[ Суслина ] Аналитическая геометрия. Задачи к коллоквиуму в 1 семестре (усиленный поток)

•®í⮬ã

4

j=1 hj0 Sj

= 3V:

(hj

hj0 )Sj

= 0:

¢¥ªâ®à

OO -

Xj=1

à ¢¥-á⢮ (6)

¢¥ªâ®à,S : OO S = (h h )S . ’®£¤

~

¯à ¢«¥--ë© ¯® ¢-¥è-¥© -® ¬ «¨ ª j ®©

•ãáâì S

j

¢-ë© S . ‚ëç¨á«¨¬ áª

«ïà-®¥ ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥

£à -¨, ¨ ¯ ¢¥«¨ç¨-

j

®§- ç ¥â, çâ®

j

j

j

!j

j

~ 0

~

~

0

~ 0

4

~

0

X

~

= 0:

OO

j=1

S

j

~ 0

•â® ¢ë¯®«-¥-

¤«ï

¢®«ì-®£® (¯® - ¯à ¢«¥-¨î) ¢¥ªâ®à

.

OO

¯®«ì§®¢

á®®¡à

- «¨-¥©-®á

.

•®áª®«ìªã

®â-®è¥-¨ (1)

«¨-¥©-

®â-®á

⥫ì-¯à®¨§¢¥ªâ®à

~x,

â®,

ᯮ«ì§ãï à

-¨¥ í⮣®

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®,

P4

~

~

S = 0.

Š®¬¬¥-

j

§-

¨á-

਩ ª § j=1 ç¥ 10. •à¨ à¥è¥-¨¨ í⮩ § ¤

¢¯à¥ªâ®à

¯® ¡ §¨áã ~a

b, ~c, «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ®

⧫®¦ç¨- ¥ ஢¥à¨âì

਩ ª §

(1) «¨èì

~x = ~a, ~x = b

~x = ~c.

Š®¬¬

ç¥ 11. ‡¤¥áì â ª¦¥

¤®áâ-

¨á¯®«ì§®¢ âì

¯à¨£®¤

áï

⮦¤«ì ¥á⢧ ¤ ç¨ 10.

¬ë¬

á«®¢¨¥¬, ª®-

ˆ§¤«¨¢®áâìà -८«®¦¨-§ãï x~ b = ~c ¢¨¤-®, çâ® -

¥¯®«è

á¨â¥«ì-

¢¥ªâ

~x.

~

Šà®¬¥ ⮣®,

¯à¨

-¥¨¨§

§ ¤ ç¨ 11

®¡à ¦¥-¨¥

-¥©-®áâ¨, ¯®áª®«ìªã á®®â-

- ¥ (2) «¨-¥©-

®â-á®-

•¥è¥ á«¥¤ã¥â - «®¦¨âì

-

¢¥ªâ®àë

b

~c

~

¨å

ï âáï ãá«®¢¨

â®à®®àâ £®- «ì-®áâ¨: b ?

~c.

(ˆ- ç¥ à¥è¥-®à¨¥®¡å®¤¨¥- áãé¥áâ¢ã¥â.)

•ã¤¥¬

-

§

ç¨ 13. ”¨ªá¨à㥬 ¢ë¡®à

-

樨. •

¤¥¬ á笮¦âì,¥â

çâ® ¢ë¡à -

¯

⥫ì- ï ®à¨¥-

æ¨ï

¯à®áâà -á⢠.

~

-11-

~

¤«ï‹¥¢ã®©ç

-áâ쮣®

¯à¥®¡à-®§ã~x£®(¥a~a¬¯à®¨§~b¯®)(x~ä®à¬ã«~b(~ab -=~x¨ï:)~a=¥ ~a(¨§¢~c: ~c¥áâ-®©, ª ª "bac cab7)")

•®¤áâ ¢«ïï ãࢥªâ®à- -¨¥ x~ ~a = ¢¥¤(7),¥

¯®«ãç ¥¬:

(8)

~x(~a b)

b = ~a ~c:

• ¢л¤з-¥¬¥«повбп¡®«¥¥ ¯а®бв®£® б«гз п 1. •®бª®«ìªã ~a 6?b, â® ~a b =6

2,0

~

~

~

„ «¥¥

¤¢

«ãç ï: á«ãç © 1,

£¤

~

~a 6?b, ¨ á«ãç ©

ª®£¤

~a ? b.

~

~

¨ ¢¥ªâ®à ~x ¬®¦¥â ¡ëâì - ©¤¥- ï¢-® ¨§~ãà ¢-¥-¨ï (8):

(9)

~x =

~a ~c + b:

~

-

¯à®¢¥

¨âì ¯à

~a b

-

®© ¯®¤áâ -®¢ª®©, çâ® ¢¥ª ®à (9)

•â¢¥âàãï¥â ®¡®¨¬

-¥-¨ï¬:

~x ~a =

¨ ~x b = ~c. ˆâ

ª, ¢

á«ãç㤮¢«¥1

- --ë¬. ˆ§ ãࢥªâ®-

àë¨ï ~x b = ~c ïá- , çâ® ~x

? ~c. ’®£¤ à¥è¥-¨

à¥è¥-¨

áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨-á⢥-- .

~

¤®«¦-л ¯®¤з¨-пвмбп гб«®¢¨о

çâ® §•¥à¥--©¤ë¥¥¬

~a, b, ~c ¨ ç¨á«®

~

á«ãç î 2. •®áª®«ìªã ᥩç á ~a b = 0, â® (8) ®§- ç ¥â,

~

~

~c:

(10)

ˆ- ç¥

-

-

b = ~a

ã

áãé¥áâ¢ã¥â. •ã¤¥¬ áç¨â âì ã

(10) ¢ë¯®«

¢â à

ந§¢®«ì-¥-¨¥ ¢ë¯®«¢-¥ªâ®à- ¢â®¬ â¨ç¥áª¨. • á«®¢¨í⮬㤮¢«¥ ¨á¯®«ì§¥â¢®à塞

~

ïá®® -¥âáïà¥-訥¥ (10), ä®à¬ã«ã ¤«ï ¤¢®©-®£® ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®¨§¢¥¤¥-¨ï

© ã

¯

-ë©

~x, ®à⮣®- «ì-

ª ~c

-

¢-¥-¨î ~x ~a = . ‘ç¨â ï =6 0 (á«ãçë©

2 ), ¯à®¢¥à¨¬, çâ®

îé¨ãá«®¥¢¨¥ x~ ? ~c. ’®£¤

1

1

~

1

~x (~a ~c) =

~a(~x ~c) +

~c(~x ~a) = ~c:

~x b =

-12-

•¥è -¨ï

-

¯

¬¥âà

¥á

㣫®¬ ¬¥¦¤ã ~a

~x. •à¨

¥á«¨ > 0,

0

< =2,

< 0, â® =2 <

. ‡¤¥áì

㣮«

¨§®¢~a ¯«®áª®áâìî Í. •à¨ §

0

¤ã

--®¬ ¤«¨-ã

¢0¥ªâ®à

¬®¦¦-

¢-¥ªâ®à®¬©â¨ ¯

ä®à¬ã«¥

= 0. “á«®¢¨¥ (7) ¢

Žáâ ¥âáï

§ ¡à âì á«ãçjxj

©=

2¡,j~aj cos£¤:

á«ãç

à

®§- ç ¥â,

~c

~a

~c ª®««¨-

- .

’®£¤

¤«ï «î¡®£®

x~,

®à⮣®- «ì-®£®

¢â®¬

â¨ç¥áª¨ ¢ë¯®«-ï¥âáï ~x ~a = 0 =

. •¥è¥-¨¥¬

íâç⮬ á«ãç

ãà

ï «ï¥âáï «î¡®©

¢¥ªâ®à

~x, ®à⮣®- «ì-ë©

¢¥~cªâ¨

ã

- -¨î ~x

b = ~c. •¥è¥-¨© ¡¥áª®-í⮬,¥ç-

¬-®£®.

¤®¢«•¥è¥â¢®àïî騩-¨¥ ~x ¬®¦¢¥ªâ®àë- ¯

¬¥âਧ®¢ âì 㣫®¬

¬¥¦¤ã ~x b.

(•à¨ í⮬ 0 < < .) „«¨-

¢¥ªâ®à

~

x~ - 室¨âáï ¨§ á®®â-®è¥-¨ï

j~xj =

~

j~cj

;

~

jbj sin

~

- ¯à ¢«¥-

(¨§

å ¢®§¬®¦-ëå)

¥âáï â ª, ç⮡ë ~x, b, ~c

Žâ¢¥â.

§¤¢ã

ç

-

¢ë¡¨à- ©.

®¯а¥¤¥«повбп

•¥è¥-ਥ¥¤¥§«ï¥ç¨âáï15.

1) Š®®à¤¨- âë x0

; y0

â®çª¨ M0

®¡à §®¢ë¢

¨ ¯à ¢ãî âனªã.

2

‚ á«ãç

~

~

à¥è¨¬¥-¥¥â áãéà¥è¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨-á⢥-- . Ž-®

b 6?~c ¨ ~a 6?b

1)4

ɇǬ b ? ~c, ~a ? b

b = ~a ~c, â® à¥è¥- © ¡¥áª®-¥ç- ¬-®£®.

3

®¯

ã«®© (9).

- ¨¬¥¥â

¥è -¨©

ä®à¬- b =6 ~a ~c, â® § ¤

~

~

~

~

¨§ ᨠ⥬ë ãà ¢- -¨©

;

(

A1x

+ B1y

+ C1

(11)

0

0

= 0:

(•â á¨á⥬

2

2

2

¥¤¨-á⢥ -®¥ à¥è¥-¨¥, ¯®áª®«ìªã ¯® ãá«®¢¨î

¯àï¬ë¥ L1

¨ L2

-¥¯ à ««¥«ì-ë,

¥áâì

A1

=6

B1 .)

Žç¥¢¨¤-®, ª®®à-

¤¨- âë x ; y

¡ã¤ã¨¬¥¥ââ ª¦¥ 㤮¢«¥â¢®àïâì ãà ¢-¥-¨î

0

0

2

2

+ B

y

+ C

) + (A

x

+ B

y

+ C ) = 0;

(A x

0

0

0

0

1

1

1

-13-

2

2

2

àëå ®â«

-® ®â

- «ï)

àï¬ ï L, § ¤ --

ãà ¢-¥-¨¥¬ (3),

à®å®¤¨â

ç¥à¥§ â®çªã M .

¯ã âì L -¥ª®

¯àï

ï, ¯à®å®¤ é ï ç¥à¥§

2) Ž¡à

-®,0

â®çªã M0.

áï

§ âì, ç

- ©¤ãâáï â

ç¨á«

; , çâ®

ãà -¥-

¯àאַ© L~

j

¢¨¤ (3).

-®à¬ «¨

¯àאַ©

L

,

•ãáâì

~n

1~

= A

i + B

1

1

= A

1

¬ «¨¥ªâ®à

¬®©

.

‚¥ªâ àë ~n

~n

2

i + B

j

â®à -

2

1

2

2

¨-¥

2

(â

ª¯®ª¯®

ª¨¥L

-¥¯ à

-

ãá«®¢¨î ¯àï¬ë¥ L

ǴǓ-

-ë). ’®£¤

¨¬~n

¥¥â~n ®¡à §ãîâ ¡ §¨á -

¯«®áª®áâ¨.

•ãáâì

~n = Ai + Bj ¢¥ªâ®àë(- -ã«¥¢®©) ¢¥ªâ®à

-®à¬ «¨ ª ¯àאַ© L. •

§«®¦¨¬

¢¥ªâ

à

~n ¯®’ॡ㧨áã¥â

~n , ~n

~n = ~n + ~n . •à¨ í⮬ 2

+ 2

=6 0,

¯®áª®««¨«ìªã ~n =6 0. •®«ãç

¥¬:

1

2

~

~

1

2

~

1

2

1

2

~n = (A

~

~

~

~

+ A

~

+ B

~

i + B

j) + (A i + B

j) = ( A

1

)i + ( B

1

)j:

1

1

2

2

2

2

“à ¢-¥-¨¥ ¯àאַ© L,

ç¥à¥§ â®çªã M á ª®®à¤¨- â ¬¨

x

; y

, ¯¥à¯¥-¤¨ªã«ïà-¯à®å®¤ï颥ªâ®àã¥-©®à¬ «¨ ~n, ¨¬¥¥â0¢¨¤

0

0

A + A )(x x ) + ( B + B )(y y ) = 0;

ãà ¢-¥-¨¥

(12)

¯à¨-¨¬ ¥â ¢¨¤

1

2

0

1

2

0

çâ® ¬®¦-® ¯¥à¥¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥

x + B

y A

x

B

y

) = 0:

(12)

A x + B y A

x

0

B

y ) + (A

0

1

1

B

y

2

2

A

x

2

y

2

0

.

’®£¤

ˆ§ (11) á«¥¤ã¥â, çâ®

A

x

0

1

0

= C

,

0

B

0

= C

(A

x + B

1

1

2

2

2

1

y + C

) + (A

x + B

y + C

) = 0:

¥è¥-¨¥ §

1

22.

1

2

2

2

¯àאַ© L.

¤®

ç¨

•ãáâì ~s - ¯à ¢«ïî騩

â®ç-®áâìî

§ ¬¥-ë

¥£®

- ¯à ¢«¥-¨ï -

¯à®â¨¢®¯®«®¦¢¥ªâ®àë- ¥. ’®£¤

•

ãá«®¢¨î ¯àï¬ ï L

¡à §ã¥â à ¢-ë¥ ã£«ë á

L , L ,

L

, L , L

á ®â¢¥âá⢥--®.

Š ¦¤ë© ¨§ íâ¨å ¢¥ªâ®à®¢àï¬ë¬¨®¯

¤¥«¥- á

. •ãáâì ~s

, ~s

, ~s

¥¤¨-¨ç-ë¥

¯à ¢«ïî騥

1

2

3

3

¯àï¬ëå

2

3

1

2

1

-14-

~s

= ~s

2

= ~s

~s

:

Žâáî¤

á«¥¤ã¥â,

~s ? ~s

~s

3

~s ? ~s

~s .

-

¯¥à

ªã ¯®

î1L1

, L2 2

, L3

1âਠ¯®¯3

àë ~s

, ~s

,

¯àï¬ë¥, «¥¦ 騥ãá«®¢¨®¤-®© ¯«®áª®á⨠Í, â® ¥¤¨ ¨ç-ë¥

~s3

®¬¯•®áª®«ì- à-

çâ®á।¨ -¨å -¥â

¥

-®© ¯ àë. ‚ í

1

2

¬ á«ãç

~a = s

s

~

~s

-¥

-

. „¥©á

®, ¥á«¨

1

2

b = ~s

1

3

¡ë«¨

à-ë, í

®§-

«® ¡ë, çâ®

-æë

¡ë ¢¥ªâ®àë ~a

b

ª®««¨-

®¢ ~s , ~së,

~s

¯

å

--ë媮««¨§ ®¤-®©

â®çª¨, «¥¢¨â¦ ¥«ì- ®¤

¢¥ªâ®àאַ©. „«ï ¥¤¨-¨ç

§ «¨,

ª®â®àëå

-¥â

ª® «¨-îé¨à-¥®©áï

’ ª¨¬

¡à §®¬,

çâ® ¢¥ªâ®à

~s

¯¥à

-¤¨ ã«ïà¥-

¤¢ã¬ -¥ª®««¨-¥

-묢¯®ª¥ªâ®à®¢¬(áà~a

¥¤¨b, «¥¦ 騬

¯¥«®áª®áâ¨

Í.

1

2

3

àë) íâ® -¥¢®§¬ ¦-®.

¥¬ ¢¥ªâ®à ¬, «¥¦ 騬

•®áª¡ §¨áã ~a, b, â®

¢¥ªâ®à ~s ®à⮣®- «¥-

~

®«ìªã «î¡®©

Í,

¬®¦-® à §«®¦¨âì

஢,¥«¤¥¦ 騩 ¢ ¯«®áª®

•¥è¥- ¥ § ¤

ç¨ 27.

”®à¬ã«

®¯â¨ç¥áª®£®

â¢

í««¨¯á

~

®¡à §ã¥â à᢮©áâ¢-ë¥

£«ë

䮪 «ì-ë-

áã ¢ ¤ --®© â®çª¥ í««¨¯á

¢ í⮩ ¯«®áª®áâ¨.

¥áª ï ä®à¬ã«¨à ¢ªá¢®©

¢ â ¬,

ï

-

¥ªæ¨ïå. ”¨

ç ¨¢®¤¨â«ã ᢥâ ,

ãé¥--®£®§¨ç

-®£®

,

F

á , ¯®á«¥

F

䮪ãá á

ª®®à¤¨-

¬ ( c;

ä® ãá⮨⪮®à¤¨-

¯à¦¥-¨ï

í« ¨¯á

¯

à®®¤¢ªà㣮©ä®ªãá.í««¨¯ˆá

«ì§ãï §

ª®

®âà ¦¥-¨ï (㣮«¢ë¯

-à¨å®ï ¤¨¢¥- 㣫㠮âà ¦¥- ï)

® ¤ âì ¬

â¥

â¨ç¥

ªãî ä® ¬ã«¨à®¢ªã

®¯â¨ç¥áª®£®

«:¥£ª

«ì- ï ª

áᬮâਬ í««¨¯á, §

--ë© ªâ®çªã- -¨

ãà

¢-¥- ¥¬

(x ; y ), «¥¦ é ï -

í««¨¯á¥. “à ¢-¥-¨¥

ç¥áª¨¬â¥«ì-®© L ª í««¨¯áã,

¬í««¨¯à¤¨ãá ¬¨, ¯à®¢¥¤¥--묨

¢ íâã

.

â®çª

á ª®®à¤¨- â ¬¨

•ãáâì- ¬¨ (c; 0), £¤¥ c =

a

b .

•ãáâì M0)

2

+ y

2

= 1:

x

a

b

¯à®¢¥¤¥--®© ç¥à¥§ â®çªã M ,

¨¬¥¥â ¢¨¤

2

0

0

1

p

2

0

2

yy0

xx0

+

= 1:

a

2

b

2

-15-

£¤¥

2

=+ rbx2

02 + y0=2 :

0;

•® ä®à¬ã«¥ ¤«ï à ááâ ï-¨ï ®â âa®4窨b¤®4

¯àאַ© ¢ëç¨á«¨¬ à ááâ®-

ï-¨¥ h1

®â 䮪ãá

F1 ¤®

a

a

ª á

⥫ì-®© L:

(a + ex0):

(13)

h1

=

cx0

1

=

1

2

F

¤® L à ¢-®

€- «®£¨ç-®, à ááâ®ï-¨¥ h

2

®â 䮪ãá

2

1

1

h2

=

cx0

(a ex0):

í««¨¯á(14).

2

c

‡¤¥áì ¨á¯®«ì§®¢ -® ®¡®§- ç¥-¨¥ e

(e íªáæ¥-

a a

-®©âà¨á¨âL

¥ä®ªâ

-ë¬

•ãáâì (¬¥-ì訩) 㣮« ¬¥¦¤ã ª á

„ «¥¥,

ãáâì r

a

䮪 «ì-ë¥ à ¤¨ãáë

= jF M j, r = jF M j

â®çª¨ M .

‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã« ¬¨ ¤«ï 䮪 «ì-ëå

¤¨ãᮢ:

0

1

r

1

0

2

r

2

0

:

(15)

1

= a + ex

;

2

= a ex

à

~r1

= F1M0,

0

0

¯ãáâì (¬¥-ì訩) â㥣«ì ¬¥¦¤ã ª á ⥫ì-®©

~

¤¨ãᮬ ~r

= F M . Ÿá-®, çâ®

L ¤¨ãᮬ䮪 «ì-ë¬ à

2

h

~

0

h

2

:

sin =

r

;

sin =

r

2

ˆ§ (13) (15) ¢¨¤-®, çâ®

sin =1 sin =

1

:

a

‘«¥¤®¢ ⥫ì-®, = , çâ® ¨ âॡ®¢ «®áì ¤®ª § âì.

-16-

端 ¥-浪§

ªá窥â-®¯®¢®à®â¨ç¥áª®¬ã

¨¤ã,ª®®à¤¨- ¤®-

¨§¡-

¢¨âìáﯮ¤å®¤ï騩®â ¯¥à¥ãªà£®«¥.áâ-•à¨®£®

£í⤥¬,A ¥=᫨C, ç«â®¥-á«ë¥¤ã¢â®à®¥â

£¯®®¢¯®à浪¥à-ãâì ®á¨¬¥-îâ

㢨¤£®«

2

2

Ax=4. +’®2Bxy£¤ +-®¢ëCy ¥,

ª®®à¤¨- âë x0

; y0 á¢ï§ -ë®á¥¨á宩 ¤-묨 ª®®à¤¨-

0

â ¬¨ x; y ä®à¬ã« ¬¨

0

0

0

x

p

py

; y = px

+ py

:

’®£¤

2

2

2

x2 + y2

=

2

2

(x0)2 + (y0)2; 2xy = (x0)2

(y0)2:

“à ¢-¥-¨¥ x

+ axy + y

2

= 1 ¯¥à¥¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥

¨«¨

(x0)2 + (y0)2

+

a

((x0)2

(y0)2) 1;

1 + a

2

(y )2 = 1:

(x0)2 + 1 a

2

2

•â® ãà ¢-¥-¨¥ § ¤ ¥â í««¨¯á ¯à¨ ãá«®¢¨ïå

1 +

a

> 0; 1

a

>

0;

. ., ¯à 2 < a < 2.

2

2

+ axy + y

= 1 § ¤ ¥â í««¨¯á, ¥á«¨ 2 < a < 2.

Žâ¢¥â. “à ¢-¥-¨¥ x

2

2

•¥è¥-¨¥

§ ¤ ç¨ 38.

• áᬮâਬ ¬ âà¨æã

1

0

1=2

a

b

A =

@

A

c

1

d

m

n

1=2

ï¥âáï ®à

¢ëïá-¨¬, ¯à¨ ª ª¨å §- ç¥-¨ïå ¯

¬¥â஢ ®-

- «ì ®©.

‘âப¨

- «ì-®© ¬

âà¨æë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®©â®ª£®-

®à¤¨- âë ¥¤¨-¨ç-®àâ®ëå ¯£®¯ à-® ®à⮣®- «ì-ëå ¢¥ªâ®à®¢.

‡ ¯¨è¥¬

-17-

<

4

2

a

b2

ˆ§ ¢â ண® à ¢¥-á ¢

c

+ 1

d

= 0.

‘ ã

í⮣® ®à-

á«:>¥¤ãm¥2â,+

çâ®n2 +c41==d1

Žà⮣®- «ì- áâì

¢â®à © ¨

âॠ쥩 áâப¨ ®§-

ç ¥â,ç¥â®¬( 1) n= 0.

’ ª¨¬ ®¡à®áâì§ ¬, a = n = 0.

’®£¤

¯ ࢮ¥ ¨ âà¥âì¥ à ¢¥-á⢠¢

(16)

⮣®- «ì-

¯¥à¢ © ¨

©

áâப¨ ®§- ç ¥â, çâ® a ( 1)

¤ îâ b2 = m2

=

3

: • ª®-¥æ,¢â®à

£®- «ì-®áâì ¯¥à¢®©

âà¥â쥩 áâப

®§- ç ¥â, çâ®

2

m + b

2

,

â®

¥áâì m = b. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, «¨¡®

p

1

4

1

p

p

¨ m =

p

3 , «¨¡® b =

¨ m =

3 .

b =

3

3

2

2

2

®â¢¥â

2

1

Œë ¯®«ã稫¨ ¤¢

¢ à¨0-â

1

: p

3

2

2

A = @

2

A

1

0

0

«¨¡®

0

p3

0

1

1

A =

1

p3

@

2

1

2

2

A:

0

0

¤- ã¡ ¤¨âìáï,

çâ®

p3

0

1

A (¢ ®¡®¨å

¢

®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ¬ âà¨æë

•à¨¥âàã- å) à ¢¥- 1.

•â® ®§- ç ¥â, çâ® ¯à¥®¡à § ¢ -¨¥ ª®®à¤¨- â,

⨢®¯®«®¦-ãî.

¯à®-

®â ¥ç î饥 í⮩ ¬ âà¨æ¥, ¬¥-ï¥â ®à¨¥-â æ¨î ¯à®áâà -á⢠-

-18-