[ Слоущ ] Высшая алгебра (1 семестр, базовый поток). Задачи с решениями для коллоквиума и экзамена

21

Решение. Ординаты точек касания есть y0 = §p2x0 = §p8. Поскольку прямая, касающаяся параболы y2 = 2px в точке M0(x0; y0),

задается уравнением yy = p(x + x ), искомые уравнения имеют вид p8y = (x + 4) и ¡p8y =0 (x + 4). 0

Задачи для самостоятельного решения

1.Составить уравнение гиперболы, имеющей общие фокусы с эллипсом x252 + 16y2 = 1 при условии, что её эксцентриситет " = 2.

2.Написать уравнения касательных к эллипсу x252 + 16y2 = 1, проходящих через точку M0(5; ¡4).

3.Написать уравнение асимптот гиперболы x42 ¡ y92 = 1.

4.Написать уравнения касательных к параболе y2 = x, касающихся её в точках с абсциссой x0 = 2.

Алгебра матриц. Системы линейных алгебраических

			201 21						уравнений					3.
1.Вычислить Tr								t	00 01		+ 5	1 1
				1 1					1 2			µ	¶
				1 1				¢	0 1
			4@			A			@	A		1 0		5
Решение.
Tr 201 21	t	00 01 + 5 1 1								3	=
1 1			1 2					µ ¶5
4@1 1A ¢ @0 1A
									1 0
		= Tr 2				1 2 1				00 01 + 5				1 1	¶	3	=
					µ				¶ ¢	0 1			µ
						1 1 1				1 2				1 0
				4						@	A					5
				= Tr ·µ1 3¶ + µ5 5¶¸									= Tr µ6 8¶ = 6 + 8 = 14:
								1 3			5 0				6 3
		µ	1	¶	¤	¢		1 + i			2		¤
				2								A
2. Вычислить			3	4			@				3		; где i мнимая единица,
							01 ¡ i					1

21 + 2i

т.е. i2 = ¡1.

22

Решение.

µ ¶

¢

2 1 + 2i

¤

µ ¶ ¢ µ

¶

1 2

¤

@

1 + i

2

A

= 1 3

1 + i 1 ¡ i

2

=

1 i

3

3 4

0

¡

1

µ

2 4

2

3 1 + 2i

µ2 4¶ ¢

2 3 1 ¡ 2i¶

=

1 3

1 ¡ i 1 + i

2

=

µ2 ¡ 2i + 8 2 + 2i + 12 4 + 4 ¡ 8i¶

=

1 ¡ i + 6 1 + i + 9 2 + 3 ¡ 6i

=

µ10 ¡ 2i 14 + 2i 8 ¡ 8i¶

=

7 ¡ i

10 + i 5 ¡ 6i

3. С каким знаком входит в определитель шестого порядка произ-

ведение a42a31a15a66a23a54?

Решение. Переставим сомножители так, чтобы первые индексы оказались упорядоченными по возрастанию: a15a23a31a42a54a66. Теперь знак перед произведением это знак перестановки вторых индексов: f5; 3; 1; 2; 4; 6g. Перестановка вторых индексов содержит следующие беспорядки: (5; 3), (5; 1), (5; 2), (5; 4), (3; 1), (3; 2). Таким образом, в перестановке вторых индексов шесть беспорядков, и про-

изведение входит в определитель со знаком плюс.

¯1

2

2

15¯

¯

1

1

9

37

¯

¯1

2

3

4

¯

¯

2

3

3

¯

4. Вычислить определитель ¯1

¯.

¯

¯

Решение. Вычитая из четвертой¯

строки¯

третью (IV-III), затем из

третьей строки вторую (III-II),¯

и наконец¯

из второй строки первую

(II-I), получим:

¯1 2 3 3 ¯

¯1 2 3 3 ¯

¯

1

1

9

37

¯

1

1

9

37

¯

¯

¯1 2 3 4 ¯

¯0 0 0 1 ¯

III=-II

¯1

2

2

15¯ IV=-III

¯1

2

2

15¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯0 0 1

12¯

¯0 0 1

12¯

¯

¯

¯

¯

¯

1 1 9 37

¯

¯

1 1 9

37

¯

=

¯1 2 2 15

¯

=II-I

¯0 1 ¡7 ¡22¯

= 1

¯

¯

¯

¯

¯

¡1

¯

¯

¡1

¯

¯0 0 0

¯

¯0 0 0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

																					23
										1	1		0	1		2
									B1		1		0	1		2C
5. Вычислить ранг матрицы									B		2		1	0		C
									01							21.
										1 0			¡1	2		2
Решение. Последовательно@вычитая														первую			строку из				второй,
																A
третьей и четвертой строк, получим:
	1	1		0	1	2						1	1	0		1	2
B1 1 0 1 2C								=II-I rank			B1 1 0					1 2C
rank 01		2		1	0	21					00		1	1		¡1	01 III=-I
B							C				B							C
@	1 0 ¡1 2 2						A				@	1 0 ¡1 2 2						A
= rank			1	1		0		1	2						1	1		0	1	2
		00		1		1	¡1		01 IV=-I rank					00		1		1	¡1	01 III+II=
		B								C				B							C
		@	0 ¡1 ¡1					1 0		A				@	0 ¡1 ¡1				1	0	A
		B1 1				0		1 2C						B0 0				0	0	0C
						1	1	0	1		2					µ0 1 1 ¡1				0¶
						0 0 0 0 0
		= rank			B0		0	0	0		0C		= rank			1	1 0		1	2	= 2:
					00 1 1 ¡1						01
					B						C
					@						A

Ранг итоговой матрицы равен двум, т.к. в ней есть ненулевой минор

			¯	1	1		¯					1
2-го порядка:			¯		1		¯1	1		¡
			¯0		1¯ = 1 6= 0.
			¯				¯	01 .
6. Вычислить			01				0
					1		1	0
Решение.		Воспользуемся методом Гаусса.
			@						A
1 1	1	1	0		0			II-I					1	1			1		1		0		0	(-1)II
1 1 0¯		0 0 1						()					0 0				1¯			1 0 1				()
	¯				01													¯	¡1				01
01 0 0¯		0	1					III-I			00 ¡1 ¡1¯										1			(-1)III
@	¯					A					@					¡		¯	¡				A
	¯					1 0 0					1 0				0			¯				1 0 0			1 0	0
	()					0 0 1¯					1 0					1		()				0 0 1¯			1 0	1
	¯				@					¯					¡		A	¯ II-III			@			¯		¡	A
					00			1	1¯		1		¡1		0		1				00		1	0¯	0 ¡1	1	1	:
						1		1		¯			¡1		0		1			0				¯
									1¯															¯
Таким образом,					@1 1 0A @1 0														5¡3A8
					01			0	01				=	00			¡1 1 1						:
7. Решить систему методом Крамера: µ3																					1	7¶.
																					¯
																					¯
																					2¯
																					¯

24

Решение. Вычислим необходимые определители

¢ =

5

3

8

3

= ¡5; ¢2

5

3

= 11:

¯3 2¯ = 1; ¢1 =

¯7 2¯

= ¯3 2¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Таким образом,¯

решение¯

системы¯

x¯

1 =

¢1

=

¡

5, x¯

2

=

¯

¢2

= 11.

¢

¯

¯

¯

¯

¯

¯¢

8. Решить систему методом Гуасса

1

1

1

1

1

1

µ1

1

2

1

1¯

1¶.

Решение.

¯

¯

1 1 1 1 1

1

II-I

1 1 1 1 1¯

1

µ1 1 2 1 1¯

1¶

() µ0 0 1 0 0¯

0¶

¯

¯

Делая замену переменных y¯1 = x1, y2 = x3, y3 = x2¯, y4 = x4, y5 = x5,

¯

¯

получим систему уравнений для переменных y1 : : : y5:

1 1 1 1 1

1

I-II

1 0 1 1 1

1

µ0 1 0 0 0¯

0¶

() µ0 1 0 0 0¯

0¶

¯

¯

y1; : : : ; y5:

Выпишем общее решение системы¯

для переменных¯

¯

y1 = 1

C1

¯

C2

C3;

y

= 1

¡

y

¡

y

4 ¡

y

;

8 y2 = 0;¡

¡

¡

1

3

5

> y3 = C1;

y2 = 0;

()

>

½

>

> y4 = C2;

<

> y5 = C3;

>

>

где C ; C

; C

3

произвольные величины. Переписывая общее реше-

1 2

>

:

ние в переменных x1; : : : ; x5, окончательно получим:

x1 = 1

C1

¡

C2

¡

C3

8 x2 = C1¡;

>

>

>

>

<

>x3 = 0;

>x = C ;

>4 2

: x5 = C3:

Этот ответ

можно записать в векторном виде:

0

1

001

0x2

1

0

1

1

0

0

1

0

x1

1

B

¡1

C

2

B

¡1

C

3

¡1

1

Bx4C

0

1

B

0

C B0C

B

C

B

0

C

B

C

B

C

B C

Bx5C

= C

B

C

+ C

B 0

C

+ C

B 1

C

+

B0C

:

B

x3

C

B

0

C

B

0

C

B

0

C

0

B C

@

A

@

A

@

A

@

A

@ A

Задачи для самостоятельного решения

1

¡1

t

¢

1

1

¡

0

1

¶

4@

1

1

A

1

1

µ

¡

5

1. Вычислить Tr

20¡1

2

1

01

11

2

1

1

3.

									25
	5	1	¤	2 ¡ i			1 + i		¤
т.е. i2	µ	¶	¢	i	¡	2	1	+ 3i
	= ¡1.	2		@			2	A	; где i мнимая единица,
2. Вычислить 1				03 + 2i				+ 2i1

3.	С каким знаком входит в определитель седьмого порядка произ-
ведение a33a52a76a25a41a64a17?					1		1		1		1		¯
			¯
				1			1	1			1		¯
			¯¡				1	¡	1
			¯	1								1¯
4.	Вычислить определитель		¯	1			¡1	¡1			1		¯
			¯										¯.
			¯			0	4	¡		¡			¯
			¯					10			1		¯
			¯										¯
			B			1	7	17			3 C
5.	Вычислить ранг матрицы		B			4	8	18			7		C
			0										1.
		1 1 1 ¡1	@		10		18	40		17			A
6.	Вычислить	@0 1 1A							2	1			3
		00 0 11 .										¯
7.	Решить систему методом Крамера: µ1												4¶.
										1¯					1		1
							µ	1 ¡1				¯1		1		¯
								¡				¯1					¶
								1		1				¡1	1	¯	1 .
8.	Решить систему методом Гуасса															¯
																¯

Список литературы

[1]А.Г.Аленицын. Методическое указание к практическим занятиям по курсу "Высшая математика". Алгебра, I курс. Часть I. Л., 1984.

[2]А.Г.Аленицын. Учебные задания к практическим занятиям по курсу "Высшая математика"для групп ЦИПС. Алгебра I курс. Часть II. Л., 1988.