[ Гельфрейх ] Математический анализ. Задачи для коллоквиума и экзамена на 1 курсе (ПМФ)

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ	ПРИОРИТЕТНЫЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ	НАЦИОНАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
УНИВЕРСИТЕТ	"ОБРАЗОВАНИЕ"

Проект ¾Инновационная образовательная среда в классическом университете¿

Пилотный проект • 22 ¾Разработка и внедрение инновационной образовательной программы ¾Прикладные математика и физика¿¿

Физический факультет кафедра высшей математики и математической физики

Н.Г.Гельфрейх

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМОВ И ЭКЗАМЕНОВ НА 1 КУРСЕ

БАЗОВЫЙ ПОТОК

Учебно-методическое пособие

Санкт-Петербург 2007г.

2

²Рецензент: зав. кафедрой высшей математики и математической физики, проф., д.ф.м.н. Буслаев В.С.

²Печатается по решению методической комиссии физического факультета СПбГУ.

²Рекомендовано Ученым советом физического факультета СПбГУ.

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ. ЗАДАЧИ ДЛЯ КОЛЛОКВИУМОВ И ЭКЗАМЕНОВ НА 1 КУРСЕ. БАЗОВЫЙ ПОТОК. СПб., 2007

Учебно-методическое пособие содержит простейшие задачи по курсу "Математический анализ"(1-й и 2-й семестры). Все задачи снабжены подробными решениями. Пособие предназначено для студентов базового потока первого курса физического факультета.

3

Оглавление
Введение.............................................................................................	3
I. Операции над множествами. Метод математической индукции.
Бином Ньютона..............................................................................	3
II. Комплексные числа......................................................................	5
III. Пределы.....................................................................................	10
IV. Производная...............................................................................	16
V. Неопределенный интеграл..........................................................	21
VI. Определенный интеграл............................................................	27
VII. Несобственные интегралы и ряды...........................................	31
VIII. Функции многих переменных.................................................	34
Список литературы..........................................................................	39

Введение.

Методическое пособие адресовано студентам базового потока первого курса физического факультета СПбГУ и предназначено для помощи в самостоятельной подготовке студентов к коллоквиумам и экзаменам по курсу "Математический анализ". Пособие содержит только основные стандартные задачи, умение решать которые необходимо для получения удовлетворительной оценки. Все задачи снабжены подробными решениями. В пособие не вошли технически сложные и нестандартные задачи, требующие много времени на решение. Такие задачи можно найти в пособиях [1] [3].

I. Операции над множествами. Метод математической индукции. Бином Ньютона.

1. Даны множества A = f¡1; 2; 3g è B = f1; 2; 3g. Найти множества

A [ B, A \ B, A n B, B n A, A £ B.

Решение. Символ A [ B обозначает новое множество, которое состоит из всех элементов множеств A è B. Это множество называется объединением множеств A è B. Символ A \ B обозначает новое множество, которое состоит из общих элементов множеств A è B. Это множество называется пересечением множеств A è B. Символ AnB обозначает новое множество, которое состоит из элементов множества A, не принадлежащих множеству B. Это множество на-

зывается разностью множеств A è B. Символ A £ B обозначает мн-

ожество новой природы, а именно, множество, элементами которого являются пары вида (a; b), где на первом месте стоит какой-нибудь

3k+1

4

элемент множества A, а на втором какой-нибудь элемент мн-

ожества B.

В соответствии с определением объединения множеств, множество A [ B в нашем случае состоит из чисел -1; 1; 2; 3 и, таким обра-

зом, может быть записано как A [ B = f¡1; 1; 2; 3g. Множество A \ B в нашем случае состоит из чисел 2; 3 и может быть записано как A \ B = f2; 3g. Разность множеств A è B содержит всего один элемент: ¡1, что может быть записано как A n B = f¡1g. Аналогично, B n A = f1g. Множество A £ B содержит 9 элементов, каждый из которых является парой чисел: A £ B =

f(¡1; 1); (¡1; 2); (¡1; 3); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (3; 1); (3; 2); (3; 3)g.

2. Пользуясь методом математической индукции, доказать неравенство 3n > 1 + 2n ïðè n ¸ 2.

Решение. 1) Проверяем базу (т.е. истинность доказываемого утверждения при наименьшем значении n). Ïðè n = 2 неравенство

принимает вид: 32 > 1 + 2 ¢ 2, что верно.

2) Индукционный переход. Предположим,k что неравенство выполняется при некотором значении n = k: 3 > 1 + 2k и докажем,

÷òî è äëÿ n = k + 1 в этом случае оно выполняется так же : > 1 + 2(k + 1). Действительно, по индукционному предпол-

ожению справедливо неравенство 3k > (1 + 2k), а потому

3k+1 = 3¢3k > 3(1+2k) = 3+3¢2k = 1+2+3¢2k > 1+2+2k = 1+2(k+1):

Из 1) и 2) согласно методу математической индукции следует, что неравенство 3n > 1+2n выполняется для любых натуральных n ¸ 2.

Что и требоваëîñь доказать. 3. Вычислить 101!

99! .

Решение. Пользуясь определением факториала

n! = n(n ¡ 1)(n ¡ 2) : : : 2 ¢ 1;

запишем

101! = 101 ¢ 100 ¢ 99 ¢ 98 : : : 2 ¢ 1 = 101 ¢ 100 = 10100: 99! 99 ¢ 98 ¢ 97 ¢ : : : 2 ¢ 1

4. Упростить выражение (n+1)!

(n¡1)!.

Решение.

(n + 1)! = (n + 1)n(n ¡ 1) : : : 2 ¢ 1 = (n + 1)n: (n ¡ 1)! (n ¡ 1)(n ¡ 2) : : : 2 ¢ 1

5. Сократить дробь nk!!, k < n.

5

Решение.

n! = n(n ¡ 1) : : : (k + 1)k(k ¡ 1) : : : 2 ¢ 1 = n(n ¡ 1) : : : (k + 1): k! k(k ¡ 1)(k ¡ 2) : : : 2 ¢ 1

6. Упростить выражение: C1

n¡2

C3

формулой.

Решение. Воспользовавшисьn

Ck

=

n!

;

n

k!(n ¡ k)!

получим

Cn1¡2

=

(n ¡ 2)!

:

n!

=

(n ¡ 2)!3!(n ¡ 3)!

=

6

:

3!(n ¡ 3)!

n(n ¡ 1)

Cn3

1!(n ¡ 3)!

1!(n ¡ 3)!n!

¢

Решение. Воспользовавшись формулой

¡

12.

7. Найти коэффициент при x¡3 в выражении:

x2 ¡ x1

бинома Ньютона

n

X

(a + b)n

=

Cnkakbn¡k;

запишем равенство:

n=0

= k=0 C12k (x2) µ¡x¶

:

µx2 ¡ x¶

1 12

12

12¡k

X

k

1

(¡1) ¡

xk¡12

1

12

12

¡x2 ¡ x1 ¢

¡

¢

12¡k

Воспользовавшись

равенствами

2

k

x2k

è

1

12 k

(x

)

=

12

â âèäå:

¡x

=

, запишем выражение

µx2

¶

X

¡

x

= k=0 (¡1)12¡kC12k x3k¡12:

Сумма содержит 13 слагаемых, каждый из которых является произведением числа (¡1)12¡kC12k на переменную x в степени 3k ¡ 12. Отсюда видно, что x¡3 содержит то слагаемое, для которого выпо-

лняется 3k ¡ 12 = ¡3, ò.å. k = 3. Соответствующее слагаемое имеет

âèä:

(¡1)12¡3C123 x¡3 = ¡3!9!12! x¡3 = ¡220x¡3:

Таким образом, коэффициент при x¡3 равен ¡220.

II.Комплексные числа.

1.Вычислить 2¡i

3+2i.

Решение. Для того, чтобы поделить одно комплексное число на другое в алгебраической форме, домножим числитель и знаменатель

6

на число, комплексно сопряженное знаменателю (знаменатель равен 3 + 2i, комплексно сопряженное ему число равно 3 ¡ 2i):

2 ¡ i

=

(2 ¡ i)(3 ¡ 2i)

=

2 ¢ 3 ¡ 2 ¢ 2i ¡ i ¢ 3 + i ¢ 2i

=

3 + 2i

(3 + 2i)(3 ¡ 2i)

32 ¡ (2i)2

=

6 ¡ 4i ¡ 3i ¡ 2

=

4 ¡ 7i

=

4

7

i:

13

9 + 4

13 ¡

13

2. Вычислить в алгебраической форме p

.

3 ¡ 4i

Решение.

По определению квадратного корня, требуется найти

такое комплексное

число z

= x + iy, квадрат которого

равен

3 ¡ 4i. То есть требуется найти2

вещественные числа x è y, óäî-

влетворяющие равенству

(x + iy)

= 3 ¡ 4i. Раскрывая квадрат, по-

лучим x

2

+ 2ixy ¡ y

2

= 3 ¡ 4i. Два комплексных числа равны, если

их вещественные и мнимые части совпадают, т.е. одно комплексное равенство x2 ¡ y2 + 2ixy = 3 ¡ 4i равносильно двум вещественным:

x2 ¡ y2 = 3 è 2xy = ¡4. Эта система имеет два вещественных решения x1 = 2; y1 = ¡1 è x2 = ¡2; y2 = 1. Таким образом получаем два

значения квадратного корня: z1 = ¡2 + i è z2 = 2 ¡ i. p

3. Представить комплексные числа z1 = ¡1 + i, z2 = ¡1 ¡i 3, z3 = 1 ¡ 2i в тригонометрической форме так, чтобы значение аргумента

лежало в интервале (¡¼; ¼].

Решение. Комплексное число z = x + iy, не равное нулю, может быть записано в тригонометрической форме:

z = r(cos ' + i sin ');

ãäå r = jzj = px2 + y2 модуль, а ' = arg z аргумент комп-

лексного числа. Аргументом ' комплексного числа z = x + iy

называется угол между положительной вещественной полуосью и лучом, выходящим из начала координат и проходящим через точку, изображающую число z на плоскости. Аргумент ' может быть на-

йден из уравнений
	cos ' =		x		;
			z
	( sin ' =		jy j
				:
		jzj

Аргумент комплексного числа определяется с точностью до 2¼k, k 2

Z.

Вычислим значения модулей заданныõ ÷èñåë:

jz1j = p(¡1)2 + 12 = p2; q p

jz2j = (¡1)2 + (¡ 3)2 = 2;

7

jz3j = p12 + (¡2)2 = p5:

Для того, чтобы найти arg z1 достаточно заметить, что со-

ответствующая этому числу точка лежит на комплексной плоск-
îñòè âî II четверти на биссектрисе координатного угла. Поэтому
arg z1 = 34¼ .
Для числа z2 = ¡1¡ip		аргумент может быть найден из системы
	3
		cos '2 = ¡21		;
		p
½ sin '2 = ¡			3			:
			2
Решением системы являются следущие значения:
'2 = ¡2¼=3 + 2¼k;						k 2 Z:

Для того, чтобы значение аргумента лежало в интервале (¡¼; ¼],

выберем k = 0 и тогда arg z2 = ¡2¼=3. Для числа z3 = 1 ¡ 2i имеем

1
cos '3 = p		;
	5
( sin '3 = ¡p2				:
			5

Отсюда получаем tg '3 = ¡12 Учитывая, что число z3 = 1¡2i лежит в IV четверти, получаем

'3 = arctg µ¡	1	¶ + 2¼k; k 2 Z:
	2

Для того, чтобы значение аргумента лежало в интервале (¡¼; ¼], выберем и здесь k = 0 и будем считать, что

arg z3 = arctg µ¡	1	¶:
	2

Зная модули и аргументы заданных чисел, запишем их в триго-

нометрической форме:

µcos 34

+ i sin 34

¶

;

z1 = ¡1 + i = p2

p

¼

¼

z2 = ¡1 ¡ i

3 = 2 (cos(¡2¼=3) + i sin(¡2¼=3)) ;

:

z3 = 1 ¡ 2i = p5

µcos arctg

µ¡2¶

+ i sin arctg

µ¡2¶¶

1

1

4.

Вычислить ³¡¡¡1+i

´ .

1 ip

12

3

Решение. Делить, умножать, возводить в степень и извлекать корни из комплексных чисел удобно, если они записаны в триго-

8

нометрической форме. Частное двух комплексных чисел может быть вычислено по формуле

r1(cos '1 + i sin '1)	=	r1		(cos('1	¡ '2) + i sin('1	¡ '2)):
r2(cos '2 + i sin '2)		r2

Целая степень комплексного числа вычисляется по формуле

(jzj(cos arg z + i sin arg z))n = jzjn (cos(n arg z) + i sin(n arg z)) :

Представим числитель и знаменатель в тригонометрической форме:

¡1 + i = p2 µcos 34¼ + i sin 34¼¶;

p

¡1 ¡ i 3 = 2 (cos(4¼=3) + i sin(4¼=3)) :

В результате получаем

1 ¡ ip

12

p

12

3

=

2

cos

3¼

4¼

+ i sin

3¼

4¼

=

Ã

¡

!

2

4

¡

3

4

¡

3

!

1 + i

Ã

µ

µ

¶

µ

¶¶

¡

=

Ã

p

cos

µ

7¼

+ i sin

µ

7¼

¶¶

!

12

=

22

¡12

¡12

µ

¶

= Ã

p

!

12

2

(cos(¡7¼) + i sin(¡7¼)) = ¡

1

:

2

64

pp

5.Вычислить 4 ¡1 ¡ i 3.

Решение. Корень n-ной степени из комплексного числа может быть

вычислен по формуле:			r	µcos ' +n2¼k		+ i sin ' +n2¼k¶;
n	r(cos ' + i sin ') = pn
p

k = 0; 1; 2; : : : ; n ¡ 1:

В нашем случае n = 4 и число под корнем в тригонометрической

форме записи имеет âèä:

p

¡1 ¡ i 3 = 2 (cos(¡2¼=3) + i sin(¡2¼=3)) :

Следовательно, справедливо равенство:
q4				= p4		µcos µ	¡2¼=3 + 2¼k	¶ + i sin	µ	¡2¼=3 + 2¼k	¶¶;
	¡1 ¡ ip
		3			2
							4			4
										k = 0; 1; 2; 3:

9

Выпишем все 4 значения корня:

µ¡24

3¶¶ =

z1

= p4 2

µcos

µ¡24

3¶ + i sin

¼=

¼=

= p4

(cos (¡¼=6) + i sin (¡¼=6)) ;

= p4 2

µcos

µ¡

2

z2

4

¶ + i sin µ¡2

4

¶¶ =

2¼=3 + 2¼

¼=3 + 2¼

= p4

(cos (¼=3) + i sin (¼=3)) ;

= p4 2

µcos

µ¡

2

z3

4

¶ + i sin µ¡2

4

¶¶ =

2¼=3 + 4¼

= p4

¼=3 + 4¼

(cos (5¼=6) + i sin (5¼=6)) ;

= p4 2

µcos

µ¡

2

z4

4

¶ + i sin µ¡2

4

¶¶ =

2¼=3 + 6¼

¼=3 + 6¼

p

= 4 2 (cos (4¼=3) + i sin (4¼=3)) :

6. Разложить на множители полином x4 + 1.

Решение. Полином может быть разложен на множители по формуле

a0xn + a1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ + an = a0(x ¡ x1)(x ¡ x2) ¢ ¢ ¢ (x ¡ xn);

ãäå x1; x2; : : : xn корни полинома с учетом кратности. Найдем корни полинома x4 + 1:

x1;2 = e§i¼=4, x3;4 = e§i3¼=4:

В итоге получим

x4 + 1 = (x ¡ ei¼=4)(x ¡ e¡i¼=4)(x ¡ ei3¼=4)(x ¡ e¡i3¼=4):

7. Вычислить sin i.

Решение. Синус и косинус комплексного числа определяются формулами

sin z =

eiz ¡ e¡iz

;

cos z =

eiz + e¡iz

:

2i

2

Подставляя z = i в формулу для синуса, получим

sin i =

ei¢i ¡ e¡i¢i

=

e¡1 ¡ e

= i

e ¡ e¡1

= ish1;

2i

2i

³

2

¡2

´.

8. Вычислить Ln(1 ¡ ip3).

ãäå sh1 гиперболический синус единицы

shx =

ex

e¡x

10

Решение. Логарифм комплексного числа может быть вычислен по формуле Lnz = ln jzj + i arg z + i2¼k, ãäå k 2 Z. Поскольку модуль j1 ¡ ip3j = 2, а аргумент arg (1 ¡ ip3) = ¡¼=3, получаем

p

Ln(1 ¡ i 3) = ln 2 ¡ i¼=3 + i2¼k; k 2 Z:

III.Пределы.

1.Выписать первые 4 члена последîвательности, если ее общий член задан следующей формулой: xn = n1 .

Решение. Подставляя в общую формулу n = 1; 2; 3; 4, получим

x1 = 1, x2 =

21, x3 = 31, x4 =

41.

2. Выписать первые 4 члена последовательности, если ее общий член

задан следующей формулой: yn

=

kn=1 (¡2)k.

Решение. Полагая в общей формуле

, получим

y1 =

1

(

2)

k

= (

¡

2)

1

=

¡

2;

P n = 1; 2; 3; 4

k=1

k

2

(

¡

= 2;

y2 = Pk=1

2)

k

= 2 + ( 2)2

3

(

¡

¡

¡

+ (

2)3

=

6;

y3 = Pk=1

2)

k

= 2 + ( 2)2

¡

¡

P

4

¡

¡

¡

n

n, ò.å.,

(¡2)

= ¡2 + (¡2)2

+ (¡2)3

y4 = Pk=1

+ (¡2)4 = 10.

Заметим, что для этой последовательности каждый следующий

член отличается от предыдущего на (¡2) : yn = yn¡1

+ (¡2)

начиная со второго члена последовательности, можно вычислять

òàê: y2 = y1 + (¡2)2 = ¡2 + 4 = 2; y3 = y2 + (¡2)3 = 2 ¡ 8 = ¡6;

y4 = y3 + (¡2)4 = ¡6 + 16 = 10 è ò.ä.

3. Выписать первые 4 члена последовательности, если ее общий член задан следующей формулой: zn = 3.

Решение. То, что в формуле для общего члена не содержится n, означает, что члены последовательности от номера n не зависят, т.е.

эта последовательность является постоянной, или тождественной:

z1 = 3, z2 = 3, z3 = 3, z4 = 3.

4. Сформулировать определение понятия "предел последовательности an равен плюс бесконечности"(lim an = +1).

Решение. Предел последовательности an равен плюс бесконечности означает, что для любого положительного числа M найдется такой

номер N, начиная с которого, все члены последовательности будут

больше числа M: an > M ïðè n ¸ N.

5. Сформулировать определение понятия "предел последовательности an равен минус бесконечности"(lim an = ¡1).

Решение. Предел последовательности an равен минус бесконеч- ности означает, что для любого отрицательного числа M найдется