0 0,

H , 0,

v

y

v 0, .

переопределения: v y, t f H y / y .

Условие

Выбираем из условия

A

2

и из условия

2

1. Тогда

H

задача запишется в виде:

t* ;

v

2yvy vyy

0, y 0; H H* , 0; t f

v y,0 0,

H , 0,

vy

v 0, .

y .

Условие переопределения v y,t*

тогда

Введем

функцию

v y, y, W y, exp y2 / 2 ,

2

2

W

Wyy 1 y

W exp y

/ 2 ,;

W y,0 0,

Wy H* , H*W H* , 0,

W 0, 0.

W y,t* exp y2 / 2 y t* s y .

f C 0,t*

и т.к. 0 0 , то по

Обозначим

t f t ,

функция t находится однозначно. Решение задачи без дополни-

98

тельных ограничений на		f t не обладает свойством единственно-
сти.	Единственность.	Однако, если предположить, что
f t	N
	fk eikt – конечный отрезок ряда Фурье (для простоты

k N

полагаем t* 2 ), то можно установить единственность определения f t .

	Для доказательства единственности достаточно установить,
что если s y			0 , то W y,t 0 и f t 0 .
	Решение задачи дается формулой:
	t
W y,t		ck e k t f ek y d ,
	0 k 1
где ek y ,		k	– собственные функции и значения задачи Штурма-
Лиувилля:						,
				2
e y 1 y e y e y , y 0, H*
e 0 0, e H* e H* 0.
	Известно, что en y 1 – полная ортонормированная систе-
ма,	n R, n , n . Из условия W y,t f 0						получим, что
			t f			H
k : Ck			e k t f f d 0, где Ck			*e y2 / 2	ek y dy 0
			0			0

на некоторой последовательности номеров (см. лемму).

Лемма 2.

Пусть ek y 1 , k – собственные функции и собственные значения задачи Штурма – Лиувилля. Тогда существует подпосле-

	H*
довательность nk , такая что Cnk e y2 / 2 enk		y dy 0	nk .
	0
Доказательство. Предположим противное. Следовательно
N :Cn 0	n N , т.е. функция y e y2 / 2 ортогональна
	99

									– орто-
всем функциям en y с номерами n N . Так как en y 1
нормированный			базис	в	L2 0; H* ,		получим,		что
N 1		ek y . Но 0 1,			а все ek 0 0 . Следовательно,
y Ck
k 1
получаем противоречие, и лемма доказана.
Таким		образом,		получаем,		что	целая	функция
t f
F e f d			имеет бесконечное число нулей. В случае, ко-
гда f t 0	– конечный отрезок ряда Фурье, это возможно лишь при
f t 0 ,	и тогда и t 0 . То есть единственность установлена.
Устойчивость. Пусть имеются два решения u1 x,t ,									1 t и
u2 x,t , 2 t		исходной задачи, отвечающие “близким” переопре-
делениям s1 x и s2 x . Будут ли близки решения обратной задачи?
Обозначим			v x,t u2 x,t u1 x,t , x 2 x 1 x ,
t 2 t 1 t . Тогда для функций v x,t							и t получим сис-
тему равенств:
vt vzz ,	x, t	0; 0;T ,
v(0, t) vx ,t 0, t [0;t f ),
		x [0, ],
v(x,0) 0,
v(x,t f ) (x).
Методом Фурье решение прямой задачи
	t
v x,t (1,ek ) ek (x) e				k (t )
					( )d ,
	0 k 0

100