Выбор метода решения задачи

Задача «Моделирование системы корпоративного обслуживания клиентов коммерческого банка» относится к задачам дискретно-событийного моделирования систем массового обслуживания и решается с помощью методов теории вероятности. Они основаны на составлении и решении дифференциальных уравнений для вероятностей состояний, которые можно составить при некоторых допущениях относительно исследуемой системы.

Поток входящих заявок является пуассоновским, а время обслуживания подчиняется показательному закону распределения, то есть прибор обслуживания тоже является пуассоновским. Поэтому вероятность поступления в промежуток времени (t) точно - заявок задается формулой Пуассона:

(3)

где:

> 0 – интенсивность потока (среднее число заявок в единицу времени). А плотность вероятностей интервала времени между заявками для пуассоновского потока распределена по экспоненциальному закону:

(4)

где:

- интенсивность входного потока, t > 0 . Плотность вероятностей интервалов времени обслуживания заявки для пуассоновского прибора обслуживания также распределена по экспоненциальному закону:

(5)

где:

 - интенсивность обслуживания. Система массового обслуживания с пуассоновскими потоками на входе и пуассоновскими приборами обслуживания называется марковской системой, так как процессы переходов, происходящие в ней, образуют марковскую цепь.

2.2.3. Построение математической модели

Последовательность анализа марковской СМО не зависит от конкретного типа СМО и состоит из следующих этапов:

1. Конструируется пространство состояний СМО;

2. Определяются вероятности переходов из состояния в состояние за некоторое достаточно малое время t;

3. Составляются уравнения полных вероятностей пребывания системы в состояниях i в момент t + t;

4. Выводятся дифференциальные уравнения для вероятностей пребывания системы в состоянии i;

5. Система дифференциальных уравнений решается для установившегося режима, при котором производные вероятностей обращаются в нуль;

6. Рассчитанные значения установившихся вероятностей определяют искомые показатели качества системы.

Рассмотрим многоканальную СМО с конечной очередью (рис. 9). Система имеет каналов имест в очереди. Интенсивность входящего потока заявок -, интенсивность обслуживания -. Дисциплина обслуживания - заявки поступают на обслуживание в порядке их поступления в систему. Если заявка приходит в момент, когда заняты всемест в очереди, то она получает отказ и покидает систему.

Рис. 9 Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием.

Поток входящих заявок - пуассоновский, закон распределения длительности обслуживания - показательный. Система может находится в следующих состояниях:

«нет очереди»:

—все каналы свободны;

—занят один канал, остальные свободны;

—занятыканалов, остальные нет;

—заняты всеканалов, свободных нет;

«есть очередь»:

—заняты все n каналов; одна заявка стоит в очереди;

—заняты все n каналов, r заявок в очереди;

—заняты все n каналов, r заявок в очереди.

Определим установившиеся вероятности состояний процесса функционирования марковской СМО. Обозначим через - вероятность того, что в моментt система находится в - состоянии. Придадимt малое приращение t и найдем вероятность того события, что в момент t +t система будет находится в - состоянии. Это событие, при достаточно малыхt может реализоваться следующими тремя вариантами:

1. в момент t система была в (-1) состоянии и за время t перешла из него в - состояние:

(6)

где:

приближенно равна условной вероятности перехода из (-1) в- состояние за время t;

2. в момент t система была в (+1) состоянии и за время t перешла из него в - состояние, аналогично:

(7)

3. в момент t система была в - состоянии и за время t не перешла из него ни в (+1)-ое ни в (-1)-ое состояния.

Вероятность того, что за время t не осуществится ни один из этих переходов, равна и, поэтому вероятность этого варианта:

(8)

Применяя правило сложения вероятностей получим:

(9)

После раскрытия скобок и переноса в левую часть получим:

(10)

Переходя к пределу, получим дифференциальное уравнение для вероятности состояния :

(11)

Рассчитанные значения установившихся вероятностей определяют искомые показатели качества системы. Обозначив , где ρ – коэффициент загрузки, запишем выражения для предельных вероятностей состояний:

(12)

Здесь используется выражение для суммы геометрической прогрессии со знаменателем. Таким образом, все вероятности состояний найдены. Определим характеристики эффективности системы.

1. Вероятность отказа. Поступившая заявка получает отказ, если заняты n каналов и m мест в очереди:

(13)

2. Относительная пропускная способность:

=1 - (14)

3. Абсолютная пропускная способность:

(15)

4. Среднее число занятых каналов.

Каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок в единицу времени. Вся СМО обслуживает в единицу времени A заявок, поэтому среднее число занятых каналов определится так:

(16)

5. Среднее число заявок в очереди можно вычислить как математическое ожидание дискретной случайной величины:

(17)

6. Среднее число заявок в системе:

(18)

7. Среднее время ожидания заявки в очереди:

(19)

8. Среднее время пребывания заявки в системе:

(20)

Таким образом, определив вероятности всех состояний СМО можно определить наиболее важные характеристики эффективности функционирования системы.