Общая топология (лекции)

z 2 G(r) =)f(z) 6 r < f(y) + 2;n

21

ãáâì y 2 X ¨ " > 0. ãé¥áâ¢ãîâ â ª®¥ n, çâ® 2;n < ", ¨ â ª®¥ r, çâ® f(y) < r < f(y) + 2;n. «¥¤®¢ ⥫쭮, y 2 G(r) ¨ y 62G(r ; 2;n). ¢¥¤¥¬

¬­®¦¥á⢮ U = G(r) n G(r ; 2;n). á­®, çâ® y 2 U 2 . «¥¥, ¤«ï «î¡®£® z 2 U ¨¬¥¥¬

z 62G(r ; 2;n) =)f(z) > r ; 2;n > f(y) ; 2;n ) =) jf(y) ; f(z)j < 2;n < ";

⥬ á ¬ë¬, f ­¥¯à¥à뢭 .

2. ãáâì (X; ) { ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. ¢¥¤¥¬ ¯®­ï⨥ à ááâ®ï­¨ï ®â â®çª¨ ¤® ¬­®¦¥á⢠: (x; A) = infy2A (x; y).

⢥ত¥­¨¥ 2. x 62F = F =) (x; F ) > 0.

®ª § ⥫ìá⢮. ­®¦¥á⢮ XnF ®âªàëâ®, á«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â " > 0:

B"(x) X n F , ¨ (x; y) > " 8y 2 F .

¥®à¥¬ 2. á类¥ ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­®à¬ «ì­®.

®ª § ⥫ìá⢮. 믮«­¥­¨¥ ªá¨®¬ë T1 (¨ T2) ®ç¥¢¨¤­®. ஢¥à¨¬ T4.

ãáâì F1, F2 { § ¬ª­ãâë¥ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠. «ï ¢á类£® x 2 F1 ¯®«®¦¨¬ r1(x) = (x; F2)=2 > 0. ¡à §ã¥¬ ¬­®¦¥á⢮ G1 = [x2F1 Br1(x)(x).á­®, çâ® F1 G1 2 . ­ «®£¨ç­® ¯®áâ㯨¬ á F2:

r2(y) = (y; F1)=2 > 0; G2 =	[	Br2(y)(y); F2 G2	2 :
	y2F2
थ¯®«®¦¨¬ ⥯¥àì, çâ® ­ ©¤¥âáï â®çª		z 2 G1 \ G2. ®£¤	áãé¥áâ¢ãîâ
xk 2 Fk, â ª¨¥ çâ® (xk; z) < rk(xk), k = 1; 2. «¥¤®¢ ⥫쭮,

1

(x1; x2) < r1(x1) + r2(x2) = 2( (x1; F2) + (x2; F1))

1

6 2( (x1; x2) + (x2; x1)) = (x1; x2);

¨ ¬ë ¯à¨è«¨ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î. ®í⮬ã G1 \ G2 = ;.

3. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. à®áâà ­á⢮ (X; ) ­ §ë¢ ¥âáï ¬¥âਧ㥬ë¬, ¥á«¨ áãé¥- áâ¢ã¥â â ª ï ¬¥âਪ : X X ! [0; 1), çâ® = .

⢥ত¥­¨¥ 3. á类¥ ¬¥âਧ㥬®¥ ¯à®áâà ­á⢮ ­®à¬ «ì­®.®ª § ⥫ìá⢮. ¥®à¥¬ 2.

¥®à¥¬ 3 ( àëá®­). ®à¬ «ì­®¥ ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ á® áç¥â- ­®© ¡ §®© ¬¥âਧ㥬®.

¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠.

¯à ¦­¥­¨¥. ।ê⥠¤¢ § ¬ª­ãâëå ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯®¤¬­®¦¥á⢠A

22

x3. ®¬¯ ªâ­ë¥ ¬­®¦¥áâ¢

1. ãáâì (X; ) { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ­®¦¥á⢮ Y X ­ §ë¢ ¥âáï ª®¬¯ ªâ­ë¬, ¥á«¨ ¨§ «î¡®£® ¥£® ®âªàë⮣® ¯®ªàëâ¨ï ¬®¦­® ¢ë¡à âì ª®­¥ç­®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥, â.¥.

	[			N
Y		U ; U 2	=) 9 1; :::; N : Y	[	U k :
				k=1

⢥ত¥­¨¥ 1. ᫨ ¬­®¦¥á⢠Y1, ... Ym ª®¬¯ ªâ­ë, â® ¨å ®¡ê¥¤¨­¥­¨¥ Y = [mj=1Yj ⮦¥ ª®¬¯ ªâ­®.

⢥ত¥­¨¥ 2. ãáâì Y { ª®¬¯ ªâ­®, F { ¥£® § ¬ª­ã⮥ ¯®¤¬­®¦¥á⢮, F = F Y . ®£¤ F ª®¬¯ ªâ­®.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì F [ U , U 2 . ®«®¦¨¬ V = (X n F ) 2 . ®£¤

[

[

N

[

Y (

U )

V

=)

9 1; :::; N : Y (

[

U k )

V

k=1

¨ F kN=1 U k .

S

1

n

ਬ¥àë. 1)

X

= fx

; :::; x

g { ª®¬¯ ªâ­®;

2) Rn ­¥ ª®¬¯ ªâ­®.

¥®à¥¬ 1. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨ç¥¬ X ª®¬-

¯ ªâ­®. ᫨ f 2 C(X; Y ), â® f(X) ª®¬¯ ªâ­® ¢ Y .

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì f(X) [ V , V 2 Y . ­®¦¥áâ¢

U = f;1(V )

®âªàëâë ¢ X. ¬¥¥¬

[

N

N

X

U =) X

[

U k =) f(X)

[

V k

:

k=1

k=1

2. ãáâì (X; ) { å ã᤮à䮢® ¯à®áâà ­á⢮.

⢥ত¥­¨¥ 3. ãáâì K X, K ª®¬¯ ªâ­®, y 62K. ®£¤

áãé¥áâ¢ãîâ

®âªàëâë¥ ¬­®¦¥á⢠U, V , â ª¨¥ çâ® K U, y 2 V , U \ V = ;.

®ª § ⥫ìá⢮. «ï «î¡®© â®çª¨ x 2 K áãé¥áâ¢ãîâ ®âªàëâë¥ Ux, Vx, ¤«ï ª®â®àëå x 2 Ux, y 2 Vx, Ux \ Vx = ;. ᨫ㠪®¬¯ ªâ­®á⨠K, ¨§ ⮣®, çâ®

K [xUx, ¢ë⥪ ¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãîâ â®çª¨ x1; :::; xN , â ª¨¥ çâ® K [Nj=1Uxj .áâ ¥âáï ¯®«®¦¨âì

NN

U =	[	Uxj ;	V =	\	Vxj :
	j=1			j=1

23

⢥ত¥­¨¥ 4. å ã᤮à䮢®¬ ¯à®áâà ­á⢥ «î¡®¥ ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬­®¦¥- á⢮ § ¬ª­ãâ®.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì K { ª®¬¯ ªâ­® ¢ X. ® ¯à¥¤ë¤ã饬ã ã⢥ত¥­¨î ¤«ï «î¡®© â®çª¨ y 62K áãé¥áâ¢ã¥â ®âªàë⮥ V , â ª®¥ çâ® y 2 V X n K.«¥¤®¢ ⥫쭮, (X n K) 2 .

¥®à¥¬ 2. ᫨ (X; ) { ª®¬¯ ªâ­®¥ å ã᤮à䮢® ¯à®áâà ­á⢮, â® ®­® ­®à¬ «ì­®.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì F1, F2 { § ¬ª­ãâë¥ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠. ᨫã ã⢥ত¥­¨ï 2, F1 ¨ F2 ª®¬¯ ªâ­ë. «ï ª ¦¤®© y 2 F2 ­ ©¤¥¬, ᮣ« á­® ã⢥ত¥­¨î 3, ®âªàëâë¥ ­¥¯¥à¥á¥ª î騥áï ¬­®¦¥á⢠Uy, Vy, â ª¨¥ çâ® F1 Uy, y 2 Vy. ¬¥¥¬

	[							N
F2		Vy	=)		9fy1; :::; yN g :		F2	[	Vyk :
	y							k=1
®«®¦¨¬				N		N
		G1 =		\	Uyk ; G2 =	[	Vyk :
				k=1		k=1
⨠¬­®¦¥á⢠®âªàëâë ¨ ­¥ ¯¥à¥á¥ª îâáï, ⥬ á ¬ë¬, ¬ë ¯à®¢¥à¨«¨ T 4.
⢥ত¥­¨¥ 5. ãáâì X { ª®¬¯ ªâ­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, Y { å ã᤮à䮢®,
®â®¡à ¦¥­¨¥ f :	X ! Y			¡¨¥ªâ¨¢­®. ᫨ f ­¥¯à¥à뢭®, â® ¨ ®¡à â­®¥

®â®¡à ¦¥­¨¥ f;1 ­¥¯à¥à뢭® (â.¥. f { £®¬¥®¬®à䨧¬).

®ª § ⥫ìá⢮. ᫨ F = F X, â® F ª®¬¯ ªâ­®. ® ⥮६¥ 1 ¬­®¦¥- á⢮ f(F ) ⮦¥ ª®¬¯ ªâ­®, ¨ á«¥¤®¢ ⥫쭮, § ¬ª­ãâ®. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¤«ï ®â®¡à ¦¥­¨ï f;1 ¯à®®¡à § «î¡®£® § ¬ª­ã⮣® ¬­®¦¥á⢠§ ¬ª­ãâ.

¯à ¦­¥­¨ï.

1)®ª ¦¨â¥, çâ® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ª®¬¯ ªâ­ëå ¯à®áâà ­á⢠ª®¬¯ ªâ­®.

2)®ª ¦¨â¥, çâ® ¥á«¨ f : R ! R { ­¥¯à¥à뢭 ï ¡¨¥ªæ¨ï, â® f;1 â ª¦¥ ­¥¯à¥à뢭 .

x4. ®¬¯ ªâ­®áâì ¢ ¬¥âà¨ç¥áª¨å ¯à®áâà ­á⢠å

1. ®¬¯ ªâ­®áâì ¢ Rn.

¥®à¥¬ 1 ( ¥©­¥ { ®à¥«ì). â१®ª [a; b] ª®¬¯ ªâ¥­.

®ª § ⥫ìá⢮. ।¯®«®¦¨¬, çâ® [a; b] [ U ¨ ¨§ ®âªàë⮣® ¯®ªàëâ¨ï U ­¥«ì§ï ¢ë¡à âì ª®­¥ç­®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥. §¤¥«¨¬ ®â१®ª ¯®¯®« ¬ ¨ ®¡®- §­ 稬 ç¥à¥§ [a1; b1] â®â, ª®â®àë© ­¥«ì§ï ¯®ªàëâì ª®­¥ç­ë¬ ç¨á«®¬ ¬­®¦¥áâ¢

U . â.¤. n-­®¬ è £¥ ¯®«ã稬 ®â१®ª [an; bn], ¤«¨­ ª®â®à®£® à ¢­ (b;a)2;n. ® ⥮६¥ ® ¢«®¦¥­­ëå ¯à®¬¥¦ã⪠å áãé¥áâ¢ã¥â â®çª c, ¯à¨­ ¤-

«¥¦ é ï ¢á¥¬ [an; bn]. ® ãá«®¢¨î c 2 U 0 ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ 0. «¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ m, çâ® [am; bm] U 0 . à®â¨¢®à¥ç¨¥.

⢥ত¥­¨¥ 1. à ««¥«¥¯¨¯¥¤ [a1; b1] ::: [an; bn] ª®¬¯ ªâ¥­ ¢ Rn.

24

¥®à¥¬ 2. ­®¦¥á⢮ K Rn ª®¬¯ ªâ­® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­® § ¬ª­ãâ® ¨ ®£à ­¨ç¥­®.

®ª § ⥫ìá⢮. =)) ¬ª­ãâ®áâì ª®¬¯ ªâ­®£® K ¢ë⥪ ¥â ¨§ å ã᤮àä®- ¢®á⨠Rn. ®ª ¦¥¬ ®£à ­¨ç¥­­®áâì.

	1
K	[	Bm(0) =) 9M :	K BM (0):
	m=1

(=) K { ®£à ­¨ç¥­®, §­ ç¨â, K Q = [;L; L] ::: [;L; L] ¯à¨ ­¥ª®â®à®¬ L. ­®¦¥á⢮ Q ª®¬¯ ªâ­®, K § ¬ª­ãâ®, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ª®¬¯ ªâ­®.

«¥¤á⢨¥ 1. ä¥à S2 ­¥ £®¬¥®¬®àä­ ¯«®áª®á⨠R2.

«¥¤á⢨¥ 2 (⥮६ ¥©¥àèâà áá ). ãáâì (X; ) { ª®¬¯ ªâ­®¥ ⮯®- «®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, f { ­¥¯à¥à뢭 ï äã­ªæ¨ï, f 2 C(X; R). ®£¤ f ®£à ­¨ç¥­ ¨ áãé¥áâ¢ãîâ â ª¨¥ â®çª¨ a; b 2 X, çâ® f(a) = minx2X f(x), f(b) = maxx2X f(x).

¬¥ç ­¨¥. ãáâì (X; ) { ª®¬¯ ªâ­®. ¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮ C(X; R) ï- ¥âáï ¡ ­ å®¢ë¬ á ­®à¬®© kfk = maxx2X jf(x)j.

2. ãáâì (X; ) { ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ­®¦¥á⢮ M ­ §ë¢ ¥âáï ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® ª®¬¯ ªâ­ë¬, ¥á«¨ ¨§ «î¡®© ¯®á«¥¤®¢ ⥫쭮á⨠â®ç¥ª fxng M ¬®¦­® ¢л¡а вм б室пйгобп ª ­¥ª®в®а®© в®зª¥ M ¯®¤¯®б«¥¤®¢ в¥«м­®бвм xnk ! x 2 M.

⢥ত¥­¨¥ 2. ¥ª¢¥­æ¨ «ì­® ª®¬¯ ªâ­®¥ ¬­®¦¥á⢮ § ¬ª­ãâ®.

¥®à¥¬ 3. ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¬­®¦¥á⢮ ª®¬¯ ªâ­® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­® ᥪ¢¥­æ¨ «ì­® ª®¬¯ ªâ­®.

¥§ ¤®ª § ⥫ìá⢠.

¯à ¦­¥­¨ï.

1) ­®¦¥á⢮ M ­ §ë¢ ¥âáï ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­­ë¬, ¥á«¨ ¤«ï «î¡®£® " > 0 áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ë© ­ ¡®à â®ç¥ª fy1; :::yng, â ª®© çâ® M [Nk=1B"(yk).®ª ¦¨â¥, çâ® ¢ ¯®«­®¬ ¬¥âà¨ç¥áª®¬ ¯à®áâà ­á⢥ ¬­®¦¥á⢮ ᥪ¢¥­æ¨ «ì­®

ª®¬¯ ªâ­® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ®­® § ¬ª­ãâ® ¨ ¢¯®«­¥ ®£à ­¨ç¥­® (⥮६ ã᤮àä ).

2) ᫨ X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮ á® áç¥â­®© ¡ §®©, â® ¨§ «î¡®£® ¥£® ®âªàë⮣® ¯®ªàëâ¨ï ¬®¦­® ¢ë¡à âì áç¥â­®¥ ¯®¤¯®ªàë⨥.

25

« ¢ IV. ®¬®â®¯¨¨

x1. ®¬®â®¯­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï

1. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, f; g 2 C(X; Y ).

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. â®¡à ¦¥­¨ï f ¨ g ­ §ë¢ îâáï £®¬®â®¯­ë¬¨ (¬ë ¡ã¤¥¬ ¯¨á âì f g), ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ F 2 C(X [0; 1]; Y ), çâ® F(x; 0) = f(x), F (x; 1) = g(x).

⢥ত¥­¨¥ 1. ®¬®â®¯¨ï { ®â­®è¥­¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠­ C(X; Y ).®ª § ⥫ìá⢮. 1) f f, â.ª. ¬®¦­® ¢§ïâì F (x; t) = f(x).

2)᫨ f g, â® g f, â.ª. ¬®¦­® ¢§ïâì G(x; t) = F (x; 1 ; t).

3)᫨ f g ¨ g h, â® f h, â.ª. ¬®¦­® ¢§ïâì

F (x; 2t);	0 6 t 6 1=2;
H(x; t) = " G(x; 2t ; 1);	1=2 6 t 6 1;

£¤¥ F ¨ G { ®â®¡à ¦¥­¨ï, ॠ«¨§ãî騥 £®¬®â®¯¨¨ f g ¨ g h.

2. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, x0 2 X.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. à®áâà ­á⢮ X ­ §ë¢ ¥âáï áâ¢ ¥¬ë¬, ¥á«¨ £®¬®â®¯­ë ®â®¡à ¦¥­¨ï f0 ¨ f1, £¤¥ f0(x) = x0, f1(x) = x.

⢥ত¥­¨¥ 2. ᫨ ¯à®áâà ­á⢮ X áâ¢ ¥¬®, â® ®­® «¨­¥©­® á¢ï§­®.

®ª § ⥫ìá⢮. ® ãá«®¢¨î áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ F 2 C(X [0; 1]; X), çâ® F(x; 0) = x0, F (x; 1) = x. «ï ¯à®¨§¢®«ì­®© â®çª¨ y 2 X à áᬮâਬ ®â®- ¡à ¦¥­¨¥ g : [0; 1] ! X, g(t) = F(y; t). á­®, çâ® g ­¥¯à¥à뢭®, g(0) = x0, g(1) = y, ⥬ á ¬ë¬, áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì, ᮥ¤¨­ïî騩 y ¨ x0. ­ «®£¨ç­®, ¤«ï «î¡®© z 2 X áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì, ᮥ¤¨­ïî騩 z ¨ x0, á«¥¤®¢ ⥫쭮, ¨ ¯ãâì, ᮥ¤¨­ïî騩 y ¨ z.

⢥ত¥­¨¥ 3. ¯à¥¤¥«¥­¨¥ áâ¢ ¥¬®á⨠­¥ § ¢¨á¨â ®â â®çª¨ x0.

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì x0 2 X, X { áâ¢ ¥¬®. ãáâì x~ 2 X. ®ª ¦¥¬, çâ®

f0 f~, £¤¥ f0(x) = x0, f~(x) = x~. X { «¨­¥©­® á¢ï§­®, ¯®í⮬ã áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì h 2 C([0; 1]; X), h(0) = x0, h(1) = x~. ¥¯¥àì ¤®áâ â®ç­® ¢§ïâì F (x; t) = h(t).

ਬ¥à. î¡®¥ ¢ë¯ãª«®¥ ¬­®¦¥á⢮ M Rn áâ¢ ¥¬®. ¥©á⢨⥫쭮,

¯ãáâì x0 2 M. ®«®¦¨¬ F(x; t) = t(x;x0 )+x0. ¬¥¥¬ F (x; t) 2 M, 8x 2 M; t 2 [0; 1], F ­¥¯à¥à뢭®, F (x; 0) = x0, F (x; 1) = x. ç áâ­®áâ¨, Rn áâ¢ ¥¬®.

¯à ¦­¥­¨¥. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠, ¯à¨ç¥¬ Y áâ¢ ¥- ¬®. ®ª ¦¨â¥, çâ® «î¡ë¥ ¤¢ ­¥¯à¥à뢭ëå ®â®¡à ¦¥­¨ï ¨§ X ¢ Y £®¬®â®¯­ë.

x2. ¥®à¥¬ à ãíà

¥®à¥¬ 1. ä¥à Sn;1 ­¥ áâ¢ ¥¬ .

®ª § ⥫ìá⢮. ë à áᬮâਬ ⮫쪮 á«ãç © n = 2 (®ªà㦭®áâì), á«ã-

26

롥६ ­ ®ªà㦭®á⨠âਠâ®çª¨ A, B ¨ C. ।¯®«®¦¨¬, ­ è¥ ã⢥à- ¦¤¥­¨¥ ­¥¢¥à­® ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ®â®¡à ¦¥­¨¥ F 2 C(S1 [0; 1]; S1), ¤«ï ª®â®à®£® F(x; 0) = A, F (x; 1) = x, F (A; t) = A. §¢¥à­¥¬ 樫¨­¤à S1 [0; 1] ¢ ¯àï-

¬®ã£®«ì­¨ª (à §àë¢ ®ªà㦭®á⨠¯® â®çª¥ A) ¨ à §®¡ì¥¬ ¥£® ­ ª¢ ¤à âë, ª ¦¤ë© ª¢ ¤à â { ­ ¤¢ âà¥ã£®«ì­¨ª . ª¨¬ ®¡à §®¬, ª ¦¤ë© 㧥« ¯®- «ã稢襩áï á¥âª¨ á«ã¦¨â ¢¥à設®© è¥á⨠âà¥ã£®«ì­¨ª®¢. 㤥¬ áç¨â âì, çâ® âਠ­£ã«ïæ¨ï ­ á⮫쪮 ¬¥«ª ï, çâ® ¤«ï ª ¦¤®© ¢¥à設ë V ®¡à § ¢á¥å è¥á⨠âà¥ã£®«ì­¨ª®¢ ¯à¨ ®â®¡à ¦¥­¨¨ F ᮤ¥à¦¨âáï ¢­ãâਠ¤ã£¨ (ABC), «¨¡® (BCA), «¨¡® (CAB). ®¯®áâ ¢¨¬ ª ¦¤®© ¢¥à設¥ V ᮮ⢥âá⢥­­® ¡ã- ª¢ã B, «¨¡® C, «¨¡® A. ¢¥àå­¥© "áâப¥" ¯àאַ㣮«ì­¨ª ®ª ¦¥âáï á«®¢® AA:::BB:::CC:::AA, ¢ ­¨¦­¥© ¨ ­ ¡®ª®¢ëå áâ®à®­ å ¡ã¤ãâ ⮫쪮 ¡ãª¢ë A. ⬥⨬, çâ® ­¥ ¬®¦¥â ®ª § âìáï â ª, çâ® ¢¥à設 ¬ ª ª®£®-â® ®¤­®£® âà¥ã£®«ì­¨ª ᮯ®áâ ¢«¥­ë âà¨ à §­ë¥ ¡ãª¢ë.

¥¯¥àì ᮥ¤¨­¨¬ ¢¥àå­¨¥ «¥¢ãî ¨ ¯à ¢ãî ¢¥àè¨­ë ­ 襣® ¯àאַ㣮«ì­¨-

ª «®¬ ­®©. 㤥¬ ¤¢¨£ âì ¥¥ ¢­¨§, "®âªãáë¢ ï" ­	ª ¦¤®¬ è £¥ ¯® ®¤­®¬ã
âà¥ã£®«ì­¨ªã, â ª çâ® ¢ ¯¥à¢ë© ¬®¬¥­â ®­ ᮢ¯ ¤ «	á ¢¥àå­¥© áâ®à®­®©, ¢

¯®á«¥¤­¨© { á âà¥¬ï ®áâ «ì­ë¬¨ áâ®à®­ ¬¨ ¯àאַ㣮«ì­¨ª . ª ¦¤®¬ è - £¥ ᮯ®áâ ¢¨¬ «®¬ ­®© ç¨á«® ¯® á«¥¤ãî饬㠫£®à¨â¬ã. ᫨ §¢¥­® «®¬ ­®© ᮥ¤¨­ï¥â ¤¢¥ ¢¥à設ë, ª®â®àë¬ á®®â¢¥âáâ¢ãîâ ®¤¨­ ª®¢ë¥ ¡ãª¢ë, â.¥. AA, BB ¨«¨ CC, â® â ª®¬ã §¢¥­ã ᮯ®áâ ¢¨¬ 0. ᫨ §¢¥­® ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¯¥à¥- 室ã (¯à¨ ¤¢¨¦¥­¨¨ ¯® «®¬ ­®© á«¥¢ ­ ¯à ¢®) AB, BC ¨«¨ CA, â® 1, ¥á«¨ ¯¥à¥å®¤ã AC, CB ¨«¨ BA, â® -1. ¢á¥© «®¬ ­®© { á㬬ã ç¨á¥«, ᮯ®áâ ¢«¥­- ­ëå §¢¥­ìï¬. ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ­ ç «ì­ë© ¬®¬¥­â «®¬ ­®© ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç¨á«® 3, ¢ ª®­¥ç­ë© { 0. ¥âà㤭® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¯à¨ "áꥤ ­¨¨" ®¤­®£® âà¥ã£®«ì­¨ª á㬬 , ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï «®¬ ­®© ¨§¬¥­¨âìáï ­¥ ¬®¦¥â (â.ª. á â®ç­®áâìî ¤® § ¬¥­ë ¡ãª¢ ª ¦¤ë© âà¥ã£®«ì­¨ª { íâ® «¨¡® AAB, «¨¡® ABA, «¨¡® AAA). ë ¯à¨è«¨ ª ¯à®â¨¢®à¥ç¨î.

¥®à¥¬ 2 ( à ãíà). ãáâì B { ¥¤¨­¨ç­ë© è à ¢ Rn, f : B ! B { ­¥¯à¥- à뢭®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥â ­¥¯®¤¢¨¦­ ï â®çª x = f(x).

®ª § ⥫ìá⢮. n = 1). ¤¥áì f 2 C[;1; 1]. ®«®¦¨¬ g(t) = t ; f(t). ¬¥¥¬ g(;1) 6 0, g(1) > 0, á«¥¤®¢ ⥫쭮, áãé¥áâ¢ã¥â â ª ï â®çª t, çâ® g(t) = 0 ¨ f(t) = t.

n > 2). ।¯®«®¦¨¬, çâ® f 2 C(B; B) ¨ f(x) 6= x ­¨ ¯à¨ ª ª®¬ x 2 B.¯à¥¤¥«¨¬ â®çªã h(x) ª ª ¯¥à¥á¥ç¥­¨¥ «ãç [f(x); x) á® áä¥à®© S. á­®, çâ® ®â®¡à ¦¥­¨¥ h : B ! S ­¥¯à¥à뢭® ¨ çâ® h(x) = x, ¥á«¨ x 2 S. ¢¥¤¥¬ ®¡®§­ 祭¨¥ x0 := h(0) 2 S ¨ à áᬮâਬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ F : S [0; 1] ! S, § ¤ ­­®¥ ¯® ä®à¬ã«¥ F (x; t) = h(tx). .ª. F(x; 0) = x0, F (x; 1) = x, ®âáî¤ á«¥¤®¢ «® ¡ë, çâ® áä¥à áâ¢ ¥¬ , çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¯à¥¤ë¤ã饩 ⥮६¥.­ ç¨â, ­ è¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨¥ ­¥¢¥à­® ¨ áãé¥áâ¢ã¥â å®âï ¡ë ®¤­ ­¥¯®¤¢¨¦­ ï â®çª .

ਬ¥àë. 1) ᫨ à áᬮâà¥âì ­ ¯«®áª®á⨠ª®«ìæ® X, â® ¯®¢®à®â ­ ª ª®©- ­¨¡ã¤ì 㣮« ï¥âáï ­¥¯à¥àë¢­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ X ¢ ᥡï, ­¥ ¨¬¥î騬 ­¥- ¯®¤¢¨¦­ëå â®ç¥ª.

2) áᬮâਬ ¬­®¦¥á⢮ ­ âãà «ì­ëå ç¨á¥« ª ª ¬¥âà¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­- á⢮ á ¬¥âਪ®© (n; m) = 1 ; nm. â®¡à ¦¥­¨¥ f(n) = n + 1 ï¥âáï ­¥- ¯à¥àë¢­ë¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥¬ § ¬ª­ã⮣® ¥¤¨­¨ç­®£® è à ¢ ᥡï, ­¥ ¨¬¥î騬

27

¯à ¦­¥­¨¥. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, £®¬¥®¬®àä­®¥ § ¬ª­ã- ⮬ã è àã ¢ Rn. ®ª ¦¨â¥, çâ® ¢á类¥ ­¥¯à¥à뢭®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ¯à®áâà ­- á⢠X ¢ á¥¡ï ¨¬¥¥â ­¥¯®¤¢¨¦­ãî â®çªã.

x3. ã­¤ ¬¥­â «ì­ ï £à㯯

1. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮, x0 2 X.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 1. ¥â«¥© ­ §ë¢ ¥âáï â ª®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ' 2 C([0; 1]; X), çâ® '(0) = '(1) = x0. ­®¦¥á⢮ ¢á¥å ¯¥â¥«ì á ­ ç «®¬ ¨ ª®­æ®¬ ¢ x0 ®¡®§­ 稬 ç¥à¥§ .

⢥ত¥­¨¥ 1. ®¬®â®¯¨ï { ®â­®è¥­¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠¢ .

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 2. « ááë íª¢¨¢ «¥­â­ëå ¯¥â¥«ì ¡ã¤¥¬ ®¡®§­ ç âì ['] = f 2: 'g. ­®¦¥á⢮ ª« áᮢ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠®¡®§­ 稬 1(X; x0) = f[']g.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 3. ந§¢¥¤¥­¨¥¬ ¯¥â¥«ì ­ §®¢¥¬

('	)(t) = "	'(2t); t 6 1=2
		(2t ; 1); t > 1=2
¬¥ç ­¨¥. á­®, çâ® '	2 .
⢥ত¥­¨¥ 2.
' ';~	~; =) ' '~ ~:

ª¨¬ ®¡à §®¬, ª®à४⭮ ®¯à¥¤¥«¥­® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ['] [ ] = [' ].

¥®à¥¬ 1. 1(X; x0) { £à㯯 .

®ª § ⥫ìá⢮. 1) ®«®¦¨¬ '0(t) = x0. ஢¥à¨¬, çâ® ª« áá ¯¥â¥«ì, £®- ¬®â®¯­ëå '0, ®¡« ¤ ¥â ᢮©á⢠¬¨ ¥¤¨­¨æë £à㯯ë, e = ['0]. ãáâì ' 2 ,

= ' e,
(t) = "			'(2t);			t 6 1=2
					x0; t > 1=2
â®¡à ¦¥­¨¥
F (s; t) = 2'		2s			;	0 6 s 6	t	+ 1
		t + 1						2
4				x0; (t + 1)=2 6 s 6 1
6
¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª« ááã C([0; 1] [0; 1]; X) ¨ F (s; 0) =								(s), F (s; 1) = '(s). ¥¬

á¬ë¬, '.

2)®«®¦¨¬ ';1(t) = '(1 ; t). ஢¥à¨¬, çâ® ª« áá ¯¥â¥«ì [';1] ®¡« ¤ ¥â

᢮©á⢠¬¨ ®¡à â­®£® í«¥¬¥­â , ['];1 = [';1]. ãáâì = ' ';1,

(t) = "	'(2t); t 6	1=2

	28
	â®¡à ¦¥­¨¥
		2			x0;	s 6 t=2
	F (s; t) =			'(2s	; t); t=2 6 s 6		1=2
			'(2	; 2s	; t);	1=2 6 s 6	1 ; t=2
		6
		4			x0;	1 ; t=2 6 s
	¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª« ááã C([0; 1] [0; 1]; X) ¨ F (s; 0) =						(s), F (s; 1) = x0. ¥¬

á¬ë¬, '0.

3)ãáâì '; ; 2 . ®ª ¦¥¬, çâ® (' ) ' ( ). 㦭묨

᢮©á⢠¬¨ ®¡« ¤ ¥â ®â®¡à ¦¥­¨¥

F (s; t) = 2		'	4s	;	0 6 s 6		t + 1
			t + 1				4
		(4s ; t ; 1);			(t + 1)=4 6 s 6 (t + 2)=4
4
6		4s ; 2 ; t		;	t + 2	6 s 6 1
		2 ; t			4

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4. 1(X; x0) ­ §ë¢ ¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© £à㯯®© ¯à®áâà ­- á⢠X á ®â¬¥ç¥­­®© â®çª®© x0.

ਬ¥àë. 1) ã­¤ ¬¥­â «ì­ ï £à㯯 ªàã£	âਢ¨ «ì­ . 2) ã­¤ ¬¥­â «ì-
­ ï £à㯯 ª®«ìæ ­ ¯«®áª®á⨠­¥âਢ¨ «ì­	(¨§®¬®àä­ Z).

2. ãáâì X, Y { ⮯®«®£¨ç¥áª¨¥ ¯à®áâà ­á⢠. í⮬ ¯ã­ªâ¥ ¬ë ¤®ª ¦¥¬, çâ® äã­¤ ¬¥­â «ì­ë¥ £àã¯¯ë £®¬¥®¬®àä­ëå ¯à®áâà ­á⢠¨§®¬®àä­ë.

¥®à¥¬ 2. ãáâì f : X ! Y { £®¬¥®¬®à䨧¬, f(x0) = y0. ®£¤ 1(X; x0) '

1(Y; y0).

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì

X = f' 2 C([0; 1]; X) : '(0) = '(1) = x0g;

Y = f 2 C([0; 1]; Y ) : (0) = (1) = y0g:

â®¡à ¦¥­¨¥ G : X ! Y , ᮯ®áâ ¢«ïî饥 ª ¦¤®© ¯¥â«¥ ' 2 x ¯¥â«î G(') = f ' 2 Y , ï¥âáï ¡¨¥ªæ¨¥©. ᫨ ' '~, â® G(') G('~). ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢®§­¨ª ¥â ¡¨¥ªæ¨ï

g : 1(X; x0) ! 1(Y; y0); g['] = [G(')]:

஢¥à¨¬, çâ® ®â®¡à ¦¥­¨¥ g ¯¥à¥¢®¤¨â ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥ ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥. ãáâì '1; '2 2 X, G('1) = 1, G('2) = 2. ¬¥¥¬

	f('1(2t)); t 6 1=2	#
G('1 '2)(t) = f(('1 '2)(t)) = " f('2(2t ; 1)); t > 1=2
= "	1(2t); t 6 1=2 # = ( )(t) =)

29

G('1 '2) = 1 2 =) g(['1] ['2]) = g['1] g['2]:

3. ãáâì X { ⮯®«®£¨ç¥áª®¥ ¯à®áâà ­á⢮. «ï ¤®ª § ⥫ìá⢠⮣®, çâ® äã­¤ ¬¥­â «ì­ ï £à㯯 «¨­¥©­® á¢ï§­®£® ¯à®áâà ­á⢠­¥ § ¢¨á¨â ®â ¢ë¡®à â®çª¨ x0, ­ ¬ ¯®­ ¤®¡ïâáï á«¥¤ãî騥 ®¡®§­ 祭¨ï. ãáâì 1, 2 { ¯ã⨠¢ X,2(0) = 1(1). ®«®¦¨¬

1(2t);	t 6 1=2
( 1 2)(t) = " 2(2t ; 1);	t > 1=2

( 1 2 { ¯ãâì ¢ X) ¨ ;1(t) = (1 ; t). á­®, çâ® ( 1 2) 3 1 ( 2 3).᫨ (0) = x0, â® ;1 2 x0 ¨ [ ;1] = e ¢ 1(X; x0).

⢥ত¥­¨¥ 3. ãáâì x0; x1 2 X. ᫨ áãé¥áâ¢ã¥â ¯ãâì , ᮥ¤¨­ïî騩 â®çª¨ x0 ¨ x1, â® 1(X; x0) ' 1(X; x1).

®ª § ⥫ìá⢮. ãáâì ' 2 x0 . ®«®¦¨¬ G' = ;1 ' 2 x1 . ᫨

' '~, â® G' G'~. ®§­¨ª ¥â ®â®¡à ¦¥­¨¥ g : 1(X; x0) ! 1(X; x1). ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î § ¤ ¤¨¬ ®â®¡à ¦¥­¨¥ G;1 : 7! ;1 (íâ® ­¥ ®¡à â­®¥

®â®¡à ¦¥­¨¥). ­® ¯®à®¦¤ ¥â g;1 : 1(X; x1) ! 1(X; x0). â® ®â®¡à ¦¥­¨¥ 㦥 ï¥âáï ®¡à â­ë¬ ª g, â.ª.

g;1(g [']) = g;1[ ;1 ' ] = [ ;1 ' ;1] = [ ;1] ['] [ ;1] = [']:

ª¨¬ ®¡à §®¬, g { ¡¨¥ªæ¨ï.

ãáâì ⥯¥àì '1; '2 2 x0 . ¬¥¥¬

g(['1] ['2]) = g(['1 '2]) = [ ;1 '1 '2 ]

= [ ;1 '1 ] [ ;1 '2 ] = g['1] g['2]:

«¥¤á⢨¥. ᫨ X «¨­¥©­® á¢ï§­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, â® 1(X; x) ' 1(X; y) ¯à¨ «î¡ëå x, y.

¯à¥¤¥«¥­¨¥ 4'. 1(X) ­ §ë¢ ¥âáï äã­¤ ¬¥­â «ì­®© £à㯯®© «¨­¥©­® á¢ï§- ­®£® ¯à®áâà ­á⢠X (£à㯯 ã ­ª à¥).

¬¥ç ­¨¥. Henri Poincare, 1854 { 1912.

4.ਬ¥àë.

1)᫨ ¯à®áâà ­á⢮ X áâ¢ ¥¬®, â® 1(X) ' f0g. ç áâ­®áâ¨, äã­¤ -

¬¥­â «ì­ ï £à㯯 Rn âਢ¨ «ì­ .

2)	1(S1) ' Z.
3) ã­¤ ¬¥­â «ì­ ï £à㯯 â®à ¨§®¬®àä­ Z2.
4) áᬮâਬ ­		¯«®áª®á⨠ªàã£, ¨§ ª®â®à®£® ¢ë१ ­ë ¤¢ ¬¥­ìè¨å ­¥¯¥-
à¥á¥ª îé¨åáï ªàã£		(ªà¥­¤¥«ì). ã­¤ ¬¥­â «ì­ ï £à㯯 â ª®£® ¯à®áâà ­-
áâ¢	­¥ ¡¥«¥¢ .

30

¯à ¦­¥­¨¥. ãáâì Q = [0; 1]n { ªã¡, @Q { ¥£® £à ­¨æ , = f' 2 C(Q; X) : '(@Q) = x0g. ®¬®â®¯¨ï { ®â­®è¥­¨¥ íª¢¨¢ «¥­â­®á⨠­ . ['] { ª« áá íª¢¨¢ «¥­â­®áâ¨. ¢¥¤¥¬ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥

('	)(t1; t2; :::; tn) = "	'(2t1; t2	; :::; tn);	t1	6 1=2
		(2t1 ; 1; t2	; :::; tn);	t1	> 1=2

®à४⭮ ®¯à¥¤¥«¥­® ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¥	['] [ ]	= ['
n(X; x0) { n-¬¥à­ ï £®¬®â®¯¨ç¥áª ï £à㯯		¯à®áâà
â®çª®© x0. ®ª ¦¨â¥, çâ® n(X; x0) {	¡¥«¥¢	£à㯯

]. ®§­¨ª ¥â £à㯯 ­á⢠X á ®â¬¥ç¥­­®© ¯à¨ n > 2.