Задачи

(X, τ )

N τ "# $ %

N τ = {N, , N} (N, τ ) %

&

' X = {a, b, c} ( (X, τ )

" {a}, {b}, {b} τ ) τ

* (X, τ ) $ x X %

" {x} τ ) τ

+ X R τ = {X, , , }

(X, τ ) &

- T1 X = R, T1 = {X, , R ,

} ) (X, T1) %

. X = R (X, τ )

•τ = {X, , (−r, r) : r R, r > 0}

•τ = {X, , (−r, r) : r Q, r > 0}

•τ = {X, , (−r, r) : r / Q, r > 0}

/ )

0 ) [0, 1) R

1 ) [a, b] R

) A = {0} {1/n}+n=1∞ R

) R

Int [0, 1) = (0, 1)

Int Q =

Int (R \ Q) =

' ) Q " R

* 2 (X, τ ) X = [0, +∞), τ = {X, , (a, +∞) a > 0} 3 $ Cl {1} Int [0, 1]

+ 4$ Int (0, 1] {2} R

- 4$ Cl N Int (0, 1) R $ T1

.(X, τ ) 2 %

M X 5

M # ,$ Cl , Int &

/ ) R $ $

0 "# 6 Int M = M \ ∂M Cl M = M ∂M

1 ) 7 A = Cl A ∂A A

•T1

•[0, +∞) ! !

" # R $ % % &

' ( % % (R, T1)

•#

•# % )

* # ) +% )

N , -

% )

. / T1 R 0 1

2 3 % %)

4 3 (X, τ ) 5 & 6

(Y, τy) 7 τy

•X = R Y = N

•X = [0, +∞) ! ! Y = N

•X = R T1 Y = N

•X = R T1 Y = {1, 2, 3}

8 3 % # - 6

9 3 X = R τ

% B ) ) [a, b) a, b R

•# -% ) ) % ) ) % )

•# - 6

)

•# - 6

)%

: 3 (X, τ ) ! ! ; % < ( % %

Z = X × X

•# Z

•( % % A = {(x, y) : x + y = 1} Z #

(A, τa)

Задачи по топологии 3

1. Пусть (X; ½) метрическое пространство. Положим ½1 = ½=(1 + ½). Докажите, что ½1 является метрикой.

2. Пусть ½1; ½2 метрики на множестве X. Какие из перечисленных функций являются метриками:

² ½1 + ½2

² minf½1; ½2g ² maxf½1; ½2g ² ½1=½2 ² ½1½2

3. Зададим метрику на плоскости R2 одним из следующих способов:

² ½(x; y) = max jxi ¡ yij,

i=1;2

² ½(x; y) = P2 jxi ¡ yij,

i=1

² ½(x; y) = ³P2 jxi ¡ yij2´1=2,

i=1

² ½(x; y) = ³P2 jxi ¡ yij3´1=3.

i=1

Для каждой метрики нарисуйте шар радиуса r с центром в начале координат.

4. Рассмотрим множество C[0; 1] непрерывных функций, принимающих вещественные зна- чения. Введем две различных метрики на этом множестве:

Z1

² ½1(f; g) = jf(t) ¡ g(t)j dt,

0

² ½c(f; g) = max jf(t) ¡ g(t)j.

t2[0;1]

Докажите, что эти две метрики неэквивалентны. Сравнимы ли соответствующие метрические топологии ?

5.Пусть (X; ½) метрическое пространство. Докажите, что функция ½1 = ½=(1 + ½) является метрикой, эквивалентной ½.

6.Докажите, что если для двух метрик ½1; ½2 на множестве X найдутся положительные константы A; B, такие, что

A½1(x; y) · ½2(x; y) · B½1(x; y)

для любых точек x; y 2 X, то метрики ½1; ½2 эквивалентны.

7.Докажите, что множество A метрического пространства (X; ½) замкнуто тогда и только тогда, когда предел любой сходящейся в X последовательности точек из A принадлежит

A.