Федоров Лабораторный практикум 2008

Работа 29

АНАЛИЗ СПЕКТРА ПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель: изучение спектра негармонических колебаний периодических сигналов различной формы.

ВВЕДЕНИЕ

Исследования колебаний сложной формы начались в XVIII в. математиками Ж.Л. Д’Аламбером и Д. Бернулли в известной задаче о колеблющейся струне. В XIX в. Ж.Б. Фурье их идеи развил в общий метод решения разнообразных задач математической физики. Теорема Фурье утверждает, что всякая периодическая изменяющаяся функция может быть представлена как суперпозиция постоянной (независимой от времени) величины и ряда синусоидальных (гармонических) величин с кратными частотами.

		a0		∞
	f (x) =		+ ∑(ak cos kx +bk sin kx) , −π ≤ x ≤ π,							(29.1)
	2		k=1
	где						π
		ak =		1				f (x)cos kxdx ,	k = 1, 2, …,
							∫
				π
							−π
		bk =		1			π	f (x)sin kxdx ,	k = 1, 2, …
							∫
					π
							−π

Следовательно, периодический сигнал U(t), отличающийся от гармонического, можно представить как сумму гармонических сигналов, частоты которых кратны частоте исходного сигнала

(рис. 29.1):

211

∞
U (t) =U0 + ∑ An sin(ωnt + αn ) , где	ωn = nω1 , n =1, 2, ... (29.2)
n=1

Гармоническая составляющая, частота которой равна частоте несинусоидального периодического сигнала, называется основной гармоникой; остальные гармоники, у которых частота в 2, 3, 4 (и т.д.) раз больше, называются высшими гармониками, т.е. второй гармоникой, третьей и т.д.

Рис. 29.1. Пример сложения первой и второй гармоники негармонического сигнала с начальными фазами, равными нулю

Спектром сигнала называется совокупность гармоник, на которые может быть разложен или из которых может быть синтезирован сложный сигнал. Спектры, состоящие из отдельных линий, на-

зывают линейчатыми, или дискретными. Амплитудным спектром называют набор амплитуд всех гармоник, который представляют графиком в виде набора вертикальных линий, длины которых пропорциональны амплитудным значениям гармонических составляющих, а место на оси абсцисс определяется частотой (номером гармоники) данной составляющей. Таким образом, спектральные линии находятся на расстоянии ν друг от друга, где ν — частотный интервал, равный частоте первой гармоники (рис. 29.2). На рисунке представлен спектр прямоугольного колебания, где длительность импульса равна времени паузы (скважность равна двум так называемым меандрам). Спектр не содержит четных гармоник.

212

Рис. 29 2. Линейчатый амплитудный спектр прямоугольного сигнала скважностью два

Периодическая кривая называется симметричной относительно оси абсцисс, если любым двум абсциссам, отличающимся на половину периода, соответствуют ординаты, равные по величине и обратные по знаку, т.е. кривая удовлетворяет уравнению:

f (x) = − f (x + π) .

(29.3)

Такие кривые обладают тем свойством, что отрицательная полуволна, будучи сдвинутой на половину периода по оси абсцисс, представляет собою зеркальное изображение положительной полуволны относительно оси абсцисс.

Кривые, симметричные относительно оси абсцисс, не содержат постоянной составляющей и высших гармоник четного порядка.

Докажем это математически: пусть

f (x) = a0 + a1 sin(x + α1) + a2 sin(2x + α2 ) + a3 sin(3x + α3 ) + …, f (x + π) = a0 + a1 sin(x + π+ α1) + a2 sin[(2(x + π) + α2 )] + a3 × ×sin[3(x + π) + α3 ] +... = a0 − a1 sin(x + α1) + a2 sin(2x + α2 ) − −a3 sin(3x + α3 ) +...

Так как симметричные относительно оси абсцисс кривые должны удовлетворять уравнению:

213

f (x) = − f (x + π) или f (x) + f (x + π) = 0 ,

т.е.

a0 + a1 sin(x + α1) + a2 sin(2x + α2 ) + a3 sin(3x + α3 ) +... + +a0 − a1 sin(x + α1) + a2 sin(2x + α2 ) − a3 sin(3x + α3 ) +... = 0,

то 2a0 + 2a2 sin(2x + α2 ) +... = 0 .

Последнее уравнение должно быть справедливо при любых зна-

чениях х, а это	возможно лишь в	том	случае, если
a0 = 0; a2 = 0; a4 = 0	и т.д. Следовательно,	кривая,	симметричная

относительно оси абсцисс, содержит только нечетные гармоники: f (x) = a1 sin(x + α1) + a3 sin(3x + α3 ) +...

или

f (x) = b1 sin x + b3 sin 3x +... + c1 cos x + c3 cos3x +...

(29.4)

В физике и электротехнике кривые, симметричные относительно оси абсцисс, встречаются часто, например кривые тока в катушке с ферромагнитным сердечником, подключенной к синусоидальному источнику напряжения.

Периодическая кривая называется симметричной относительно начала координат, если удовлетворяет уравнению:

f (x) = − f (−x) .

(29.5)

Можно показать, что уравнение такой кривой:

f (x) = b1 sin x + b3 sin 3x + b5 sin 5x +...,

(29.6)

т.е. эти кривые не содержат постоянной составляющей, четных гармоник и косинусоидальных составляющих.

Постоянная составляющая сигналов, несимметричных относительно оси абсцисс, определяется по формуле:

			1	2π
	a0	=		∫ f (x)dx .	(29.7)
			2π
				0

Следует отметить, что симметрия или несимметрия относительно оси абсцисс обусловлена формой кривой и устранена быть не

214

может. Симметрия же относительно начала координат в ряде случаев достигается целесообразным выбором начала отсчета.

Таким образом, если в электрической цепи присутствует негармонический сигнал, рассчитывается воздействие на эту цепь каждой гармоники, а затем результаты суммируются. Амплитуда гармоник с ростом номера убывает. Поэтому для практических целей используется конечное число слагаемых ряда, определяемое заданной точностью.

Втехнике для получения необходимых частот гармонический сигнал заведомо искажается нелинейными элементами (полупроводники, ферромагнетики в области насыщения и т.п.), а затем нужную гармонику выделяют с помощью настроенного колебательного контура.

Для сигналов часто встречающихся форм разложение в ряд Фурье можно найти в специальной литературе. В табл. 29.1 представлены разложения для форм, выдаваемых генератором ГЗЧ/М. Под V следует понимать величину, измеряемую либо в вольтах, либо в амперах.

Вкакой мере математические представления соответствуют физической реальности и можно ли их использовать в инженерной практике? В цепь перестраиваемого последовательного колебательного контура, подключенного к генератору несинусоидальных колебаний, включим амперметр. При изменении частоты резонанса в контуре бу-

дут наблюдаться максимумы тока на частотах ν, 2ν, 3ν, … и т.д. Амплитуда колебаний, в соответствии с теорией, будет уменьшаться с ростом номера гармоники. Такой эксперимент, казалось бы, полностью подтверждает существование гармоник, но это не так. Правильное понимание заключается в том, что существует единый несинусоидальный сигнал, но на те или иные цепи он воздействует так, как будто состоит из бесконечной суммы гармонических сигналов с определеннымиамплитудами, частотамиифазами.

В результате лабораторной работы могут появиться данные, отличающиеся от теоретических. Возможной причиной этого может быть несоответствие формы сигнала табличным примерам. Создать идеальную форму требуемого сигнала — сложная инженерная задача.

215

Таблица 29.1

Разложения для форм, выдаваемых генератором ГЗЧ/М

4V

∞

k = 1, 3, 5, ...,

f (t) =

∑

sin kωt

(1)

ω = 2πν

π

k =1

k

∞

k −1

k = 1, 3, 5, ...,

8V

sin kωt

f (t) =

∑(−1)

2

(2)

ω = 2πν

2

π

k =1

k

2

τ

2

∞ 1

kωτ

k = 1, 2, 3, 4, 5,

f (t) =V

+

∑

sin

cos kωt

(3)

ω = 2πν

T

π k =1 k

2

f (t) =

2V

1

+

π

cosωt +

1

cos 2ωt −

k = 1, 2, 4, 6, ...,

π

4

1 3

2

ω = 2πν

1

1

cos6ωt

−

cos 4ωt +

(4)

3 5

5 7

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Изучение спектров периодических сигналов производится студентом на комплексе ЛКЭ-1 на модуле МО2 «Цепи переменного тока». В качестве генератора несинусоидальных колебаний применяется «Генератор звуковой частоты/Метроном» (Г3Ч/М). Для измерений также понадобится осциллограф MOS-620B.Измерения производятся при помощи схемы, приведенной на рис. 29.3.

Приведенная схема представляет собой последовательный колебательный контур с возможностью косвенного измерения тока в контуре и наблюдения его формы. Комплекс не имеет в своем составе перестраиваемый колебательный контур, поэтому для изме-

216

рений спектров используется способ изменения частоты возбуждающего генератора без изменения его выходного напряжения и формы сигнала. При этом колебательный контур будет входить в резонанс с высшими гармониками сигнала, так как частота генератора будет уменьшаться от резонансной частоты контура, найденной на гармоническом сигнале. Такой способ определения спектра аналогичен способу, где спектр снимается изменением резонансной частоты колебательного контура в сторону увеличения частоты (номера) гармоники.

Рис 29.3. Принципиальная схема установки

Осциллограф применяется для однозначного нахождения максимума тока гармоники и измерения ее амплитуды. Чем выше номер гармоники, тем сильнее искажается сигнал. Искажения вызваны тем, что с ростом номера гармоники уменьшается и энергия, возбуждающая контур. Поэтому колебания становятся затухающими. Следовательно, для измерения амплитуды найденной гармоники необходимо фиксировать размах только первого периода (т.е. крайние точки осциллограммы по оси ординат, соответствующие двойной амплитуде гармоники). Синхронизацию сигнала уста-

навливать в этом случае нет необходимости.

В качестве катушки индуктивности используется высокодобротная индуктивность с маркировкой А из комплекта комплекса и устанавливается на держатель, расположенный в центре между модулями (имеет вид соленоида диаметром 70 мм и толщиной около 15 мм). Ее характеристики: R = 18,4 Ом, L = 20 мГн.

217

Конденсатор контура набирается из двух последовательно соединенных емкостей с номиналом каждой по 0,1 мкФ для достижения более удобной для снятия спектра резонансной частоты.

Для создания сигнала несимметричной формы в схему последовательно может быть включен диод, в качестве которого используется p-n-переход транзистора VT1. Для этого достаточно убрать перемычку.

ЗАДАНИЕ

1.Собрать схему.

2.Включить генератор, осциллограф.

3.Дать прогреться приборам в течение 5 мин. За это время убедиться в следующих установках переключателей и ручек ос-

циллографа: «HORIZONTAL SWP. VAR» — в положение CAL, «HORIZONTAL TIME/DIV» — 2 ms (рекомендуемое, начальное), «TRIGGER MODE» — AUTO, «TRIGGER SOURCE» — CH2, «TRIGGER SLOPE» — +, «VERTICAL MODE» — CH2, «VERTICAL (для CH2) VAR. PULLx5MAG» — CAL., «CH2 INV» — отжа-

та, «AC GND DC» — в положение DC. В названии переключателя первое слово обозначает блок осциллографа. Остальные положения переключателей и ручек меняются по необходимости.

4.Генератор переключить в режим синусоидального сигнала

(~)ручкой «Форма». Ручкой «Амплитуда» установить выходное напряжение 5 В. Амплитуду колебаний в течение всей работы больше не менять! Дискретный переключатель «Частота» установить в положение 1 К.

5.Найти собственную частоту резонанса колебательного контура. Для чего, медленно вращая ручку «Частота», добиться максимума амплитуды на экране осциллографа, при этом подбирая оптимальную чувствительность канала вращением ручки «VOLTS/DIV» второго канала (CH2). Сигнал на экране должен занимать наибольшую площадь и быстро спадать при расстройке частоты влево и вправо от резонанса.

6.Снять показания частотомера генератора и измерить двойную амплитуду сигнала осциллографом, занести их в колонки и столбцы подготовленной таблицы, соответствующие синусоидаль-

218

ному сигналу. Убедиться в отсутствии других резонансов плавным изменением частоты.

7. Переключить генератор в режим выдачи треугольного сигнала «Форма» — /\/. Медленно вращая ручку «Частота» от большей частоты к меньшей (справа налево), найти 5 ÷ 6 резонансов, измеряя, соответственно, значения амплитуд гармоник осциллографом, а частоты по цифровой шкале генератора. При этом опять подбирать чувствительность осциллографа для большей точности нахождения резонансов и измерения амплитуд. Проверить наличие резонансов на меньшем диапазоне генератора (100). Все измерения занести в таблицу в колонки для этой формы сигнала.

8.Повторить все операции п. 7 для других форм сигнала, имеющихся на генераторе.

9.Опять установить на генераторе синусоидальный сигнал, но при этом удалить перемычку из схемы. Зарегистрировать частоты и амплитуды резонансов.

10.После исследования всех вариантов, переключить осциллограф к входу генератора и, добившись устойчивой синхронизации сигнала, зарисовать два периода в журнал для каждой формы. Причем все осциллограммы снимаются с установленной перемычкой, а для синусоидального сигнала с ней и без нее.

11.Рекомендуется для формирования таблицы использовать такую последовательность названий рядов для каждой формы сигнала: 1 — частота (Гц); 2 — коэффициент чувствительности осцилло-

графа (В/дел); 3 — размах гармоники, равный 2 ×Ui , (дел.); 4 —

амплитуда гармоники (В); 5— номер гармоники; 6 — нормированное значение амплитуды экспериментальное; 7 — теоретическое значение амплитуды (В); 8 — нормированное значение теоретической амплитуды гармоники.

12. Построить графики зависимости амплитуды гармоники от частоты для всех измеренных форм сигнала в виде пропорциональных вертикальных отрезков, а теоретические значения, рассчитанные по приведенным формулам, с некоторым смещением по горизонтали обозначить рядом пунктирной линией. Постоянную составляющую отмечать на оси ординат. Для возможности сравнения теоретической и экспериментальной зависимости, а также чтобы не учитывать сопротивления схемы, необходимо нормировать амплитуды гармоник. Для этого разделите измеренные и рассчитанные

219

амплитуды на соответствующую величину первой гармоники (таким образом U1 =1 ). Формулу (3) в табл. 29.1 для данного генера-

тора можно легко упростить (скважность сигнала T / τ = 2 ). На тех же листах отразить формы сигналов. Масштабы по всем осям для всех графиков сделать одинаковые. В отличие от эксперимента частота на графиках должна увеличиваться слева на право. Под частотой на оси абсцисс нанести номер гармоники, определив ее по отношению первого резонанса ко всем остальным, с округлением до целого числа. Видимую погрешность по амплитуде изобразить пунктирным отрезком (3 %). Приборная погрешность по частоте незначительна, а случайная составляющая находится с точностью определения резонанса при помощи осциллографа как индикатора.

13. Проанализировать получившиеся данные и сделанные выводы записать в заключении.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называется спектром сигнала? Как он изображается?

2.Как может быть представлен периодический сигнал сложной формы?

3.У каких форм сигналов отсутствуют четные гармоники?

4.Для стабилизации частоты в технике используются кварцевые пластины («обратный пьезоэффект»). Но механическая прочность тонкой пластины кварца не позволяет получить частоты вы-

ше 100 МГц. Как получить стабильные частоты в 300 или 400 МГц? Предложить два варианта решения.

5.Можно ли из набора независимых генераторов создать любой сложности форму периодического сигнала?

6.Как изменяется спектр сигнала в зависимости от роста искажений синусоидального напряжения?

7.Почему электрические разряды (одиночные или повторяющиеся) являются источником помех для приемной радиоаппаратуры?

220