[ Суслина ] Аналитическая геометрия. Задачи к коллоквиуму во 2 семестре (усиленный поток)

• ©â¨ ᮡá⢥--ë¥ §-

-¨ï ¨ ᮡá

--ë¥ í«

âë.

• ©â¨

«

£¥ëå¡à¯®«§--¨âì,¥29¬

-C﨩(9î. •ãáâì.¨¥£âá葉¬®¯ì«¨¥âà¨ç®¯¥•гбвма®¯в®а¥¥àáªãâ®àâ®àA 2BªàAË(2¤¨EË(-)E®á⨣®)¬¥ª®¬¬ãâ¨à¥«¨§âᮡáâ¢n ¥¬ë¬§«¨ç¥--ã¥.ëåâ-ëåà®áâà§A-ᮡáâ¢, ç⮥ ¥¨©áâì,¥--¨

AB = BA.

㨻

çâ® «î¡®© ᮡá⢥--ë© ¢¥ª ®à ®¯¥à â®à

A

ï¥âáï

--ë¬ ¨ ¤«ï ®¯¥à

â®à

B.

‡

30.

««®¢).

•ãá ì

E n-¬¥à-®¥ «¨-¥© ®¥ ¯à®á à á⢮

-

¯®«¥¬ C. „®ª¦¨â¥,

¥,

ë© ¢¥ªâ®à «¨-¥©-®£® ®¯¥à

â®à

A 2 Ë(7E)

ᮡáâ

--ë¬ §- ç -¨¥¬

ï¥âáï

ᮡá⢥-

ë¬

‡

¤

31ᮡáâ¢. (8

¥««®¢).

ì a = ( ; . . . ; ) -ç¥-ã«¥¢

¬ âà¨æ

‡à¨ç¤

¥áªãî32. (8 ¡ ««®¢). ‚ ¯à®áâà

-á⢥ Ò

¬- £®ç«¥-

á⥯¥-¨

ë¥

P (t)

ªà

-®áâà¨á®¡á⢥--ëå §- ç¥- © ¨

¢ëïá

¨âì,

¢«ï âáï

ª®©-«¨¡® ¬-®£®ç«¥-.

¨¥¬á®¡á⢥--

áâப , £¤¥ ¢á¥ 2 R.

•ã

©â¨á®¡áâ¢--¥ ë¥ §- ç¥-

®¬ ¤«ï ®¯¥à â®à

P (A)

-ë¬ §-

-

P ( ). ‡¤¥áì

¥ªâ®àë (n n) ¬

æë b = a a. •

¨ç¥áªãî

¨ £¥®¬¥

-

¢ëè

n (á

¢¥é¥á⢥--묨 ª®íää¨æ¨¥-©â¨¬¨)n «£¥áᬡà

âà

®¢ ¥âáï

®¯ à

j

t

1

n

: Ò

! Ò , ᮯ®áâ ¢«ïî騩 ¬-®£®ç«¥-ã

â®à ¤¨ää¥à¥-æ¨à®¢ -¨ï

«¨ ¬ âà¨æ

b ¤¨ £®

«¨§ã¥¬ ©.

(t). • ©â¨ ®¯¥à â®àë e

cos A.

P (t) ¥£® ¯à®¨§¢®¤-ãî: (AP)(t) = P

0

A

n

n

¢¨¤

•¥è¥-¨¥ § ¤ ç¨ 5. Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ X ¬-®¦¥á⢮ ¬ âà¨æ

Ž¡à §æë à¥è¥-¨©

(1)

A =

a

b

;

2b

a

£¤¥ a; b ¯à®¨§¢ «ì-ë¥ ¢¥é¥á⢥--ë¥ ç¨á« . Žç¥¢¨¤-®, íâ® ¬-®-

¦¥á⢮

§ ¬ª-ãâ®

®â-®á¨â¥«ì-® á«®¦¥-¨ï, ¯®áª®«ìªã

A1 + A2 =

a

1

b

+

a

b

=

a

+ a

2

b

b

:

a

2

a

1

) a

+ a

2b

1

2b

2(b + b

1

1

2-11-2

1

2

2

⨢Žç¥-¢¨¤¨-ª®¬¬ãâ ª¦¥,⨢çâ®-

®¯, ⮥à

¥æ¨ïáâì

á«®¦¥ ¨ï -

¬-®¦¥á⢥ X

áá®æ¨ -

A1

+ (AA21++AA32) = (AA21++AA12;) + A3

;

¤ ï «î¡ëå ¬ âà¨æ A1

; A2

; A3

2 X. ‚ ¬-®¦¥á⢥ X ¥áâì -¥©âà «ì-ë©

í«¥¬¥-â ¯® á«®¦¥-¨î -ã«¥¢ ï ¬ âà¨æ

0 =

0

0

;

¨ ¤«ï ª ¦¤®© ¬ âà¨æë A ¢¨¤

(1) ¯à®â¨¢®¯®«®¦- ï ¬ âà¨æ

A =

a

b

â ª¦¥ ¯à - ¤«¥¦¨â ª«

X.

2b

a

Œë ã¡¥¤¨«¨áì, çâ® ¬-®¦¥á⢮ X

¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©

¡¥«¥ááã¢

£à㯯㠯® á«®¦¥-¨î.

X:

•

áᬮâਬ ⥯¥àì ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¬ âà¨æ A

1

¨ A ª« áá

A1A2

=

a

1

b

a

2

b

=

a a + 2b

1

2

a b

2

a

b

1

:

(2)

a

a

1 2

b

1

2

2b

1

2b

2

2(a

1

b +

2

1

) a a

+2b b

2

ˆ§ (2) ¢¨¤- ,

1

¨

2

¨¤ (1)

2

1

1

A A

ਠa = a a +2b b , b = a b +a b

Ÿá-

ª¦¥,

çâ®ã¬-®¦¥-¨¥

ª«

X ª® ¬ã

⨢-®: A A = A A

’ ª¨

®¡à

§®¬,

-®¦ áâ ®

X

¢«ï¥â

ᮡ®© ª®¬¬ãâ ⨢-

®¥ ª®«ìæ®. Ž¤- ª®,

2

X -

ï¥â¯à磻á⮫¥¬,

¯ ᪮«ìªã áã

1

2

îâ

- ®¡à â¨¬ë¥ ¬ â

1

X,

1

2

1

2

2

.

æë ª« áá

å®âï

ç-ë¥

®â -ã«¥¢®©

„¥á«¥©á⢨âa b¥«ì

®- «ì-ë¥

ç¨á«

,

¡ë ®¤-殬¨§ ª®â®àëå ®â«¨ç-®

¬ âà¨æ

A -¥ ¡à ⨬ .

1

2

2

1

â®

det A = a

2b

= 0é, ¥¨áâ¢ã£¤

- ,

᫨

a = 2b,

Ž¡®§- ç ¬ ç¥à¥§ Y

¬¥-¥®¦â ¥ ⢮ ¬

à¨æ ¢¨¤

(1), £¤¥ a; b

¯à¨æë§

-ë¥ à 樮-

ì-ë¥ ç¨á« . ’®ç-®â«¨ª ¦¥,

¤«ï X,

®¦-

¯à®-

à âì, çâ® Y

ï¥âáï ª®¬¬ãâ

¢-ë¬ ª®«ì

2

. •à¨

í⮬

«î¡ ï

- -

ï ¬

ª« áá

p

2

=6 0,

Y ®¡à

⨬ , ¯®áª «ìªã det A = a 2b

2

®â -ã««ï.¥¢

‚ëç¨á«âà¨æ¬ ®¡à â-ãî ¬ âà¨æã:

2

A 1

=

2

1

a b :

a 2-b12-

2b a

£Ÿá¤¥-®, çâ® A 1

¨¬¥¥â ¢¨¤

A a1

= 2a

eab ; b

ea =

;

e

:

a

2

2

b =

a

2

2b

2

1

e

2b

—¨á«

ea

«ì-ë ¢¬¥áâ¥

a

b.

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, A

2 Y

b à æ

Α

¯à®¢¥à¨«¨, çâ®

Y n 0

ï¥âáï

¡¥«¥¢®© £à㯯®©

ã¬-®¦¥-¨î.

•¥è¥

§ ¤

ç¨

14.

¢á

£®,

çâ® C([0; 1])

C([0; 1]):

(n 1).

¯®áª®«ì-¥æ, ¬-

G ®¡à §ã®â¬¥¯®¤¯à®áâà⨬,

-á⢮

’ ª¨¬

®¡à §®¬, ¬-®¦¥á⢮ Y ¯à ¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®©

¯®«¥.

ï¢ ï¥â

ª®¬¡¨-

æ¨ï

¥¯à¥àë¢-

-

®â१ª¥

[0; 1]

äã-ªæ¨© -®¢

ï

¯

-®©

äã-ªæ¨¥©.

„

«¥¥,

-

Ò

¬-®£®ç¢«ï

-®¢

⥯

-¨à¥¥-àë¢ëè¥ (n •à1)¥¦¤¥

§ã¥â ¯®¤¯à

¢®

à®áâà -á⢥

ç¨á« , â® äã-ªæ¨ï f(x) = f (x) + f (x)

ª¦¥

ï¥âáï

¥¯à¥-

-

ë¬

à®áâà -á⢮¬ -

¯®

¬ R

®áª®«ì ã «î¡

«¨-¥© áï

¥á«¨

1])f (x), f2()+x

-¥¯à¥àë¢-ë¥ - [0; 1] äã- 樨, ®¡à

¨ï

-

-¥© ¢ëè¥

(n

, ¨ «î¡ëå

¥é á⢥

ëå ç¨ ¥« , , äã-ªæ

P

(x) = P (x

P (x) ⮦¥

ï¥âáï

-- £®ç«¥-®¬

á⥯

-¨ -

á⥯¥-

C

[0;

,

ªã ¤«ï

ëå ¤¢ãå

-®£®¦¥á⢮-

P (x), P (x)

n 1

2

-®«ì

â®çª å x1); . . . ; xn, ¨ 1, 2

1

¢ëè-- ¥

¯à®¨§¢®«ì-ë¥

1

2

•à®¢¥à¨¬

2

2

, çâ®

¨ ¥©- ï á㬬

-

Òî騥áG

àë¢-®©

1

1

®¡à é ¥âáﮦ¥á⢮- ì ¢ 㪠§ --ëå â®çª å.

¯¥à¥á¥ç¥

¨¥ íâ¨å⥯¥®¤¯àì à®áâà

1

1

2

2

-áâ¢íâ®á£®á⮨⠫¨èì ¨§ã¡¥-¤¨âì«¥¢®© äã-ªæ¨¨:

Ò

\ G = f0g. •ãáâì P 2 Ò

\ G. ’®£¤

¯®¤¯à®áâàP (x) ¥¤áâ

¢«ï¥â ᮡ®©

ï¥âáï ¯àאַ© á㬬®©. „«ï

¤®áâ â®ç-

n 1

çâ®

¢¥é¥áâ¢â®¬,¥

¬-®£®ç«¥-

¢¨¤

P (x) = p0

+ p1x + . . . + pn 1xn 1;

n 1

P (x

n 1

= 0:

¯à¨ç¥¬

) = . . . = P (x

- ¡®«¥¥,

Š ª ¨§¢¥áâ-®, -

1

-®£®ç«¥- áâ¥n¯¥-¨ (n 1)

祬 (n 1)

ª®à¥-ìã«(ᥢ®©ç¥â®¬

ªà â

®áâ¨).

•®áª®«ìªã¨¬ã¥¥â-®£®ç«¥-

-13-

⮦¤P (x)

¥¨¬á⢥

¥--áï® ¢¥§«¨ç- -ã-î:ëå

Pª®à(x)-¥©,0.§ ª«îç ¥¬,

íâ®â -®£®ç«¥

Œë ¯®ª § «¨, çâ® Ò

\ G = f0g. ‘«¥¤

⥫ì-®, á㬬 ®¤

¯à®áâà -

Ò

¨ G

¢«ïn 1¥âáï ¯

á㬬 ©.

áâà •®ª-á⢮¬¦¥¬C([0ân¥;¯11])¥àì. ,

„«ïçâ®

í⮣¯àאַ -àאַ©¤® á㬬

ᮢ¯ ¤ ¥â ᮨ§¢®«ì¢á¥¬ ¯-à®ãî-

¢¨¤¥

ãî -

®â१ª¥ [0; 1]

äã-ªæ¨î f(x) ¬®¦çâ®-

¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢

£¤¥ P (x) -¥ª®â®àë© ¯®«¨-®¬ á⥯¥-¡¥¤¨âìáï,- ¢ëè¥ (n 1),

g(x)

-¥¯à¥àë¢-

ï äã-ªæ¨ï

ª ï, çâ®

3)

f(x) = P (x) + g(x);

g(x ) = 0;

1

j = 1; . . . ; n:

(4)

â®çª¥ x ¥£® §¢«- ¥ç⢮à-¨¥ à

¢®«ì-

Œ-®£®ç«¥- P ( ) «¥£ª® ᪮-áâàã-

„«ï ª

i = 1; . . . ;j n; ¯®áâந¬ -

«

¬-®£®ç«¥- Pi

(x) áâ¥-

¯¥-¨ (n 1)¦¤®, 㤣®

ïî騩

ãá«®¢¨ï¬

â®çª å x , ªà®¬¥ â 窨 x ,

â® ¥áâì P (x) ®¡à é

âáï ¢ -

¢® ¢á¥å

P

(x

) = ; j = 1; . . . ; n;

¨à®¢

i

i

j

ij

i

j

i

âì ï¢-®:

i

j )

(x x1) . . . (x

) . . . (x xn)

Pi(x) =

j6 i(

=

xi+

:

Í

(x x

)

(x

i

x

) . . . (x

i

x

i 1

)(x

i

x

i+1

) . . . (x

i

x

)

j=6 i

i

j

1

n

=

’¥¯¥àì ¤«ï ¤ --®© -¥¯à¥àë¢-®©

äã-ªæ¨¨

f(x)

®¡®§- 稬 a

j

f(xj ), j = 1; . . . ; n; ¨ ¯®«®¦¨¬

n

P (x) :=

XaiPi(x):

i=1

Ÿá-®, çâ® P (x) (- §ë¢ ¥¬ë© ¨-â¥à¯®«ï樮--ë¬ ¬-®£®ç«¥-®¬ ‹ -

£à -¦ ) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¬-®£®ç«¥- á⥯¥-¨ -¥ ¢ëè¥ (n 1),

¯à¨ç¥¬

n

n

P (x

j

) =

X

a P

(x

j

) =

X

a = a

j

= f(x

); j = 1; . . . ; n:

i=1

i i

i=1

i

ij

j

-14-

•®íâ ¬ã à §-®áâì g(x) := f(x) P (x) ¯à ¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© -¥¯à¥àë¢
á¬à-ã®¦âਢäã-¨¥¥--ªæ¨î,¨§¥¤(3)ç¨.-㤮¢«19«®.£¨ç•а¨¢¥в¢®апойго- . ¥¤¥¬																																			-¢¨¥¥-á⢯ã-ªâ¬ (4).). ‘«ãç•â¨¬																©¤®ª¡) §à -á®-
•¥è¥			§¨¥-âáïë¥ ¬ âà¨æë																		®¡®§- 稬à¥èç													¥à¥§ e					, j = 1; 2; 3; 4:												0
	e		1		=				1		0				; e =									0	1						; e		3	=		0j			0		; e			4	=			0				:
									0																0													1													1
												2						2		2
Ž¯¥à â®à A : M														!			M										¥â ª ª ã¬-®¦¥-¨¥ -																		¤ --ãî ¬ âà¨æã
a =								á«¥¢ .										‹¨¤-¥©áâ¢ã-®áâì ®¯¥à â®à																					A ¢ë⥪ ¥â ¨§ ᢮©áâ¢
																																																		2	¨ «î¡ëå
¤¥©á⢨© - ¤ ¬ âà¨æ ¬¨. „«ï «î¡ëå ¬ âà¨æ b b 2 M
ç¨á¥«						,		2	¢ë¯®«-¥-®													+ 2b2) = 1(ab1)																	2(a			1			2
â® ¥áâì,1														a( 1b1																								+				);
															A(						b	1	+			b		) =							Ab		1		2	Ab		:
																				1					2		2							1							2
‚ëç¨á«¨¬ ⥯¥àì ¬																							âà¨æë Ae , j = 1; 2; 3; 4. ˆ¬¥¥¬:
									1																1		1					j						0					1					3	;
									2																										0								2					4
								Ae		3		=													1 0							=				0				= e			1				3		;
																									0		1									0									+ e				:
										4																																	2				4
Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ ba ¨§®¡à ¦ îéãî																																							âà¨æã ®¯¥à â®à A ¡ -
§¨á¥ e				, j = 1; 2; 3; 4.															•â® ¬ âà¨æ à																§¬¥à				(4 4). ‚								ᮮ⢥âá⢨¨
		j																											-15-

á ®¡é¨¬¨

¢¨« ¬¨ á áâ ¢«¥- ï ¨§®¡à ¦ î饩 ¬ âà¨æë, ¥¥ i-

ë© á⮫¡¥æ¯à।áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ª®®à¤¨- âë í«¥¬¥-â

Aei

¢ ¡ §¨á¥

e

1

; e

; e ; e

. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬,

2

3

4

ba =

0

1

•¥è¥-¨¥ § ¤

@B

0 0 0 0 AC:

â®à A : Òn ! Òn, § ¤ --

22. • áᬠâਢ ¥âáï ®¯¥à

-ë© á®®â-®è¥-稥¬

(AP t) = P (t + 1) P (t); t 2 R:

‡ ¯¨è¥¬ ¬-®£®ç«¥- P)(t):

2

n 1

n

P (t) = p

+ p

t + p

t

+ . . . + p

t

+ p

0

1

n 1

t :

2

n

--®

•ãáâì P 2 Ker A. •â® ®§-

ç ¥â, çâ® P (t + 1) P (t) = 0

p

+

p

= 0. Žâáî¤

¯®«ãç

¥¬, çâ®

= 0. “¦¥(⮦¤ç¥â®¬¥áâ¢¢â®¬í¥ £®

¯® t 2 R), â® ¥áâì,

2

+ . . . + p (t +

n 1

+ p

+ 1)n

p + p (t + 1) + p (t +

0

1

p0

1)p t p2t

2

. . . pn1)t

n 1

pnt

n

= 0:

(5)

Œ-®£®ç

-,

á ®ï騩

2

«¥¢ ©

n 1

n

à

-

ç áâ¨

(5),

-ïå

-ã

«î. ‘«¥¤®¢

⥫ì- ,

¢á¥

ª

ä¨

âë ¯à¨ á⥯

t

«¥¢®©

á⨠(5) à ¢-ë -ã«î.

Š®íää¨æ¨¥-â ¯à¨â®¦¤t

¥áâ¢-¥ -

p

= 0.

¯à¨à

-ï ¬

ã«î

®íää¨æ¨¥-â ¯àæ¨t¥

:

p

+(n 1)p

â¨ç¥áª¨:

p

= 0.

•à¨à ¢-ï

n

¯à¨ t

:

-ã«î ª®íää¨æ¨¥-

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, p

= 0.

•à®¤®«¦ ï íâ®â ¯à®æ¥áá,

¬ëã«î¡¥¦¤

¥¬-

P (t) =np

n

n

n 1

= const, â® ¥áâì,

n 1

n 1

n 2

áï, çâ® ¢á¥ ª®íää¨æ¨ -âë ªà®¬¥ p0

¢-ë -ã«î.

’ ª¨¬ ®¡à

§®¬,

à

0

n 1

Ker A = Ò

:

n 2

n 1

n 2

-16-

0