Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010

имеет вторую производную

y′′(x) =

6x(2x3 − 1)

(1 + x3)3

и на отрезке [0; 1] ее величина

|

y′′(x)

| 6

6 · 1 · 1

= 6.

(1 + 0)3

Поэтому величина погрешности (a = 0, b = 1, h = 1/12)

a)h2

1

1

2

1

y′′(ξ) 6

· 6 =

|R12| = (b −12

12 (

12 )

288 ≈ 0,00347.

Замечание.

При

вычислении

I12

значение каждой дроби

бралось с точностью 10−12. Так как погрешность суммы не превосходит суммы погрешностей, то погрешность суммы двенадцати слагаемых в 12 раз больше, чем одного слагаемого. При делении на 12 погрешность уменьшается в 12 раз, следовательно, полученное значение I12 имеет такую же погрешность, как и все дроби, т. е. 10−12. Таким образом, числовое значение I12 имеет 10 верных цифр после запятой.

Замечание. В данном случае погрешность можно оценить, вычислив точное значение интеграла. Согласно решению задачи

1881 из [1]

∫

dx

=

1

ln

(x + 1)2

+

1

arctg

2x − 1

+ C.

1 + x3

6 x2 − x + 1

√3

√3

Применяя формулу Ньютона – Лейбница, находим:

1

dx

1

arctg 2x − 1

1

−

0

=

+

=

1 ln (x + 1)2

∫

1 + x3

(

6

x2 x + 1

√

3

√

3

) 0

1 π

=3 ln 2 + 3√3 ≈ 0,8356488426.

271

Замечание. На данном примере видно наличие двух факторов, влияющих на точность результата приближенных вычислений: погрешность приближенной формулы и погрешности округления. Погрешность приближенной формулы оценивается величиной 0,00347, поэтому значение I12 может гарантировать точность вычислений 4·10−3. Однако сама величина I12 вычисляется с округлениями и для того, чтобы округления не повлияли существенно на точность вычисления, приближенное значение I12 должно быть вычислено с тем же порядком точности 10−3. В этом случае суммарная погрешность не превысит 5 · 10−3. Однако, как показывают произведенные вычисления, действительная точность в данной задаче оказалась выше теоретической оценки (меньше 5 · 10−4).

∫π/2√

2534. 1 − 14 sin2 x dx (n = 6).

0

Подынтегральную функцию

√

y(x) = 1 − 14 sin2 x

удобно преобразовать с помощью формулы sin2 x = (1−cos 2x)/2 к виду

	1		√
y(x) =				7 + cos 2x.
	2√
		2

Результат приближенного вычисления интеграла обозначим I6. Формула (12.2) дает

	π	[	1						π						π				π
I6 =				y (0) + y (							)	+ y (				) + y (				)+
	12		2						12						6				4
					π			5π					1				π
	+y (					)	+ y (			)		+		y	(			)].
					3			12					2				2

272

Вычисляя значения функции, находим:

y (0) = 1;

14 + √

π

3

y (

) =

√

4

≈ 0,991591234064;

12

√

π

15

y (

) =

≈

0,968245836552;

6

4

π

7

y (

) =

√

≈ 0,935414346693;

4

8

√

π

13

y (

) =

≈

0,901387818866;

3

4

5π

14

√

3

y (

)

=

√

4−

≈ 0,875640807938;

12

√

π

3

y (

) =

≈ 0,866025403784;

2

2

Величина

π

≈ 0,261799387799.

12

Выполняя вычисления, получаем

I6 ≈ 0,261799387799 · 5,605292746005 ≈ 1,467462209338.

Вторая производная подынтегральной функции

y′′(x) = −cos√2 2x + 14 cos 2x + 1 . 2 2(7 + cos 2x)3/2

Так как | cos 2x| 6 1 и |7 + cos 2x| > |7 − 1|=6, то

|y′′(x)| 6	1 + 14 + 1				=	2
	√			3/2		√		.
		2	· 6
	2					3 3

Следовательно, величина погрешности (a = 0, b = π/2, h =

= π/12):

(b

a)h2

1 π

π

2

2

|R6| =

−12

y′′(ξ)

6

12 · 2

· (

12 )

·

3√3

=

273

π3

= √ ≈ 0,003453218. 5184 3

С помощью формулы Симпсона вычислить интегралы:

∫9 √

2535. x dx (n = 4).

1

Результат приближенного вычисления интеграла обозначим

√

I4. По формуле (12.3) для y(x) = x:

2

I4 = 3 [y(1) + y(9) + 4 (y(3) + y(7)) + 2y(5)] =

=23 [1 + 3 + 4(√3 + √7) + 2√5] ≈

≈0,666666666667 [4 + 4 · (1,732050807569+

+2,645751311065) + 2 · 2,236067977500] ≈

≈ 17,322229619689.

Замечание. Точное значение интеграла

9

2

9

52

1

∫

√x dx =

3

x3/2 1

=

3

≈ 17,333333333333.

π

2536.

∫0

√

dx (n = 6).

3 + cos x

Приближенное значение интеграла обозначим I6. В соответ-

ствии с формулой (12.3) для y(x) = √

на отрезке [0; π] с

3 + cos x

n = 6 получаем:

(y (

6 ) + y (

2 )

+ y (

6 ))+

I6 = 18

[y(0) + y(π) + 4

π

π

π

5π

2

(y

(

3 )

+ y (

3 ))]

=

π

2π

274

2 +

√3 +

√

√3

√

π

3

=

√2 + 4

+ √3 +

+

18

23

2

−

+2 (√

+ √

)]

≈

2

2

7

5

≈ 0,174532925199 [2 + 1,414213562373+ +4(1,966221097381 + 1,732050807569 + 1,460812991528)+ +2(1,870828693387 + 1,581138830084)] ≈ 5,402577372751.

	π/2
2537.	∫0	sin x	dx (n = 10).
		x
Рассматриваемый интеграл совпадает с интегралом от непре-
рывной функции
			y(x) =		sin x
							, x ̸= 0,
					x
				1,		x = 0.

Приближенное значение интеграла обозначим I10. По формуле (12.3) для функции y(x) на отрезке [0; π/2] с n = 10 получаем:

π

π

I10 =

[y(0) + y (

)+

60

2

π

3π

π

7π

π

+4 (y (

)

+ y (

) + y (

)

+ y (

)

+ y (9

))+

20

20

4

20

20

+2

(y (

10 ) + y

(

5 ) + y (

10 ) + y (

5

))] =

π

π

3π

2π

[1+

2

+4(

20

20

3π 2√

20

7π

π

π

2

=

sin

+

sin

+

+

sin

+

60

π

π

20

3π

20

π

7π

20

)(

+

20

sin

9π

+ +2

10

sin

π

+

5

sin

π

+

10

sin

3π

+

20

10

5

10

9π

π

π

3π

275

	5		2π	)]=			1		4		π 4				3π		2√			4		7π
					π													2
+		sin				+		+		sin		+		sin		+			+		sin		+
	2π		5		60		30		3		20		9		20		15			21		20

+274 sin 920π + 13 sin 10π + 16 sin π5 + 19 sin 310π + 121 sin 25π ≈

≈0,052359877560 + 0,033333333333 + 0,208579286720+

+0,201773555440 + 0,188561808316 + 0,169715528417+

+0,146324198607 + 0,103005664792 + 0,097964208715+ +0,089890777153 + 0,079254709691 = 1, 370762948744 .

	1
2538.	∫	x dx	(n = 6).
		ln(1 + x)

0

Рассматриваемый интеграл совпадает с интегралом от непрерывной функции:

{x

y(x) = ln(1 + x) , x ̸= 0,

1, x = 0.

Приближенное значение интеграла обозначим I6. По формуле (12.3) для функции y(x) на отрезке [0; 1] с n = 6 получаем:

I6	= 18				[y(0) + y(1) + 4								(y		(	6 ) + y			(	2 ) + y		(	6 ))		+
			1													1				1			5
+2	(y	(		3 )			+ y (			3 ))]		=		18	+ 18 ln 2				+		27 ln 67	+		9 ln	23 +
				1						2				1				1			1			1
	+				5			+		1		+			2			≈ 0,055555555556+
			27 ln 116						27 ln 34					27 ln 35

+0,080149724494 + 0,240265155357 + 0,274033718042+ +0,305517648181 + 0,128742944325+ +0,145008532516 = 1,229273278471 .

276

2539. Принимая n = 10 вычислить константу Каталана

		1	arctg x
	G = ∫0			dx.
			x
	Рассматриваемый интеграл совпадает с интегралом от непре-
	рывной функции:
	y(x) = {	arctg x
		1,	xx =, 0.x ̸= 0,

Приближенное значение интеграла обозначим I10. По формуле (12.3) для функции y(x) на отрезке [0; 1] с n = 10 получаем:

G ≈ I10 =			1	[y(0) + y(1) + 4				(y (		1	)			+ y (		3		) + y	(		1	)+
			30							10					10						2
+y(	10 )+y(				10 ))+2		(y(	5 )+y(				5 )+y(				5 )+y(			5 ))]				=
	7				9			1				2				3			4

=301 + 120π + 43 arctg 101 + 49 arctg 103 + 154 arctg 12 + 214 arctg 107 +

+274 arctg 109 + 13 arctg 15 + 16 arctg 25 + 19 arctg 35 + 121 arctg 45 ≈

≈0, 033333333333 + 0, 026179938780 + 0, 132891536655+

+0, 129536353101 + 0, 123639362400 + 0, 116328755122+ +0, 108565200265 + 0, 065798519950 + 0, 063417729519+ +0, 060046611141 + 0, 056228411852 = 0, 915965752118 .

2540. Пользуясь формулой

	1
π	= ∫0	dx	,
4		1 + x2

277

вычислить число π с точностью до 10−5. Для числа π имеем формулу

	1
π = 4	∫0	dx
			.
		1 + x2

Оценим погрешность формулы Симпсона для вычисления интеграла. В общем случае, для интеграла от функции y(x) на отрезке [a; b] с разбиением на n частей и шагом h = (b − a)/n эта погрешность определяется равенством

	R	n	=	−	(b − a)h4	yIV (ξ) (ξ		[a; b]).
					180

В нашем случае a = 0, b = 1, h = 1/n и данная формула принимает следующий вид:

Rn = −	1	yIV (ξ).
	180n4

Для того, чтобы получить, по возможности, более точную оценку четвертой производной подынтегральной функции

1 y(x) = 1 + x2 ,

можно поступить следующим образом. Дифференцируя четыре раза тождество

1		=		1		(			1		−	1		)
	1 + x2				2i			x	−	i		x + i		,
получаем:
		12		(		1						1			).
yIV (x) =											−
			i			(x − i)5							(x + i)5

Рассмотрим комплексное число

z = x + i.

278

При любом вещественном x это число имеет положительную мнимую часть. Следовательно, можно считать, что его аргумент меняется в пределах от нуля до π. В этом случае

√

x + i = 1 + x2(cos φ + i sin φ),

где

φ = arcctg x.

Комплексно сопряженное число x − i имеет противоположный аргумент, поэтому

√

x − i = 1 + x2(cos φ − i sin φ).

Применяя формулу Муавра, находим:

1	=	1	(cos 5φ − i sin 5φ) ,
(x + i)5		(1 + x2)5/2
1	=	1	(cos 5φ + i sin 5φ) .
(x − i)5		(1 + x2)5/2

Подставляя полученные выражения в формулу для четвертой производной функции y(x), получаем

	yIV (x) =	24	sin (5 arcctg x) .
		(1 + x2)5/2

Оценивая правую часть последнего равенства, имеем:

|yIV (x)| 6 24 · 1 = 24. (1 + 0)5/2

Отсюда вытекает следующая оценка погрешности формулы Симпсона:

2

|Rn| 6 15n4 .

279

Так как приближенное значение числа π определяется учетверенным интегралом, то погрешность вычисления ∆ этого числа в четыре раза больше погрешности вычисления интеграла, т. е.

8

|∆| 6 15n4 .

По условию задачи необходимо, чтобы ∆ < 10−5. Для обеспечения этой точности досточно выбрать n из условия

											8								< 10−5.
										15n4
Последнее неравенство равносильно
														16
				n > 10							√4										≈ 15, 1967.
															3
Следовательно, достаточно взять n = 16.
По формуле Симсона (12.3) c n = 16 имеем:
	1											1														3												5
π ≈ 4 ·			[y(0) + y(1) + 4									(y (													)	+ y (							) + y (						)+
	48																							16								16						16
	7	9										11														13										15
+y (			) + y (						) + y			(											) + y (								) + y (						))+
	16				16													16											16							16
		1										1														3								1
	+2 (y (					) + y					(					)+ y (											) + y (								)+
				8									4													8								2
		5										3														7
			+ y (						) + y				(							) + y						(				))] =
							8												4									8

=121 + 241 + 256771 + 256795 + 256843 + 256915 + 1011256 + 1131256 + 1275256 +

+1443256 + 19532 + 518 + 21932 + 152 + 26732 + 758 + 33932 ≈

≈0,0833333333 + 0,0416666667 + 0,3320363165 + 0,3220125786+

+0,3036773428 + 0,2797814208 + 0,2532146390 + 0,2263483643+

280