А.В. Бирюков Дифференциальная геометрия

1

1. Кривые на плоскости

Рассмотрим кривую линию на плоскости с декартовой системой координат (x;y). При движении точки A(x;y) по кривой её положение зависит от некоторого параметра u (пройденного пути, времени и т.д.). В этом случае декартовы координаты точки являются функциями этого параметра x = x(u), у = y(u), которые называются параметрическими

уравнениями кривой.

Исключая из этих уравнений параметр, получим явное уравнение кривой: y = y(x), где роль параметра играет x.

Если начало координат соединить с точкой A вектором r (радиу- сом-вектором точки), то получим векторную функцию скалярного ар-

гумента u: r = r (u), которую называют векторным уравнением кривой.

Производная от r есть вектор

ddur = dudx i + dudy j ,

направленный по касательной к кривой в данной точке.

Пусть ϕ - угол между касательной и координатной осью X. Тогда тангенс этого угла равен значению производной от x по y в точке касания.

Поскольку

dydx = xy′′dudu = xy′′,

то угол ϕ равен

ϕ= arct( xy′′).

Сравномерным движением точки по кривой касательная в этой точке совершает вращательное движение со скоростью

3

правленным в сторону вогнутости кривой. Точка на нормали в направленииn , отстоящая от точки касания на расстоянии:

R = K1 ,

называется центром кривизны, а окружность радиусом R называется соприкасающейся окружностью.

При движении точки по кривой центр кривизны описывает кривую, называемую эволютой. Сама кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.

Примеры:

1. Найти кривизну окружности x = a cost, y = a sin t в произвольной

точке A(x,y). Подставляя в соответствующую формулу значения про-

изводных

x′ = −a sin t, x′′= −a cost, y′ = a cos t, y′′ = −a cost,

получим

K = 1a ,

т.е. кривизна окружности во всех ее точках постоянна и равна величине, обратной радиусу окружности.

этой точке равна 2/5√5 а радиус кривизны R = 5 5 / 2. Поскольку уг-

4

ловой коэффициент касательной в точке (1,1) равен 2, то уравнение нормали имеет вид: y=-x/2+3/2. С другой стороны, (x-1)2+(y-1)2=125/4.

Решая систему уравнений, получим координаты центра кривизны x≈-3,7; y≈3,4.

2. Кривые в трехмерном пространстве

Кривая линия в пространстве с декартовой системой координат (x,y,z) может быть задана либо параметрическими уравнениями

x = x(u), y = y(u), z = z(u),

либо векторным уравнением

r = r(u),

где u – параметр, а r - радиус-вектор точки кривой.

Для пространственной кривой дифференциал длины дуги имеет

Если параметром кривой является длина дуги S, то производная от r по S равна единичному вектору касательной:

m = ddsr , m =1.

Плоскость, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной, называется нормальной плоскостью, а прямая, проходящая через точку касания и принадлежащая нормальной плоскости, называется нормалью к кривой. Очевидно, что в отличие от плоской кривой пространственная кривая имеет бесконечно много нормалей. Из них выделяют две: главную нормаль с направлением, определяемым произ-

водной от m по S, с единичным вектором n , и бинормаль с единичным вектором, равным векторному произведению m ×n .

Три взаимно перпендикулярных единичных вектора m, n, p образуют подвижную систему координат при движении точки по кривой.

кручение кривой в данной точке. Функции λ ( s ) и τ ( s ) полностью определяют пространственную кривую с точностью до перемещений.

Если кривизнаλ тождественно равна нулю, то кривая является прямой линией. Если же кручениеτ тождественно равно нулю, то кривая является плоской, то есть лежащей в одной плоскости.

Пример.

Имеется винтовая линия, заданная параметрическими уравнениями x = acost, y = a sin t, z = bt, где t –угол, описываемый подвижным ра-

диусом при движении точки по окружности x2 + y2 = a2 . Исходя из формул Френе, имеем

λ=a2 a+b2 ,τ =a2 b+b2 ,

откуда видно, что кривизна и кручение винтовой линии постоянны.

3. Поверхности в трехмерном пространстве

Параметрические уравнения поверхности в пространстве с декартовой системой координат (x,y,z) можно задать тремя функциями от двух переменных:

где u,v -параметры. x =x(u,v),y =y(u,v),z =z(u,v),

Векторное уравнение поверхности имеет вид r =r (u,v),

6

где r - радиус-вектор точки на поверхности.

Если переменные u, v сами являются функциями некоторого параметра t, то есть u = u(t), v = v(t), то векторное уравнение

r =r [ u(t), v(t),]

определяет кривую линию, лежащую на поверхности.

В частности, если фиксировать значение v = v0, то изменению u будет соответствовать линия на поверхности, называемая координатной u -линией. Если же u = u0, то получим аналогичную координатную v-линию. Семейство таких линий образует криволинейную систему координат на поверхности. При этом через каждую точку поверхности A(u,v) проходит ровно две координатных линии.

Касательные к координатным линиям в точке A направляют век-

торы

r1 = ∂∂ur , r2 = ∂∂vr ,

равные частным производным от r по параметрам.

Любая кривая линия, принадлежащая поверхности и проходящая через точку A, имеет касательную в этой точке, расположенную в

плоскости векторов r 1 и r 2 . Эта плоскость называется касательной плоскостью к поверхности в точке A. Прямая линия, проходящая через точку касания A и перпендикулярная касательной плоскости, называется нормалью к плоскости в точке A. Единичный вектор нормали равен

n = ,

d r = r1 du + r2 dv ,

7

при этом d r = dS , где S - длина дуги кривой.

Обозначим скалярные произведения векторов r1 r1 , r1 r2 , r 2 r2 соответственно через E(u,v),F(u,v),G(u,v), т.е.

E(u,v) = ∂x 2 + ∂y 2 + ∂z 2;∂u ∂u ∂u

F(u,v) = ∂∂ux ∂∂vx +∂∂uy ∂∂vy +∂∂uz ∂∂vz ;

где символ ∂ обозначает частные производные. Поскольку скалярный

квадрат вектора d r равен квадрату его модуля, то

(dS)2 = E(du)2 +2Fdudv +G(dv)2.

Это основная квадратичная формула поверхности. Её коэффициенты E, F, G полностью определяют метрику на поверхности. Так, например, площадь некоторой области на поверхности с замкнутой границей равна двойному интегралу

∫∫ EG − F 2 dudv.

Плоскость, проходящая через нормаль к поверхности в точке A, пересекает поверхность по плоской кривой, называемой нормальным сечением поверхности. Вращая эту плоскость вокруг нормали, получим бесконечно много нормальных сечений с некоторыми значениями кри-

Если K1K2>0 в точке A, то эта точка называется эллиптической. Если в точке поверхности K1K2<0, то точка называется гиперболической.

8

Если же одна из главных кривизн равна нулю, то соответствующая точка называется параболической.

Например, все точки эллипсоида или, в частности, сферы являются эллиптическими, а все точки так называемой псевдосферы – гиперболическими. Если поверхность является линейчатой (однополостный гиперболоид вращения), то все её точки параболические.

Составитель Альберт Васильевич Бирюков

Дифференциальная геометрия

Методические указания к изучению соответствующего раздела программы курса математики для студентов всех направлений

ГУ Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография ГУ Кузбасский государственный технический университет. 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.