Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения

.pdf
Скачиваний:
20
Добавлен:
19.08.2013
Размер:
323.75 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

Программа, контрольные работы № 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса ( 3 семестр ) заочной формы обучения специальностей 060400, 060500, 060800

Составитель В.М.Волков

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 09. 04. 02 Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 060400 Протокол № 5 от 20. 05. 02

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2002

1

Контрольные работы № 5, 6 составлены в соответствии с программой курса высшей математики для студентов-заочников инженерноэкономических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В.М.Волков, Е.А.Волкова, О.С.Георгинская, В.А.Гоголин, И.А.Ермакова.

Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:

найти строку, соответствующую первой букве фамилии; найти столбец, соответствующий последней цифре шифра зачётной книжки;

на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольных работ № 5, 6.

Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.

ПРОГРАММА курса «Высшая математика» для инженерно-

экономических специальностей (2 курс, 3 семестр)

1.Неопределённый интеграл

1.1.Первообразная (неопределённый интеграл), её свойства. Таблица интегралов.

1.2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.

1.3.Использование таблиц (справочников) неопределённых интегралов.

2. Определённый интеграл

2.1.Задачи, приводящиеся к понятию определённого интеграла.

2.2.Определённый интеграл как предел интегральных сумм.

2.3.Основные свойства определённого интеграла.

2.4.Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

2.5.Приложение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объёмов тел вращения.

3. Криволинейные интегралы

3.1.Задачи, приводящиеся к криволинейным интегралам.

3.2.Определение криволинейных интегралов по длине дуги и по координатам, их основные свойства и вычисление.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выбор номеров задач контрольных работ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

2

 

 

3

 

 

4

 

 

5

 

 

 

 

7

 

 

8

 

9

 

 

 

 

 

 

 

7 37 74

 

 

 

 

 

А,В,

1 31 80

2 32 79

3 33 78

4 34 77

5 35 76

6 36 75

8 38 73

9

39

72

10 40 71

Д

110 130

100 150

101 131

120 130

91 141

110 140

111 121

100 150

101 131

120 130

 

 

 

 

 

 

 

17 47 64

 

 

 

Ё,Е,З

11 41 70

12 42 69

13 43 68

14 44 67

15 45 66

16 46 65

18 48 63

19 49 62

20 50 61

 

109 129

99 149

102 132

119 129

92 142

109 139

112 122

99 149

102 132

119 129

 

 

 

 

 

 

 

27 57 74

 

 

 

Г,Ж,

21 51 80

22 52 79

23 53 78

24 54 77

25 55 76

26 56 75

28 58 73

29 59 72

30 60 71

И,Л

108 128

98 148

103 133

118 128

93 143

108 138

113 123

98 148

103 133

118 128

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

54

84

 

 

 

 

 

 

 

К

1

60

90

2

59

69

3

58

88

4

57

87

5

56

86

6

55

85

8

53

83

9

52

82

10 51 81

 

107 127

97 147

104 134

117 127

94 144

107 137

114 124

97 147

104 144

117 127

 

 

 

 

 

 

 

17 43 66

 

 

 

М,Н,

11 49 70

12 48 61

13 47 62

14 46 63

15 45 64

16 44 65

18 50 67

19 42 68

20 41 69

О

106 126

96 146

105 135

116 126

95 135

106 136

115 125

96 146

105 136

116 126

 

 

 

 

 

 

 

27 37 76

 

 

 

П,Ы

21 31 80

22 32 71

23 33 72

24 34 73

25 35 74

26 36 75

28 38 77

29 39 78

30 40 79

 

105 125

95 145

106 136

115 125

96 146

105 135

116 126

95 145

106 136

115 125

 

 

 

 

 

 

 

7 54 86

 

 

 

 

 

С,У,

1 60 90

2 59 81

3 58 82

4 57 83

5 56 84

6 55 85

8 53 87

9

52

88

10 51 89

Б

104 124

94 144

107 137

114 124

97 147

104 134

117 127

94 144

107 137

114 124

 

 

 

 

 

 

 

17 44 66

 

 

 

Р,Т,

11 50 70

12 49 61

13 48 62

14 47 63

15 46 64

16 45 65

18 43 67

19 42 68

20 43 69

Ф

104 123

96 143

108 138

113 123

98 148

103 133

118 128

93 143

108 138

113 123

 

 

 

 

 

 

 

27 34 76

 

 

 

Х,Ц,

21 40 80

22 39 71

23 38 72

24 37 73

25 36 74

26 35 75

28 33 77

29 32 78

30 31 79

Ш

112 122

92 142

109 139

112 122

99 149

102 132

119 129

92 142

108 139

112 122

 

 

 

 

 

 

 

7 57 86

 

 

 

 

 

Ч,Щ,

1 51 90

2 52 82

3 53 81

4 54 83

5 55 65

6 55 84

8 58 87

9

59

88

10 60 89

Э,Ю,

101 121

91 141

110 140

111 121

100 150

101 131

120 130

91 141

110 140

111 121

Я

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

3.3.Приложение интегралов к вычислению масс неоднородных линий и работы переменной силы.

4.Обыкновенные дифференциальные уравнения

4.1.Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям. Основные определения.

4.2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

4.3.Интегрирование простейших типов дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными, однородных и линейных.

4.4.Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

4.5.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

4.6.Применение дифференциальных уравнений для решения задач физики и механики.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Контрольная работа №5

Для вычисления неопределённых интегралов № 1-30 необходимо проработать литературу: [1, гл.7, с. 285-312; 3, гл.5, с. 253-286; 6, гл.4,

с. 154-183; 7, гл.9, с. 225-286], где содержатся практические рекомендации по данной теме.

Для выполнения задания 1-30 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.

Например, при вычислении

 

 

dx

= ∫(5x

+ 2)

5

 

3

(

3dx

5x + 2 5

 

 

)

 

 

 

 

 

используем табличный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

undu = un+1

+ c .

 

 

 

 

 

 

n + 1

 

 

 

 

Согласно этой формуле подводим под знак дифференциала основание степени. Так как d(5x + 2)= 5dx, то умножим и разделим интеграл на 5,

то есть

4

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

1

 

 

 

 

5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

(

5x

+ 2 5 = ∫(5x +

2)

 

3dx = 5 (5x + 2)

 

3 5dx =

5 (5x

+ 2)

 

 

3d(5x + 2)=

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 1 (5x + 2) 3

 

 

 

+ c

= −

3

(5x + 2)

+ c = −

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

+ c .

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

5

+ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

103 (5x + 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интеграл x e3x 2 1dx

 

 

сводится к табличному eudu = eu + c путём

подведения

 

под

 

 

 

знак

 

дифференциала

показателя

степени

d(3x2 1)= 6xdx. Таким образом:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x e3x

 

1dx =

 

e3x

 

1 6xdx =

 

e3x

 

 

1d(3x2 1)=

 

e3x

 

 

 

 

1 + c .

 

 

 

 

6

 

6

 

 

6

 

 

 

 

В примере

 

3cosx dx используем формулу du

= ln

 

u

 

+ c ,

где под

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + sinx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаком

дифференциала

 

 

находится

знаменатель

дроби.

Так как

d(2 + sinx)= cosxdx , то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(2 + sinx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

cosxdx

 

 

= 3

 

= 3 ln

 

2 + sinx

 

+ c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + sinx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 + sinx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При вычислении интегралов в пункте б применяются методы

подстановки

и

 

интегрирования

по

частям,

 

то

есть по формуле

udv = uv − ∫ vdu

мы от исходного интеграла udv

переходим к более

простому vdu .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. x arctgxdx = ∫arctgx xdx , то есть возьмём

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

= arctgx du =

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv = xdx v

= ∫dv

= ∫xdx =

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

(здесь при нахождении v константу c полагаем равной 0). Получим

x arctgxdx = ∫arctgx xdx =

x2

arctgx

 

1

x2

 

dx

.

 

 

2

 

+ x2

 

 

 

 

dx

 

 

2

 

 

 

 

 

 

1

 

Возьмём

x2

 

отдельно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

dx

 

 

 

 

 

 

x2

+ 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

= x arctgx + c .

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx = ∫dx

− ∫

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

x2 + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+ x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак

 

 

 

 

 

 

x arctgxdx = x2 arctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(x arctgx)+ c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти

x e3xdx . Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = x du = dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d(3x)= −

 

3x .

 

 

 

 

dv

= e

 

 

 

dx

v =

e

 

 

 

dx = −

 

 

 

e

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

x e

3x

dx

 

 

 

1

e

3x

 

 

 

1

e

3x

 

 

 

 

 

 

xe3x

+

1

e

3x

dx =

 

 

 

 

 

= x

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

dx = −

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= − xe3x

e3x

+ c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример.

 

 

При

вычислении

 

 

 

 

интеграла

 

I = ∫ 2 +

 

 

x + 1 dx

сделаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x + 3

 

 

 

 

подстановку u =

 

x + 1 u2 = x + 1 x = u2 1 dx = 2udu,

 

 

 

 

 

x + 3 = u2 1 + 3 = u2 + 2 . Получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u + u2 du .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I = ∫ 2 +

 

x + 1 dx = ∫

 

 

 

2 + u 2udu = 2

 

 

 

 

 

2u + u2

 

 

 

 

 

x + 3

 

 

 

 

 

 

 

u2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Дробь

 

 

неправильная (степень числителя не меньше степени

 

u2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаменателя). Выделим целую часть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(u2 + 2)2 + 2u

= 1

 

 

 

 

 

2

 

+

2u

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

2 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2u + u2

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 u2 +

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак I = 2

du =

 

 

du

− ∫

 

2du

 

+

 

 

2udu

= 2u

4

 

 

arctg

 

u

+

u2

 

+ 2

 

2

u2

 

 

 

 

2

 

u2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2 ln(u2 + 2)+ c = 2

x +

 

1

4

arctg

 

 

x +1 + 2 ln x + 3 + c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь du и

 

 

 

 

табличные, а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 + 2

2

+ 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2udu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

d(u

 

 

= ln(u2 + 2)+ c .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

+ 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

+ 2

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

В пункте в приведены интегралы от дробнорациональных функций, метод интегрирования которых приведён в литературе [1,

гл. YII, с. 303-311; 7, гл. IX, с. 235-245].

Пример. Найти

 

 

x2

2

dx .

x

3

4x

2

+ 3x

 

 

 

 

Подынтегральная функция является правильной дробно - рациональной функцией, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Для разложения её в сумму простейших дробей найдём корни знаменателя x3 4x2 + 3x = x(x2 4x + 3)= 0. Тогда x = 0,x =1,x = 3 . Так как корни действительные и различные числа, разложение имеет

вид

x2 2

=

A

+

B

 

+

C

 

. Для нахождения неопределённых

x3 4x2 + 3x

 

x

1

x

3

 

 

x

 

 

коэффициентов A,B,C приводим к общему знаменателю выражение в правой части и приравниваем числители

x2 2 = A(x 1)(x 3)+ Bx(x 3)+ Cx(x 1).

Подставляя в это равенство корень x = 0, получаем 2 = 3A A = −23 .

При

 

 

 

x =1,

получаем

 

 

1 = −2B B = 1 .

При

 

x = 3 ,

получаем

7 = 6C C = 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

. Заменяя подынтегральное выражение, получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

2

 

 

 

 

1

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx =

 

 

 

 

 

 

+

 

 

+

 

 

dx = −2 dx

+ 1

 

+ 7

 

=

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

x

x 1

x

 

 

 

3

 

x

4x

+ 3x

 

 

 

 

 

3

3 x 2 x 1 6 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

2

dx

 

+

1

d(x 1)

+

7

 

d(x 3)

= −

2 ln x +

1 ln x 1 +

7 ln x 3 + C =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x 2 x 1

 

 

 

 

6 x 3

 

 

 

3

2

 

6

 

 

 

 

= ln

x 1 6 (x 3)7

 

+ C.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу [1, гл.8, с. 340-344, 347; 3, гл.6, с. 340-346; 4, гл.12, с. 416-418,426; 6, гл.5, с. 189,199; 7, гл.10, с. 269-271].

7

При вычислении интегралов в этих задачах и в дальнейшем можно пользоваться таблицей интегралов в справочниках [10, с. 841-851; 11,

с. 114-156].

Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 = 12 делится параболой y = x2 .

Сделаем схематический чертёж ( рис.1) и найдём точки пересечения этих линий

 

 

 

 

 

 

 

2

+ y

2

= 12

 

 

 

 

2

= 12 y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

 

12

y2 = y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2 + y 12 = 0 y = 1 ± 1 + 48 = 1 ± 7 , y = 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

точке

пересечения

 

x2 = 3 x1 = −

3, x2 =

 

 

.

 

Площадь

меньшей

 

 

 

3

 

части

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

3

 

 

x3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S1 =

12 x2 dx

x2dx =

 

 

 

12 x2 + 6 arcsin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

2

 

12

 

 

 

3

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

3

12 3 + 6 arcsin

3

 

 

3

12

3

6 arcsin

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2

12

 

2

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

3

 

3

 

 

 

 

 

 

π

2 3 = 3 + 2π.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

= 3 3 + 12

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y = x2

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = x

x

x

x2 + y2 =12

Рис.1

Рис.2

При вычислении интеграла 12 x2 dx мы воспользовались справочни-

ком [10] (интеграл № 51) или [11] ( интеграл № 157).

Площадь большей части S2 = πr2 S1 = π 12 3 2π =10π − 3 .

8

Пример. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x sinx, 0 x ≤ π .

Сделаем схематический чертёж ( рис.2) и найдём точки пересечения

этих линий y = x

x x sinx =

y = x

sinx

 

π

0, x1 = 0, 1 sinx = 0, sinx = 1, x2 = π2 .

π

 

 

 

b

b

 

 

 

 

 

V = V1 V2 = πy12dx − πy22dx = π2 x2dx − π2 x2 sin xdx =

 

 

 

a

a

0

 

 

0

 

 

 

3

 

 

π

 

 

3

 

 

 

x

 

 

2

 

π

 

 

= π

 

2xsin x + (x2

2)cosx

 

= π

 

− π + 2

,

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

0

 

 

 

x2 sin xdx = 2xsin x (x2 2)cosx.

 

 

 

 

При нахождении длины дуги в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами [1,

гл.8, с. 347-352; 4, гл.12, с. 432-436; 7, гл.10, с.270].

1. ds = 1 + (yx )2 dx , если линия задана в декартовых координатах;

2. ds = (xt )2 + (yt )2 dt , если линия задана параметрически

x = x(t), y = y(t);

3. ds = r2 + (r(θ))2 dθ, если линия задана в полярных координатах

r = r(θ).

Пример. Найти длину дуги кривой r = cos2 θ

,

0 ≤ θ ≤

π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

θ

2

 

 

 

θ

 

1

2

 

 

 

 

 

Вычисляем ds = r2

+ (r(θ))

2

dθ, rθ

= 2cos

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

sin

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r2 + (r(θ))

2

= cos4

θ

+ cos2

θ

sin2

θ

= cos2

θ

 

 

 

θ

+ sin2

θ

 

= cos2

θ

,

 

2

2

2

2

cos2

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

ds = cos2 θ2dθ = cos θ2 dθ,

ππ

2

θ

dθ = 2sin

θ

 

2

 

π

 

= 2

2

= 2 .

 

S = ∫cos

 

 

 

 

= 2 sin

 

sin0

 

0

2

 

2

 

0

 

4

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

9

При решении задач № 91-120 необходимо изучить криволинейные интегралы второго рода (по координатам) и научиться их вычислять в зависимости от задания пути интегрирования [2, с. 82-89; 3, с. 472-479; 5, с.217-226].

r

Пример.

r

Вычислить

работу,

совершаемую

силой

 

 

r

при перемещении некоторой массы по дуге

F = (x2

2xy)i + (y2 2xy)j

параболы y = x2

от точки A(1,1) до точки B(-1,1).

 

 

Составляем криволинейный интегралA =

(x2 2xy)dx + (y2 2xy)dy .

Так как y = x2 , то y′ = 2x,

 

 

AB

 

dy = 2xdx , и при движении массы из точки A

в точку B x принимает значения от 1 до -1, которые и будут пределами интегрирования по одной переменной x . Следовательно, имеем

A =

(x

2

2xy)dx

+ (y

2

2xy)dy

1

 

 

 

 

2

2x

3

 

 

 

 

2

)

2

2x x

2

 

 

 

 

= ∫

(x

 

 

)+ (x

 

 

 

 

2x dx =

 

 

AB

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

3

 

2x

4

 

 

 

 

2x

6

 

 

 

4x

5

 

 

1

 

 

 

14

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(x2 2x3 + 2x

5

4x

4 )dx =

x

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

3

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

Пример. Вычислить работу,

 

 

совершаемую

 

 

переменной силой

 

 

 

r

r

при перемещении некоторой массы по дуге кривой,

F = −y2x

i + x2y j

заданной параметрически x =

 

cost,

 

 

y =

 

 

sin t , от точки A до точки B с

соответствующими значениями параметра t1 = 0, t2

= π .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Составляем

криволинейный

интеграл

 

A =

 

(xy2 )dx + x2ydy и

AB

сводим его к определённому интегралу по t . Для этого находим дифференциалы

dx = d(

cost)=

sin t

sin t)=

cost

2 cost dt, dy = d(

2 sin t dt .

После подстановки вместо x, y,dx,dy

их выражений через t

криволинейный интеграл превращается в определённый интеграл по переменной t , то есть

π

 

 

 

(sin t)

 

 

 

 

2

sin t

cos t

+ cost

sin t

cost

A = ∫

 

2 cost

 

dt =

0

 

 

 

 

2

sin t

Соседние файлы в предмете Высшая математика