[ Суслина ] Высшая алгебра. Задачи к экзамену во 2 семестре (усиленный поток)

@

5

7

3

A

:

⦩â¨î颦ª ¬¯«ï¤ -¥®¢âà¨æªá-¡®¬-

‡®¯§¨á,Ž¯à¥¤à¥çâ®à¤¥«¨âì32¥áâì. A(9¦®à¤¡ ª®©««®¢-¦®à¤¡.) •ãáâ짨áä®à¬-¢®¢EA6, ä®à¬ãí⮩¢ «¨9ª®â®à®¬-4¥.©âà¨æë-멨§®¡à®¯¥à-

«¨-¥©-®¬ ¯à®áâà -á⢥ E.

•ãáâì ¢ ¡ §¨á¥ e

; e

; e

3

®¯¥à â®à A ¨¬¥¥â

¨§®¡à ¦ îéã¥¥ââà¨æã

0

0

1

1

1

2

@

0

A

:

4

4

2 1 2

âà¨æë

- ©â¨ ¦®à¤ -®¢ ¡ -

Ž¯à¥¤¥«¨âì ¦®à¤ -®¢ã ä®à¬

í⮩

§¨á, â® ¥áâì

ª®© ¡ §¨á ¢ E, ¢ ª®â®à®¬ ¨§®¡à

¦ îé ï ¬ âà¨æ

®¯¥à â®à

A

¨¬¥¥â

¦®à¤ -®¢ã

ä®à¬ã.

§æë à¥è¥-¨©

¤«ï ¤®ª § ⥫ìáâ¢

ä®à¬ë, ®¯à¥¤¥«¥--ë¥ Ž¡à¢¥-á⢠¬ (1).

’®£¤

0

¥ §

ç¨ 3.

• §¬¥

-®áâì ¯à®áâà -áâ¢

E = Òn

¬-

-®¢

⮣®, çâ® ä®à¬ë g

; g ; . . . ; g

®¡à §ãîâ ¡ §

¢ E , ¤®áâ â®ç£®ç«- ¯à®¥

-

•á⥥该-¨ -¥

ëè¥ n

¢- n+1.

dim E = dim E (¤

ï

£®

¢¥à¨âì,

çâ®

ä®à¬ë

«¨-¥©•®áª®«ìªã- -¥§ ¢¨á¨¬ë.

•à¨à ¢-塞«î¡®-ã

¯à®á

-áâ¢

E), â® dim E

0

= n + 1. •ãáâì g

0

; g

1

; . . . ; g

n

«¨-¥©-ë¥

0

1

n

0

«¨-¥©-ãî ª®¬¡íâ¨- æ¨î íâ¨å ä®à¬:

= 0:

2)

g0 + g1

+ . . . + gn

0

0

= 1

= . . . = n

= 0:

(3)

1

n

’ॡã¥âáï ¤®ª § âì, çâ®

+ p

x + p

x2

+ . . . + p

xn

•ãáâì

P (x) = p

0

1

-11-2

n

gk(P ) =

k+1

p21

(k+1)2

+ p32

(k+1)3 +. . .+ pn (k+1)n+14):

Z0 P (x) dx = p0(k

•

-á⢮ (2) ®§- ç ¥â, çâ®

n

g

0

P ) + g (P ) + . . . +

g

(P ) = 0

¤«ï

0

+1)+

•â®

n

çâ® (5)

¬-®£®ç«¥-

2 Òn.

à ¢-®á¨«ì-® ⮬ã,

‚

¢á(4),¥å

¨¬¥¥¬

j

‘®®âá®®â¢-®è¥âá⢨¨-¨¥ (5) ¯à¨ P = P ¯¥à¥¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥

¢ë¯

«î¡®- -£®¤«ï

¡ §¨á-ëå ¬-®£®ç«¥-®¢ P (x) = xj , j = 0; 1; . . . ; n.

k

(P ) =

1

(k + 1)

j+1

:

g

j

j + 1

1

0 + 12jj+1

+ . . . + n(n + 1)j+1 = 0:

j + 1

㤮¢«¥-

à ï j = 0; 1; . . . ; n; ¯ «ãç ¥¬, çâ® ç¨á« ; ; . . . ;

ïîâ á«¥¤ãî饩 ®¤-®à®¤-®© á¨á⥬¥ «¨-¥©-ëå

«£¥¡à ¨ç¥áª¨å

•â¢®àãà¥à¥-¡¨-¨©:

0

+ 2 1 + 3 2

+

. + (n + 1)

0

9

n

+ 2

+3 + . .. + (n + 1)

1

2

= 0

=

0

+ 22 1

32

2

.

n

(6)

0

1

::::::::::::::::::::::::::::::

:::::::::::::::::::

á⥬ë, ¥áâì ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ‚ -¤¥à¬®-¤

::

>

n

n

n

;

Ž¯à¥¤¥«¨ ¥«ì ¬ âà¨æë A, á®áâ ¢«¥- ®© ¨§ ª®íää¨æ¨¥-⮢ í⮩ á¨-

1

2

3

(n

1n

2n

3n . . .

(n + 1)n

det A =

2

2

2

2

= Í (j i) =6 0:

. . . . . . . . .

. . .

-12-

j>i

⮥èá¨áâ¥--á⢨¥¥¬§(3)(6). 稨¬4¥.¥â•â®«ìáᬮâਬ¨¢¨ª¢

«ì¤à-®â¨ç¥ à-¥ãîè¥-ä®à¬ã¨¥. •â®

:

¤®ª §ë¢ ¥â

Q(x) = x2 + 4x + x2

+ 2 x1x2

+ 10x1x3

+ 6x2x3

•à¨¢¥¤¥¬ ¥¥ ª á㬬1 ¥ ª¢2

¤à

3⮢

¢ë¤¥«¥-¨ï ¯®«-ëå ª¢ -

¤à ⮢.

“¤®¡-® - ç âì á

"ª®-æ ",

¬.¥â®¤®¬. à áᬮâà¥âì á- ç «

ç«¥-ë,

ᮤ¥à¦ 騥 x3:

2

10x1x3 + 6x x3 + x2

+ 9

) 25x2

9x

x2

+ 10x1x3 + 6x2x3

2

2

3

Q(x) = (x3

+ 5x1

+ 3x2)

24x 2x5

1

1

’®£¤

+ 2

x1 2:

= (x3

+

5x1

+ 3x2)

25

x1

9x :

2

2

1

x :

„ «¥¥, ¯à¥®¡à §ã¥¬ ®á⠢訥áï ç«¥-ë, ᮤ¥à¦ 騥

2

1

x1

2

2 2

5x2 + 2 x1x2 = 5 x2 2x2

+

x1

5

x1

+

x1

25

2

5

2

2

+

:

’ ª¨¬ ®¡à §®¬,

= 5 x

5

5

+ 5x1

+ 3x2)2

5 x2

2

2

2

Q(x) = (x3

x1

+

24 x2:

•¥à¥©¤¥¬ ª -®¢ë¬ ª®®à¤¨- â

1

¬:

5

9

5

1

1

5 1

y

2

= x

2

+ 3x

=

+ 5 x

>

3

3

-13-1

2

;

Q(x) =

24

y12 5y2

+ y3

:

(7)

Ž¡®§- 稬 ç¥à¥§ n

5

¨¥--

+

®«¨ç¥á⢮ ¯®«®¦¨â¥«ì-ëå

⮢,

ª®íää¨æ¨¥ª®íää¨æ-⮢

n ª®«¨ç¥á⢮ ®âà¨æ

-ã«¥¢ëå ª®íää¨æ¨¥-⮢ ¢ (7). ’®£¤

¯à¨ 2

>

¢ë¯®«ç¥-à¥-§

n

= 2, n

= 1, n

0

= 0; ¥á«¨

2

<

â®

+

= 1, n

=120,

0

+

-

2

¤à â+¥«ìç-ëå1

ä®à¬,120

n

ª¦ª®«¨ç¥ - ¥á⧠¢®

®â ᯮá

á¯à¨¢¥¤¥-¨ï ª¢

= 1.

â¨ç-®© ä®à¬ë ª

n

= 0. •

-¥æ,

= 120, â® n

= n

= n

§ ¢¨áïâ

®â

ª¥á«¨ª ¬ ¨¬¥--

®á®¡®¬ ª¢ ¤à â¨ç- ï

¨¢ ¤¥-

áã ¬¥ ª ¤à â

ª¢. Š ª

¨§¢¥áâ-®, n = n

r, £¤¥ n

ª ⮬ã

¦®áâì¥

¬à®¬ãáâà

¢¥âã.

+

¯à§¬ à-

¯

-

,

r

-£ ª¢ ¤à â¨ç-®© ä®à¬ë. —¨á¡ë«®

á㬬0

¥

ª¢ ¤à⮣®,¢¨á¨â.•®íá⢮¬ã

«î¡®© ¤à㣮© ᯮᮡ¤à¥è¥-¨ï ¯à¨¢¥¤¥â

2)3

…᫨ = p30, â® n

= n

= n

1.

0

p

p

¨«¨ > 2

p

Žâ¢¥â.

30, â® n+

= 2,

n = 1, n0

= 0.

1) ɇǬ <

2 30 < <

2 30, â® n+

= 1, n

= 2, n0

= 0.

•¥è¥-¨¥ §

14.

+

1

®¤¯à®áâà -á⢮

--®£®

稬

•ãáâì F

y =6 0. Ž¡ §-

ç¥à¥§ ' 㣮« ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ x ¨•ãáâìy.

¬-¨¬,

çâ® §

㣮«

¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨ x ¨ y¯à¨¨-¨¬ ¥âáï 㣮«¢¥¥¤¯®«®¦'é¥á⢪ ¥©,¥

çâ®

¥¢ª«¨¤®¢ ¯à®áâà -áâ¢

E. •ãáâì

0 =6 x 2 E ¨ x 6?F .

x = y+z

£¤¥ y 2 F , z 2

F

?

.

Žâ¬¥â¨¬, çâ®

ᤥ« --ëå ¯à

-¨ïå

0 ' ¨

cos ' =

(x; y)

:

kxkky0k

kx

y

kxkky0k

kxk

’®£¤

kxkky0k-14- kkxkky0k

cos ' =

(y + z; y)

=

ky

2

=

y

:

0

x

yk

kxk

0

•ãáâì 0 =6 y

2 F ¨ '

0

kxkkyk

. ’®£¤

㣮« ¬¥¦¤ã ¢¥ªâ®à ¬¨

y

¨ y

cos '0

=

(x; y0)

=

(y + z; y0)

=

(y; y0)

=

y

:

•®áª®«ìª

äã-ªæ¨ï cos t ¬®-®â®--® ã¡ë¢ ¥â -

¯à®¬¥¦ã⪥ t 2 [0; ],

áî¤

¥â, çâ® ' '0.

¢ë¯®«-ï¥âáï à ¢¥-á⢮ cos '

0

= cos '. ‚

‚ëïá-¨¬ ⥯¥àì,

í ®¬ á«ãçá«¥¤ã¢ë¯®«-¥-ª®£¤ k(xykk; yy0)0k =

xyk;

(8)

â® áâì

0

(y;

0) = kykky0k:

•à¥¤áâ ¢¨¬ ¢¥ªâ®à y

¢ ¢¨¤¥

’®£¤

0

2

y0

= y + y?; y? ? y:

(y; y

) = kyk

. •®í⮬ã à

2

¢¥-á⢮ (8) ¯à¨-¨¬ ¥â ¢¨¤

kyk

2

= kyk(

kyk

2

ky

2

1=2

:

(9)

Žâáî¤

?

k )

á«¥¤ã¥â, çâ®

2

kyk

2

2

2

+ ky

2

:

= kyk

?

k

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, y

= 0.

¯®-

?

’¥¯¥àì ¨§ (9) ¢ë⥪ ¥â, çâ® 0,

᪮«ìªã y

0

= y =6 0, â® > 0.

•¥è¥-¨¥ § ¤ ç¨ 21. ‚ ¢¥é¥á⢥ -®¬ ¥¢ª«¨¤®¢®¬ ¯à®áâà -á⢥ Òn

¯®«¨-®¬®¢ á⥯¥-¨ n ᮠ᪠«ïà-ë¬ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬

(P; Q) =

Z1 P (t)Q(t) dt;

1

ë© á®®â-®è¥-¨¥¬

à áᬠâਢ ¥âáï ®¯¥à â®à A, § ¤

2

-15--

0

(AP )(t) = (t

1)P

00

(t) + 2tP

(t):

(10)

(AP )(t) =

((t2 1)P

0(t)):

íâ

âॡã¥âáï ¯à®-

•à®¢¥à¨¬, çâ® ®¯¥à â®à A ᨬ¬dt¥âà¨ç¥-. „«ï

¢¥¬à¨âì,¥¥¬: çâ® (AP; Q) = (P;Z AQ) ¤«ï «î¡ëå

¬-®£®ç«¥-®¢ P; Q 2 Òn.

(AP; Q) =

dt

2

1)P

0

(t))

Q(t) dt:

((t

2

(AP; Q) = 1

(t

1)P (t)Q (t) dt + (t

1)P (t)Q(t)jt= 1:

ˆ-⥣à¨àãï ¯® ç áâï¬, ¯®«ãç ¥¬:

Z1

2

0

0

2

0

1

•®¤áâ -®¢ª

á¯à ¢

®¡à é ¥âáï ¢ -®«ì,

®áª®«ìªã äã-ªæ¨ï t

à ¢-

-ã«î ¯à¨ t = 1. ‚ १ã«ìâ â¥

¯®«ãç ¥¬:

(11)

(AP; Q) = Z1 (t2

1)P 0

(t Q0

t) dt:

çâ® ëà ¦¥-

¯à ¢®© ç

(11)

®â-®á¨

¥«ì-

1

¤«ï (A

; P )

P ¨ Q. …᫨ ¯®¬¥-ïâì ஫ﬨ P áâ¨Q,

Žâ¬®ç-¥â¨¬,ª®¥ ¦¥ ¢ëà ¦¥

¥.

‘«¥¤®¢ ⥫ìâ®- , (

Q) = (AQ; P ) =

(P; AQ). •

-

à ¢¨¥-á⢮

¥áâì á«¥¤á⢨¥

ᨬ

-

á⨠áª

«ïà-®£®

¯à®¨§¢¥¤ -¨ï. ’

ª¨¬

®¡à §®¬, ®¯¥à â®àAP;

.

A.

¥¤¥«¨âì

-®, ¯® ⥮६®¯¥

¥à¤¨ £®- «¨§ 樨 áᨬ¬á®¯¥¯®«ãç¨âáïâà¨ç殮-¥-®£

¦¨â¥«ì-ë©

â®à A

,

ª¢¯®«®¦¨â¤à

¥ª®â®«¥

®£®

¢¥-

f ; . . . ; f

¨§

ᮡá⢥--ëå ¢¥ªâ®à®¢áã饮¯áâ¢ã¥à¥â®à

A. ’®£¤

-, â® ¬®¦-

•¥è¥-¨¥

᫥稤 26. •®áª®«ìªã ®¯¥à â®à A

®¯¥„à¥â®à©á⢨â, ¯®«¥«ìà áâà -á⢥ E

1=2

®àâ®-®à¬¨à®¢ --ë© ¡ §¨á

1

n

Af

j

=

f ; j = 1; . . . ; n;

j

j -16-

¢¥ªâ®à ¬¨ fj ,

¥áâì,

1=2

f =

p

f ; j

1; . . . ; n:

A

• ¬ ¯ áᬮâਬ- ¤®¡¨âáï â ª¦â®à¥ j C = Aâ®àj1=j2BA1=2.=Ž¯(A1=2)â®1à. C á ¬®á®¯à殮-,

¢áç⮥

1=2

B. •®í⮬ã

¢ë⥪ ¥--â 먧¥ §á- ç¥-¨à瑩¯¥à¥à â®à®á⨠®¯C ¥¢à¥é¥á⢥--A ë.

•à¨¬¥-¨¬ ⥮ ¬®á®¯¥¬ã

¤¨ £®--

«¨§ 樨 ª á ¬ ᮯà殮

®¬ã ®¯¥-

à â®àã C. ‚ ¯à®á

-á⢥ E áãé¥áâ¢ã¥â ®àâ®â®à®¢- ନ஢

--ë© ¡ §¨á

g

; . .ᮡáâ¢. ; g

¥

ª®©,

®¯çâ¥à

k

kgk;

k = 1; . . . ; n;

(12)

1

n

¯à

ç¨á«

¢¥é¥á⢥--ë.

•à¨¬¥-¨¬ ®¯¥à â®à A1=2

ª ®¡¥¨¬

ç

áâï¨ç¥¬ à

¢¥-áâ¢

k

(12):=

= kA

1=2

gk; k = 1; . . . ; n:

A

Cgk

‚

¢®¤ï ®¡®§- ç¥-¨ï

1=2gk

= hk,

ãç¨âë¢ ï,

çâ® C = A1=2 1=2,

â®àë h1

; . . . ; hn

«¨-¥©-® - §

(íâ® ¢ë⥪ ¥â ¨§ «¨-¥©-®©

-¥§

®á⨠- ¡®à

g ; . . . ; g

h

¢¨á¨¬ë§ ®¡à ⨬®á⨠®¯¥à

BA

).

¯®«ãç ¥¬

ABh

k

=

;

k = 1; . . . ; n:

’ ª¢¨á¨¬®¡à §®¬,

k

k

1=2

E áã

¥â

§

¨§

- ëå ¢¥ªâ®à®¢ ®¯¥-

Š®¬¬¥-â ਩ ª § ¤ âáâ¢ãîé¨ç ¬ 28

29.

•à¨ à¥á®¡áâ¢è -¨¨¥íâ¨å § ¤ç¨

¯ «¥§-®

à â®à AB.

‘®®â¢

1

n

á®¡á ¢¥--ë¥ §- ç¥ ¨ï ᮢ¯ ¤ îâ á

饬ë¬,áâ¢ã

¥

, k = 1; . . . ; n, ¨,

⥬

п¢«повбп

¢¥é¥á⢥--묨

á« ¬¨.

k

¢®á¯®«ì§®¢ âìáï १ã«ìâ ⮬ § ¤ ç¨ 22.

1. ’. €. ‘ã᫨- , ‚ëáè ï

‹

âãà

¢â®-

«¨â£¥¡¥à

. ‡ ¤ ç¨ ª ª®««®ª¢¨ã¬ã

஬

¥¬¥áâॠ(ãᨫ¥--ë© ¯®â®ª) “祡-®-¬¥â®¤¨ç¥áª®¥ ¯¢®á®¡¨¥

¤«ï áâ㤥-⮢ 1 ªãàá , ‘•¡ƒ“,

2007, 18 á.

-17-