Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Сандаков Начала тензорного исчисления Методические рекомендации 2009

.pdf
Скачиваний:
86
Добавлен:
17.08.2013
Размер:
1.91 Mб
Скачать

Е.Б. Сандаков, С.Г. Селиванова

НАЧАЛА ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Методические рекомендации

Москва 2009

0

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-ФИЗИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Е.Б. Сандаков, С.Г. Селиванова

НАЧАЛА ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Методические рекомендации

Москва 2009

1

УДК 514.743(07) ББК 22.151.5я7 С 18

Сандаков Е.Б., Селиванова С.Г. Начала тензорного исчисле-

ния: методические рекомендации. – М.: МИФИ, 2009. – 40 с.

Предназначены для студентов МИФИ второго курса всех специальностей, изучающих курс векторного анализа и тензорного исчисления. Даны начальные сведения о тензорах с тем, чтобы студент мог, используя эти начальные сведения, приступить в случае необходимости к изучению более углубленной литературы о тензорах. Приведено большое число примеров, которые способствуют лучшему усвоению студентами данного материала.

Рецензент канд. физ.-мат. наук, доц. С.Г. Артышев

Рекомендовано к изданию редсоветом МИФИ

ISBN 978-5-7262-1136-7

© Московский инженерно-физический институт

 

(государственный университет), 2009

2

 

Оглавление

 

Вводная часть ...................................................................................

4

Глава I. Примеры тензоров.............................................................

5

§ 1.

Линейная функция .................................................................

5

§ 2.

Вектор ....................................................................................

6

§ 3.

Билинейная форма .................................................................

8

§ 4.

Линейное преобразование .....................................................

8

Глава II. Определение и простейшие свойства тензора ..............

9

§ 5.

Аффинный ортогональный тензор ......................................

10

§ 6.

Тензор как линейный оператор ...........................................

11

§ 7.

Действия над тензорами ......................................................

11

§ 8.

Разложение тензора 2-го ранга на симметричный

 

 

и антисимметричный ...........................................................

16

§ 9.

Дифференцирование тензора по скалярному

 

 

аргументу .............................................................................

22

§ 10.

Дифференцирование тензора по координатам ...................

25

§ 11.

Приведение симметричного тензора 2-го ранга

 

 

к главным осям ....................................................................

26

Глава III. Поле тензора..................................................................

28

§ 12.

Дивергенция тензора ...........................................................

28

§ 13.

Формула Гаусса – Остроградского для поля тензора .........

29

§ 14.

Правила применение тензорной символики

 

 

в векторных операциях........................................................

32

Рекомендуемая литература...........................................................

38

3

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

В естествознании и технике приходится иметь дело с физическими величинами различной математической природы. Это различие проявляется, например, в характере их аналитического выражения и в законах преобразования их аналитического выражения при переходе от одной системы координат к другой. Простейшими с точки зрения математической природы физическими величинами являются скалярные величины, например масса тела, объем тела, длина вектора и т.д., инвариантные относительно преобразования координат. Каждая скалярная величина в любой системе координат выражается одним числом, которое не зависит от выбора системы координат.

Следующим по сложности математической природы являются векторные величины, например скорость, ускорение, сила и т.п. Векторная величина в 3-мерном пространстве в каждом базисе определяется тройкой чисел – тройкой проекций вектора на оси координат, т.е. тройкой координат вектора в данном базисе, причем эти координаты при переходе от одного базиса к другому преобразуются по определенному закону.

Следующими после векторов по сложности математической природы являются физические величины, называемые тензорами. Они играют роль линейных операторов над векторами. Такими величинами описывается, например, проводимость в анизотропном

теле. В изотропном теле вектор плотности тока j и вектор напряженности электрического поля E коллинеарны, т.е.

j

E ,

(1)

где – скалярный множитель (

> 0)

– проводимость.

В анизотропном теле j и E , вообще говоря, не коллинеарны, и множитель является линейным оператором, преобразующим вектор E в вектор j .

Этот оператор называется тензором проводимости.

Если выбрать в пространстве какой-нибудь базис e1 , e2 , e3 и разложить по этому базису векторы j и E :

4

j j1e1 j2e2 j3e3 jk ek ,

E E1e1 E2e2 E3e3 Ek ek ,

(номера координат вектора условимся писать сверху), то равенство

(1) можно заменить эквивалентной системой трех скалярных равенств

jk ik Ei , k 1, 2, 3.

Таким образом, тензор проводимости в каждом базисе определяет-

ся девятью числами

k (i, k 1, 2, 3), которые называются коор-

 

 

i

 

динатами тензора в данном базисе.

 

 

 

n

 

Замечание.

В тензорной алгебре вместо jk

k Ei принято

 

 

 

i

 

 

i 1

 

писать jk

ik Ei , при этом подразумевается, что

по повторяю-

щемуся индексу происходит суммирование в соответствии с размерностью пространства. Такой индекс называют немым, он может быть обозначен любой буквой:

i k Ei

ml Em .

Глава I. ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРОВ

§ 1. Линейная функция

Пример 1. Пусть f x – линейная форма в n-мерном евклидо-

вом пространстве L.

Выберем в L ортонормированный базис e .

Пусть

x

x1e1

x2e2

 

 

xnen

xiei

– произвольный вектор из L,

тогда

f

x

a x1

a

n

xn

a xi ,

где

a f

e

. Перейдем к но-

 

 

 

1

 

 

i

 

 

i

i

 

вому ортонормированному базису

e

. Пусть

 

 

 

 

 

 

ci1e1

 

 

cinen

 

n

cik ek

cik ek .

 

 

 

ei

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

1

 

 

5

В матрице перехода

 

c1

c1

c1

 

1

2

n

 

c2

c2

c2

C

1

2

n

 

 

 

 

cn

cn

cn

 

1

2

n

(условимся верхним индексом обозначать номер строки, нижним – номер столбца).

При переходе к новой системе координат

 

 

 

 

c1

c1

 

c1

 

 

 

 

 

1

2

 

n

 

 

 

 

c2

c2

 

c2

 

e

e

e

n

1

2

 

n ,

 

i

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cn

cn

 

cn

 

 

 

 

 

1

2

 

n

 

заметим, что ei

e1e2

en .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

Пусть в новом базисе x

 

' xi e

' xi e

, тогда f x

a xi , где

 

 

 

 

i

 

i

 

i

 

 

 

i

1

 

 

 

 

 

a

f e

 

f ck e

ck a .

(2)

 

i

i

i

k

 

i k

 

Таким образом, линейная функция в каждом базисе определяется строчкой из n чисел a1, a2 , ..., an , зависящих от одного (нижне-

го) индекса, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по формулам (2), т.е. так же, как базисные векторы (ковариантно).

§ 2. Вектор

Пример 2. В заданном базисе каждый вектор определяется стро-

кой из n чисел – его координат: (x1, x2 ,..., xn ) . В новом ОНБ e тот же вектор представляется другой строкой ( x1 , x2 , ..., xn ),

причем если C – матрица перехода от e к e , то

xk

 

C k

' x j .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

 

Действительно,

e

j

 

С k e

(как нетрудно заметить, Сk

 

 

(e

j

,

e )) .

 

 

 

 

 

j k

 

j

 

 

 

 

k

Так как xk e

 

' x j e

j

, то,

используя выражение для

e

j

,

получим

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk e

' x jCk e

. Из этого равенства в силу единственности разло-

k

j k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

жения по базису имеем

6

xk ' x jCk ,

(3)

j

 

что и требовалось доказать.

Так выражаются старые координаты через новые. Теперь выра-

зим новые координаты через старые

xi .

Пусть обратная матрица

C 1

bi .

Так

 

как

 

C C 1

C 1

C

E ,

то

Ci bk

bi

Ck

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k j

k

j

1,i

j

i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,i

j

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, Ci bk

bi Ck

i .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

j

k

j

j

 

 

 

 

 

 

 

Умножив

(3)

 

на

 

bi

и

просуммировав

по

k,

получим

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk bi

' x jC k bi

i

x j ,

откуда следует

 

 

 

 

 

 

 

k

j

k

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

' xi

bi xk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

Вывод. Новые координаты xi вектора

x

получаются из старых

его координат xi

с помощью матрицы С 1,

обратной к С, коэффи-

циенты разложения

xi

 

по xi

образуют строки матрицы С 1.

 

В двух рассмотренных примерах есть нечто общее, позволяющее заключить их в рамки общего определения. И линейная функция, и вектор в каждом базисе определяются n числами, соответственно, a1, a2 , ..., an и x1, x2 , ..., xn , причем при переходе к новому

базису эти числа преобразуются линейно с помощью матрицы C, т.е. так же, как базисные векторы в случае линейной функции и с

матрицей C 1 в случае вектора. Коэффициенты линейной функции (так же, как координаты вектора) представляют собой пример тензора, если назвать тензором заданную в каждом базисе упорядоченную систему чисел, линейно преобразующихся при переходе от одного базиса к другому по определенному закону.

Оба рассмотренных тензора называются одновалентными, так как определяются системами чисел a1, a2 , ..., an или x1, x2 , ..., xn ,

зависящих от одного индекса.

Коэффициенты линейной функции при переходе к новому базису преобразуются так же, как базисные векторы, в этом случае говорят, что они образуют ковариантный, т.е. “сопреобразующийся” тензор, преобразующийся одинаково с базисными векторами.

7

Координаты вектора – пример контравариантного тензора, т.е. противопреобразующегося.

§ 3. Билинейная форма

Пусть в n-мерном вещественном евклидовом пространстве R за-

дана

инвариантная

билинейная

 

форма

A x, y .

Тогда,

если

x xie

i

,

y yk e R , то A x, y A xie , yk e

xi yk A e , e

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

k

 

 

 

i

k

a

xi yk ,

где a

 

A e , e

 

.

В заданном базисе

e

билинейная

ik

 

 

 

ik

 

i

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

функция

A x, y

представляется билинейной формой

a xi yk от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

координат векторов x и y

с коэффициентами aik .

 

 

 

 

 

Перейдем к новому базису

е

 

 

с матрицей перехода C.

Если

x xie

,

y yk e

,

то A x, y A ' xie ,' yk e

' xi ' yk A e ,e

 

 

i

 

k

 

 

 

 

 

 

 

i

 

k

 

 

 

i

k

a

' xi

' yk , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

A e ,e

 

A c j e

j

,che

 

c jch A e

j

,e

c jcha

jh

.

(4)

 

 

 

ik

i k

i

 

k h

 

 

i k

h

i k

 

 

Таким образом, билинейная форма A x, y

в каждом базисе оп-

ределяется системой из n2

 

чисел

a

 

, зависящих от двух индексов,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ih

 

 

 

 

 

 

 

 

причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по закону (4), т.е. по каждому индексу так же, как базисные векторы. Это пример двухвалентного тензора, зависящего от двух индексов, ковариантного по обоим индексам (дважды ковариантного).

§ 4. Линейное преобразование

Каждое линейное преобразование A в n-мерном линейном веще-

ственном пространстве R в заданном базисе

e

представляется

матрицей A

aki . При переходе к новому базису e с матрицей

перехода C матрица A преобразуется в C 1 AC .

Как выражаются

элементы ai

матрицы C 1AC через элементы

ai

матрицы A?

k

 

k

 

В матрице AC элемент p-го столбца и k-й строки равен a jp ckj ; в

матрице C 1AC элемент i-й строки и k-го столбца равен bip a jpckj , т.е.

8

' ai

bi a p c j

c j bi

a p .

(5)

k

p

j k

k

p

j

 

Таким образом, линейное преобразование

А в каждом базисе

определяется системой из n 2

чисел

ai

, занумерованных двумя

 

 

 

 

k

 

 

индексами, нижним и верхним, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по закону (5) – по нижнему индексу так же, как базисные векторы, а по верхнему – с обратной матрицей, контравариантно базисным векторам. Это – пример тензора валентности, равной двум (зависящего от двух индексов, один раз ковариантного и один раз контравариантного). Это – смешанный двухвалентный тензор. Рассмотрим смешанный двухвалентный тензор, координаты которого в некотором фиксированном базисе

e определяются равенством

 

 

ij

1,i

j;

 

 

 

 

0,i

j.

 

 

 

 

 

 

 

В новом базисе e

 

 

 

 

 

 

'

i

c pbi q

c pbi

 

i .

 

j

j q p

j p

 

j

Таким образом, координаты тензора

i

одинаковы во всех сис-

 

 

 

 

 

j

 

темах координат. Это объясняется тем, что в первоначальном базисе e элементы ij составляют единичную матрицу, следователь-

но, соответствующий тензор определяет тождественное преобразование, матрица которого одна и та же во всех базисах.

Глава II. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ТЕНЗОРА

Пусть в каждом базисе в n-мерном линейном вещественном

пространстве L задана система из n p q чисел ai1...iq

(индексы

k ...k

p

1

i1, …, iq , k1, …, k p независимо друг от друга пробегают значения

1, 2, …, n). Если при переходе к новому базису с матрицей перехода C эти числа преобразуются по закону

i1...iq

 

j

j

c

jp

i

iq

a

h1...hq

,

(6)

'a

 

c 1c

2

 

 

b 1

b

j ... j

 

k ...k

p

k

k

2

k

p

h

h

 

p

 

 

1

1

 

 

 

1

q

 

1

 

 

9

Соседние файлы в предмете Интегрированные системы управления и проектирования