В.А. Гоголин Финансовая математика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Программа, методические указания и контрольная работа для студентов экономических специальностей заочной формы обучения

Составители В.А.Гоголин В.М.Волков Е.А.Волкова И.А.Ермакова

Утверждено на заседании кафедры Протокол № 1 от 30.08.2000 Рекомендовано к печати учебно-методической комиссией специальности 060400 Протокол №1 от 28.09.2000 Электронный вариант находится

в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2000

1

ВВЕДЕНИЕ

В курсе “Финансовая математика” рассматриваются методы количественного анализа финансовых операций, которые необходимо знать любому бухгалтеру, банковскому работнику и всякому человеку, посвятившему себя финансовой деятельности. Расчет и прогноз эффективности финансовых операций основаны на временной оценке денег и на достаточном объеме финансовой информации. В данной работе показаны методы расчета финансовых операций, что не должно умолять вторую сторону финансовой деятельности, связанную с получением необходимой информации. Программа курса состоит из следующих основных вопросов: начисление простых и сложных процентов, потоки платежей, анализ кредитных операций.

После изучения курса на лекциях и практических занятиях студент должен выполнить контрольную работу в соответствии с данными методическими указаниями. Данные для выполнения контрольной работы определяются преподавателем.

Контрольные задания, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.

Проверенные контрольные работы защищаются студентами на занятии, если работа не зачтена при проверке, она должна быть исправлена и снова сдана на проверку.

ПРОГРАММА

1. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ

1.1. Наращение простых процентов

1.2. Дисконтирование по простым процентам

1.3. Наращение сложных процентов

1.4. Дисконтирование по сложной ставке процента

1.5. Сравнение наращения и дисконтирования по простым и сложным процентам

1.6. Определение срока платежа и процентных ставок

2. ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ

2.1. Виды потоков платежей

2.2.Наращенная сумма годовой ренты

2.3.Современная стоимость денег

2.4.Определение параметров ренты

4.2.Доходность ссудных и учетных операций

4.3.Доходность потребительского кредита

4.4.Сравнение коммерческих контрактов

5. АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ

5.1. Основные понятия

5.2.Характеристики проекта с начальными инвестициями

5.3.Сравнение инвестиционных проектов

5.4.Аренда оборудования

6.ОЦЕНКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

6.1.Критерий Лапласа

6.2.Критерий Вальда

6.3.Критерий Гурвица

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

1. Процент – абсолютная величина дохода от предоставленных в долг денег.

2.Процентная ставка – отношение дохода к сумме долга за единицу времени.

3.Период начисления – интервал времени (год, месяц, день и т.п.), к которому приурочена процентная ставка.

4.Наращение – увеличение суммы денег за счет присоединения процентов.

5.Дисконтирование – определение суммы денег, относящейся к будущему, для более раннего момента времени.

6.Наращенная сумма – процент и основная сумма долга за рассматриваемый период времени.

7.Временная база – принимаемое число дней в году для расчета наращенной суммы.

8.Обыкновенные проценты – наращенная сумма, рассчитанная по временной базе 360 дней.

3

9. Точные проценты – наращенная сумма, рассчитанная по временной базе 365, 366 дней.

10. Ставка наращения – наращение на сумму долга.

11. Учетная ставка – скидка (дисконтирование) с конечной суммы задолженности.

12. Консолидация платежей – замена нескольких платежей одним. 13. Поток платежей – последовательность платежей по времени .

14. Рента (аннуитет) – поток равных, положительных платежей через равные периоды времени.

15. Ренты постнумерандо – платежи, производимые на конец периодов. 16. Ренты пренумерандо – платежи, производимые на начало периодов.

1. НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ

Денежные суммы изменяются во времени, если они используются как кредиты или вложения с целью положительного изменения финансового положения. При вложении денег предполагается получить в будущем большую сумму.

Если начальная сумма денег Р наращивается за единичный промежуток времени по ставке процента i, то наращенная сумма Si в конце 1-го периода при начислении простых процентов составит

S1 = Р +Рi = Р (1+i),

а в конце n-го периода

как n-й член арифметической прогрессии.

Разность между наращенной и начальной суммой Р n i называется процентными деньгами.

Пример 1. Р =1000; n = 3; i = 0,12. Тогда наращенная сумма S3 =

=1000 (1+3 0,12) = 1360, а процентные деньги 1000 3 0,12 = 360.

Таким образом, при наращении простых процентов происходит суммирование процентных денег.

Другой вид начисления процентов соответствует наращению суммы за последующий период по ставке i от наращенной суммы за

Пример 2. Начисление происходит по ставке сложных процентов:

4

Р =1000; n = 3; i = 0,12. Тогда наращенная сумма S3 = =1000 (1+0,12)3 ≈ 1405, а процентные деньги составят 405.

Замечания:

1) Наращенная сумма по ставке сложных процентов больше, чем по ставке простых процентов, когда временной промежуток больше 1- го периода (на практике обычно года).

2)Формулы (1,2) для наращения процентов могут применяться и для нецелых n. В этом случае на практике часто считается, что в году 360 дней, а в каждом месяце – 30.

3)Удвоение начальной суммы по небольшим ставкам сложных процентов происходит за 72/i лет, где i берется в процентах (правило 72). Так, при i = 12% удвоение начального капитала произойдет за n = =72/12 = 6 лет.

Процедуры дисконтирования и удержания процентов являются обратными к процессу начисления процентов. Задача состоит в том, чтобы по сумме S , отстоящей на n предшествующих периодов, определить ее современную стоимость Р, и имеет два подхода решения.

Впервом подходе эта задача решается с помощью формул (1,2), которые дают при дисконтировании по простым процентам:

Формулы (3,4) позволяют, в частности, выяснить, какую сумму Р сейчас нужно положить в банк, чтобы через n лет на счету была сумма

S.

При втором подходе используется понятие учетной ставки d, которая фиксирует уменьшение суммы S за один предшествующий период. Поэтому так же, как и для формул (1,2), с учетом уменьшения S получим при дисконтировании по простым процентам:

Формулы (5,6) используются при учете векселей.

Пример 3. Какую сумму нужно положить в банк сейчас, чтобы через 5 лет иметь 100 000 при сложной процентной ставке 15%?

Из (4) имеем

Р = 100 000 ⁄ (1+0,15)5 ≈ 100 000 ⁄ 2,01≈ 49751.

5

Пример 4. Какую сумму получит владелец векселя на 100 000 при его учете в банке на полгода раньше срока получения по нему денег при простой учетной ставке в банке 10%?

Из (5) имеем

Р = 100 000 (1– 0,5 0,1) = 95000.

Денежные суммы S1 в момент времени t и S2 в момент T

При t = 0 из (7) определяется современная величина суммы S2. Пример 5. Какая сумма предпочтительней при ставке 8%: 100000

сегодня или 200000 через 5 лет?

Из (7) находим современную величину 200000:

S1(0) = 200000 (1+0,08) –5 = 136117,

что больше 100000 сегодня.

Пусть при годовой ставке i начисляются сложные проценты i ⁄n за n периодов в год, например, кварталов. Полученная таким образом “новая” годовая ставка f называется эффективной, а “старая” i –

2. ПОТОК ПЛАТЕЖЕЙ

Поток платежей есть последовательность величин платежей Rk и моментов времени осуществления платежей tk. Поступление – платеж со знаком плюс, выплата – со знаком минус. Поток поступлений с равными промежутками называется рентой. Будем рассматривать потоки платежей с одинаковой величиной платежа R с постоянной ставкой i. Платежи, поступающие в конце временных промежутков называются постнумерандо, а в начале – пренумерандо.

Для платежей постнумерандо современная величина ренты за n

временных периодов определяется согласно (7) как

A = R (1+ i) –1 + R (1+ i) –2 + … + R (1+ i) –n =

= R[1 – (1+ i) –n] ⁄⁄i = R а(n, i) , (10)

где а(n, i) = [1 – (1+i)–n] ⁄⁄ i– коэффициент приведения ренты, который показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее платежа за период (год).

6

По современной величине ренты можно определить по (2)

где s(n, i) = [(1+i)n – 1] ⁄⁄ i – коэффициент наращения ренты, который показывает, во сколько раз наращенная величина ренты больше ее годового (за период) платежа.

Пример 6. Найти современную и наращенную величины годовой ренты постнумерандо с R = 1000, n = 5, i = 8%.

Из (10) имеем а(5, 8) = [1 – (1+ 0,08) –5] ⁄⁄ 0,08 = 3,993 и A = 3993. Из (11) находим s(5, 8) = [(1+0,08)5– 1] ⁄⁄0,08 = 5,867 и S = 5867.

Основными параметрами потока платежей являются величины R, n, i, A, S, из которых только 3 являются независимыми и определяют 2 оставшихся.

При заданных R, n, i величины A, S находятся по формулам (10,

и из (10) находим A.

Пример 7. Пусть R = 2000, i = 8%. Найти длительность ренты с современной величиной 4000.

По (12) вычисляем длительность ренты

n= – ln(1 – 4000 0,08 ⁄⁄2000) ⁄⁄ln(1+0,08) ≈ 5,

ипо (11) наращенную величину ренты

S = 4000 (1+0,08) 5 = 5876.

При большой продолжительности срока платежей, то есть при так называемой “вечной ренте”, современная величина ренты определяется по формуле

7

Пример 8. Долговременная аренда офиса составляет 10 000 в год. За какую цену следует выкупить офис при годовой процентной ставке

5%?

Стоимость офиса есть современная величина всех арендных платежей, т.е. A = 10 000⁄⁄0,05 = 200 000.

3. ДОХОДНОСТЬ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

Под финансовой операцией понимают инвестирование, затраты или использование наличного капитала. Денежная оценка операции в начале составляет величину H , а в конце – К. Расчетная доходность финансовой операции d определяется из выражения

учетом этого обстоятельства определяется эффективная доходность как

продолжительность операции t. Определим доходность как скорость роста вложенного капитала и выразим ее в величине годовых процентов i. Такая относительная к продолжительности операции доходность находится из соотношения: H (1+i)t = K и равна

Финансовые операции обычно состоят из нескольких более мелких операций как, например, приобретение акций, получение дивидендов и продажа акций. Получение дивидендов формирует текущую доходность. Полная же доходность подсчитывается после завершения операции. В рассматриваемом примере полная доходность есть сумма полученных дивидендов и стоимости проданных акций. Полная доходность может оцениваться количественно по одной из формул (17 – 20).

4.КРЕДИТНЫЕ ОПЕРАЦИИ

Вкредитной операции основными исходными параметрами

8

являются величина займа D, срок его погашения n и процент по кредиту (обычно годовой) i. Следует определить поток погашающих заем платежей y1, …, yn, устраивающий кредитора и заемщика.

При выполнении финансово-кредитных операций необходимо соблюдать баланс или эквивалентность во времени взятых в кредит и возвращаемых в платежах сумм. Такая эквивалентность, выраженная формулой (7), сравнивает эти суммы на один момент времени, чаще, их современные величины.

При погашении долга одним платежом в конце срока или досрочно на момент времени n величина платежа составит

выплаты, то есть поток платежей. В самом общем случае члены потока платежей также состоят из суммы, идущей на покрытие основного долга, и суммы, выплачиваемой в виде процентов на остаток всего долга, оставшегося от предыдущей выплаты

Так, при равных процентных выплатах до последнего платежа погашается наращенный долг y1 = … = yn–1 = D i, а последний платеж

yn= D+ D i.

При равных выплатах основного долга в каждом платеже из n

весь долг с процентами за n выплат, то с учетом равенства дисконтированной суммы всех выплат начальному долгу

Пример 9. Взят кредит 10 000 денежных единиц сроком на 4 года под 10% годовых. Как можно организовать поток платежей?

9

1) При погашении долга одним платежом y4 = 10 000 (1+0,1)4 = =14 641.

2) При равных процентных выплатах до последнего платежа y1 =

=y2 = y3 = 10 000 0,1=1 000; y4 = 10 000+1000 = 11 000. 3) При равных выплатах основного долга:

y1 = 10 000 ⁄ 4+10 000 0,1= 2 500 +1000 = 3 500; y2 = 10 000 ⁄ 4+(10 000 – 2 500) 0,1= 3250;

y3 = 10 000 ⁄ 4+(10 000 – 5 000) 0,1= 3000; y4 = 10 000 ⁄ 4+(10 000 – 7 500) 0,1= 2750. 4) При выплате одной и той же суммы

При замене одного займа другим следует определять параметры нового займа исходя из равенства современных величин потоков выплат по этим займам. При объединении займов в один сначала нужно найти современные величины остатков займов. Сумма этих величин дает современную величину займа-объединения. После этого можно подобрать параметры нового займа, удовлетворяющие кредитора и заемщика.

Пример 10. Имеем два займа: с выплатой 1200 через 3 месяца при 20% годовых и с выплатой 2500 через 6 месяцев при 10% годовых. Следует объединить займы в один и определить объем и соответствующий срок выплат, удовлетворяющих заемщика и кредитора.

Для объединения займов устанавливаем их современную

величину

А1 = 1200 ⁄(1+0,2)3/12 = 1147; А2 = 2500 ⁄(1+0,1)6/12 = 2384;

А = А1 + А2 = 3531.

Такую сумму следует выплатить сейчас для погашения обоих займов.

При погашении займов через месяц их современная величина

составит

А1 = 1200 ⁄(1+0,2)2/12 =1164; А2 = 2500 ⁄(1+0,1)5/12 = 2403.

Если объединенный заем будет выплачиваться через месяц, то сумма погашения составит 1164 +2403 = 3767 и т. д.