Гришин Зачет по математическому анализу.1семестр 2009

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

С.А. Гришин, С.В. Мустяца, М.А. Петрова, Е.Х. Садекова

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Москва 2009

УДК 517.1(075) БДК 22.161я7 З-39

Гришин С.А., Мустяца С.В., Петрова М.А., Садекова Е.Х. Зачет по математическому анализу. 1 семестр. —

М.: МИФИ, 2009.— 36 с.

В настоящем издании приведены варианты зачетных заданий для студентов, обучающихся математическому анализу в первом семестре на всех факультетах МИФИ.

Эти задания могут быть использованы преподавателями для приема зачетов по дисциплине «Математический анализ», проведения межсеместрового контроля успеваемости студентов, контрольных работ; а также студентами для подготовки к сдаче зачетов по данному предмету.

Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ.

©Московский инженерно-физический институт (государственный университет), 2009.

	СОДЕРЖАНИЕ
1.	Зачет по математическому анализу. 1семестр........................................	................................................................... 4
2.	Список рекомендуемой литературы..........................................................................................................................	34

3

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Сформулировать понятие: lim an

= A

Вариант 1

1.

n→∞

5n+2

1

2.

Теоретический вопрос. Доказать, что последовательность an = (1+(−1)

) n +

не ограничена.

Вычислить пределы:

n

3.

lim

3n2 +

n +1

; 4. lim

sinπx

; 5. lim ln(1 + 2x) − x ; 6.

lim

x −sin x

; 7. lim(cos x)cos ec2 x .

n +1)

n3 + n +1

x2 + x −6

n→∞ (

x→2

x→0

arctg3x

x→0 arcsin3 2x

x→0

8.

Найти производную функции в произвольной допустимой точке x. В ответ записать его значение в точке x0 :

y = sin x sin 2x sin 3x , x = π .

0

2

9.

Вычислить эластичность функции

f (x) = xx 2 в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

x

= exy неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке (x,y).

y

11. Найти радиус кривизны кривой y = xln2 x в точке x

=1.

0

1

12.Провести исследование функции и построить график: y = xex .

13.Диагональ прямоугольника равна l . Какое наибольшее значение может принимать его площадь?

4

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 2

1. Сформулировать понятие: lim an = ∞

n→∞

2. Теоретический вопрос. Доказать, что последовательность a

=

2n + n2

ограничена.

n

3n2

+ n +1

Вычислить пределы:

n

2

+3n +1 +3n

sin x −sin 2x

log2 (2x) −1

tgx − x

1

3. lim

;4. lim

; 5. lim

; 6. lim

; 7. lim

(tgx)

ln(1+2 x

−π / 2)

.

n→∞

n +ln n

x→0 1 + 4x −1

x→1 sinπx

x→0 sin3 2x

x→π / 4

8. Найти производную функции в произвольной допустимой точке x . В ответ записать его значение в точке x0 :

	y = sin x cos 2x		, x = π .
		sin 3x	0	4
	9. Вычислить эластичность функции f (x) =					x +1	в произвольной точке.
						x2
	10.	Функция y = y(x) задана соотношением			xy = ex		y	неявно. Найти ее дифференциал в допустимой точке ( x,y).
	11.	Найти радиус кривизны кривой y = xex			в точке x			= 0 .
							0

1

12.Провести исследование функции и построить график: y = xex 2 .

13.Площадь прямоугольника равна s . Какое наименьшее значение может принимать длина его диагонали?

5

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Сформулировать понятие: lim an

= −∞.

Вариант 3

1.

n→∞

2.

Теоретический вопрос.

Доказать, что последовательность a = n(1+(−1)n )

не ограничена, но содержит ограни-

ченную подпоследовательность.

n

Вычислить пределы:

3n2 +sin n

sin 5x −sin 3x

1 −cos 2x

x −sin x cos x

cos ecπx

3. lim

; 4. lim

ln(π x)

; 5.

lim

;6. lim

;7. lim(4x −3)

.

x arcsin x

tg3 x

n→∞ (n −3)(2n +5)

x→π

x→0

x→0

x→1

8.

Найти производную функции

y =

3x ln(1 + 2x

2 )

в произвольной допустимой точке x. В ответ записать ее

1 + x2

значение в точке x0

= 0 .

f (x) = sin 2x

9.

Вычислить эластичность функции

в произвольной точке.

x2

10.Функция y = y(x) задана соотношением x +sin y = ex неявно. Найти ее дифференциал в точке (x,y).

11.Найти радиус кривизны кривой y = x2 sin x в точке x0 =π .

12.Провести исследование функции и построить график: y = x sin(1 x).

13.Сторона треугольника равна a , радиус круга, описанного около треугольника, равен R (2R >a) . Какое наибольшее значение может принимать его площадь?

6

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 4

1.

Сформулировать понятие:

a = A .

lim

n→∞

n

2n +3

2.

Теоретический вопрос. Доказать, что последовательность an =

монотонно убывает и

n −1

ограничена сверху.

Вычислить пределы:

3.

lim

(5n +3)(n +

n)

; 4.

lim

tg3x

;5.

lim cosπx +1

; 6. lim

x +tg2x

; 7.

lim(2x −1)ctgπx .

arctg((π − x)

2)

n→∞ 3n2 + n2 + n +1

x→π

x→1 sin2 πx

x→0 sin 5x

x→1

8.

Найти производную функции y = arctg(1 x) sin πx

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее

значение в точке x0

=1.

log2 (1+

x )

9. Вычислить эластичность функции f (x) = ex в произвольной точке.

x

10.Функция y = y(x) задана соотношением xey − yex = 0 неявно. Найти ее дифференциал в точке (x,y).

11.Найти радиус кривизны кривой y = (x +1)x3 в точке x0 =1.

12.Провести исследование функции и построить график: y = x ln(1 x).

13.Сторона треугольника равна a , угол, противолежащий этой стороне, равен α. Какое наибольшее значение может принимать периметр треугольника?

7

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 5

1. Сформулировать понятие: lim an = A . 2. Теоретический вопрос. Доказать, что последовательность

n→∞

an = (n2 n +1) монотонно возрастает и не ограничена.

Вычислить пределы:

3.

lim

2n2 +sin n2

; 4. lim

sin x +sin 5x

;5. lim ln(1 +sin 2x) ;6.

lim

x2 −sin2 x

;7.

lim (cos 2πx)1+ctg 2πx .

n→∞ 9n4 + n +1

x→0 tg3x 4 + 2x

x→2π

tg5x

x→0 1 + 2x4 −1

x→−1

8.

Найти производную функции y =

arctgx2

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее

log3

(4 + x3 )

значение в точке x0 = −1.

9.

Вычислить эластичность функции

f (x) = 2x sin 2x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

xsin y − y cos x = 0 неявно. Найти ее дифференциал в допустимой

точке (x,y).

11.Найти радиус кривизны кривой y = x2 ln x в точке x0 = e .

12.Провести исследование функции и построить график: y = (1 x) ln x .

13.Стороны треугольника равны a и b соответственно. Какое наименьшее значение может принимать радиус описанного около треугольника круга?

8

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 6

1. Сформулировать понятие: lim an = +∞. 2. Теоретический вопрос. Найти для последовательности

n→∞

an = 2n +3 n

величину inf an .

Вычислить пределы:

arctgn + n

sin x sin 4x

arctg 2 x

ln x

2

cos ecπx

3.

lim

; 4.

lim

(ex / π −e)2

; 5. lim

; 6. lim

; 7. lim(x

−3)

.

tg2 2x

x −tg(πx 4)

n→∞ 2n + n +1

x→π

x→0

x→1

x→2

8.

Найти производную функции y =

cos(πx 2) arcctg(1

x2 )

в произвольной допустимой точке x . В ответ

8x

+1

записать ее значение в точке x0 =1.

9.

Вычислить эластичность функции f (x) = ex sin 3x в произвольной точке.

10. Функция y = y(x) задана соотношением

x2 sin x − y2 cos y = 0 неявно. Найти ее дифференциал в

допусти-

мой точке (x,y).

11.Найти радиус кривизны кривой y = x2e−x в точке x0 = 0 .

12.Провести исследование функции и построить график: y = (1 x) sin x .

13.Сумма двух положительных чисел равна a . Какое наименьшее значение может принимать сумма их квадратов?

9

Зачет по математическому анализу. 1 семестр

Вариант 7

1. Сформулировать понятие: lim an = −∞. 2. Теоретический вопрос. Найдите для последовательности

n→∞

a

n

= 2 − 2n

величину sup a .

n

n

Вычислить пределы:

πx

2(−1)n +3n

tg(2πx)

2sin x −2

3x −sin 2x

π sec

3. lim

; 5. lim

4

; 4.

lim

;6. lim

x2 + x

; 7. lim sin

. 8.

sin(5πx) −sin(2πx)

n→∞ n +(−1)n

x→1

x→π

/ 2 cos x cos3x

x→0

x→2

x

arcsin( 3 x)

Найти производную функции y = log3 4arctg(x 2)

в произвольной допустимой точке x . В ответ записать ее

значение в точке x0 = 2 .

9. Вычислить эластичность функции f (x) = x2 x + 2 в произвольной точке.

10.Функция y = y(x) задана соотношением sin

xy − y = 0 . Найти ее дифференциал в точке (x,y).

11. Найти радиус кривизны кривой y = (x +1)ex−1 в точке x =1.

0

1

12.Провести исследование функции и построить график: y = x e x3 .

13.Сумма двух неотрицательных чисел равна a. Какое наибольшее значение может принимать сумма их квадратов?

10