Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

В.М. Волков Математика. Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 - Государственное и муниципальное управление

.pdf
Скачиваний:
37
Добавлен:
19.08.2013
Размер:
409.75 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

МАТЕМАТИКА

Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 «Государственное и муниципальное управление»

Составители В.М. Волков Е.А. Волкова В.А. Гоголин Е.Н.Грибанов И.А.Ермакова

А.И. Закамалдин

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 21.05.01 Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 061000 Протокол №7 от 28.06.01 Электронная копия находится в

библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2001

1

Введение

Программа, задания контрольных работ и методические указания составлены в соответствии со стандартами Министерства образования РФ и с учетом особенностей программ Кузбасского государственного технического университета для студентов экономических специальностей, обучающихся по ускоренной форме подготовки. Контрольные работы № 1,2,3 выполняют в первом семестре, № 4,5,6 – во втором. Для выполнения контрольных работ необходимо изучить теоретический материал в соответствии с рекомендуемой литературой и ссылкой на источник, которая указана при разборе заданий. Программа курса по математике является также списком теоретических вопросов, предлагаемых на экзаменах.

Выбирают свой вариант в каждом задании по двум последними цифрами зачетной книжки – числу десятков и числу единиц. К каждой из этих цифр следует прибавить 1. Таким образом, получаются два числа m и n, задающие значения параметров в каждом задании, соответствующих вашему варианту. Например, если последние цифры 25, то m=3, n=6; если последние цифры 09, то m=1, n=10. На титульном листе выполненных по своему варианту контрольных работ следует указать номер зачетной книжки.

ПРОГРАММА

1семестр

1.Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1.1.Элементы теории определителей

1.2.Системы линейных уравнений

1.3.Формулы Крамера

1.4.Метод Гаусса

1.5.Линейные операции над матрицами

1.6.Умножение матриц. Обратная матрица

1.7.Решение систем линейных уравнений в матричной форме

1.8.Векторы. Линейные операции над ними

1.9.Линейная независимость векторов. Базис

1.10.Уравнения прямой на плоскости

1.11.Графическое решение систем линейных неравенств

1.12.Прямая и плоскость в пространстве

2.Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление

2

2.1.Предел функции

2.2.Бесконечно малые и бесконечно большие функции

2.3.Способы раскрытия неопределенностей

2.4.Непрерывность и точки разрыва функции

2.5.Асимптоты

2.6.Производная

2.7.Дифференциал

2.8.Правила дифференцирования

2.9.Условия монотонности и существования экстремума функции

2.10.Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

2.11.Исследование поведения функций и построение графиков

3.Функции нескольких переменных

3.1.Частные производные

3.2.Частные дифференциалы и полный дифференциал

3.3.Производная по направлению. Градиент

3.4.Экстремумы функций двух переменных

2семестр

4.Интегральное исчисление. Дифференциальные уравнения

4.1.Неопределенный интеграл, его свойства

4.2.Основные методы интегрирования

4.3.Интегрирование дробно-рациональных функций

4.4.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

4.5.Определенный интеграл, его свойства

4.6.Формула Ньютона-Лейбница

4.7.Геометрические приложения определенного интеграла

4.8.Несобственные интегралы

4.9.Дифференциальные уравнения. Общее и частное решения

4.10.Дифференциальные уравнения первого порядка

4.11.Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

5.Теория вероятностей

5.1.Алгебра событий

5.2.Классическое определение вероятности

5.3.Вероятность суммы и произведения событий

5.4.Формула Бернулли

5.5.Дискретные случайные величины. Законы распределения

5.6.Непрерывные случайные величины. Законы распределения

3

5.7. Числовые характеристики случайных величин 6. Элементы математической статистики

6.1.Выборочная и генеральная совокупности

6.2.Точечная оценка параметров распределения генеральных совокупностей

6.3.Интервальная оценка параметров распределения

6.4.Критерий согласия Пирсона

6.5.Парная линейная регрессия

6.6.Коэффициент корреляции

Контрольная работа № 1 Линейная алгебра и аналитическая геометрия

1. Проверить систему линейных уравнений на совместность и решить ее двумя методами: а) методом Гаусса; б) по формулам Крамера

[1, c.4-12, c.18-23].

x + ny + mz = n m ,

 

2x +

nz = n ,

 

 

3x + ny + mz = 3n m .

 

Пример:

 

x 3y + z = 3 ,

 

 

2x + y 3z =1,

 

3x + 2 y = 6.

 

Для проверки системы на совместность вычисляем определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных

 

 

1

3

1

 

 

 

 

∆ =

 

2

1

3

 

=34. Так как ∆≠0, то система совместна.

 

 

3

2

0

 

 

Решаем систему методом Гаусса.

 

Из 2-го уравнения вычтем 1-е уравнение, умноженное на 2. Из 3-

го уравнения вычтем 1-е, умноженное на 3. Получим систему

 

x 3y + z = 3 ,

 

7 y 5z = −5 ,

 

 

11y 3z = −3.

 

4

Исключаем y из 3-го уравнения. Для этого 2-е уравнение умножим на 11, 3-е – на 7 и вычтем из 3-го уравнения 2-е. Получим систему

x 3y + z = 3 ,

 

7 y 5z = −5 ,

 

 

34z = 34 .

 

В обратном порядке находим из 3-го уравнения z = 1, затем из 2- го уравнения y = 0 и из 1-го уравнения х = 2.

Решение системы: x = 2, y = 0, z = 1. Решаем систему по формулам Крамера.

Определитель системы =34. Вычисляем дополнительные определители, полученные заменой каждого из столбцов определителя системы столбцом правых частей:

 

 

 

 

3

3

1

 

 

 

 

 

x =

 

 

1

1

3

 

= 54 + 2 6 +18 = 68,

 

 

 

 

6

2

0

 

 

 

 

 

 

1

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

 

2 1

3

 

= −27 +12 3 +18 = 0,

 

 

 

 

3

6

 

0

 

 

 

 

 

 

z =

 

1

3

3

 

= 6 9 +12 9 2 +36 = 34.

 

 

 

2

1

 

1

 

 

 

3

2

6

 

 

 

 

 

 

Находим решение по формулам Крамера:

x = ∆x / ∆ = 68 / 34 = 2,

y = ∆y / ∆ = 0 / 34 = 0,

z = ∆z / ∆ = 34 / 34 =1.

2.Элемент aij матрицы А равен номинальному месячному окладу

i- го работника в j – й месяц. Элемент bij матрицы В равен авансу, выдаваемому i – му работнику в j – й месяц. Районный коэффициент равен K. Найти матрицу окончательных выплат С [1, c.12-17].

1+ m / 5 1+ n / 5

 

+ m / 4

1+ n / 4

А= 1

 

+ m / 3

1+ n / 3

1

K=1+m/20.

(n + m) / 5

m / 5

n / 5

m / 5

 

(n + m) / 4

 

 

0

n / 4

 

,

,

В = m / 4

 

(n + m) / 3

 

 

 

m / 3

 

 

 

m / 3 n / 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

Пример.

 

 

 

 

 

 

 

3

5

2

 

 

 

1

2

0

 

 

 

2

4

3

 

,

 

0

1

1

 

К=1,3.

А=

 

В=

,

 

4

5

6

 

 

 

2

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Матрица окончательных выплат находится из матричного уравнения:

 

 

3

5 2

1

2

0

1,3 3 1 1,3 5 2 1,3 2

0

 

 

 

 

2

4 3

 

 

0

1

1

 

 

2

0 1,3 4 1 1,3 3

1

 

=

С=КА–В=1,3

 

 

= 1,3

 

 

 

 

4

6 5

 

 

2

2

1

 

 

4

2 1,3 6 2 1,3 5

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1,3

 

 

2,9

4,5 2,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,6

4,2 2,9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3,2

5,8 5,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Заданы матрица прямых затрат А и товарный вектор b для экономической системы из двух предприятий. Определите вектор плана

[1, c.17-18].

M / 20

0,35

 

,

b

 

2m +3n

A =

 

 

 

 

 

=

.

 

0,2

 

N / 20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3m + 2m.

 

Пример.

 

 

11

 

 

 

0,2

0,4

 

b =

 

 

A =

 

 

,

 

.

 

 

 

0,1

0,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

0,2

 

0,4

 

 

 

0,8

0,4

 

Находим матрицу Е А =

 

 

 

 

 

=

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

0,1

 

0,6

 

 

 

0,1

0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычисляем определитель этой матрицы

 

 

 

 

 

 

 

 

∆ =

 

0,8

 

0,4

 

 

= 0,28.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

0,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Строим обратную матрицу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( Е А )

-1

 

1

 

 

0,4

0,4

 

1,43

1,43

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

×

0,8

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

0,28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

0,36

2,86

 

 

 

 

 

 

Находим вектор плана

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X =(E

 

 

 

 

 

1,43 1,43

 

 

11

 

42,9

 

 

 

 

A)1 ×b =

 

 

×

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

58,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,36

2,86

 

19

 

 

 

 

 

 

6

4. Построить на плоскости область, соответствующую системе неравенств [1, c.46-51].

mx + ny

 

 

mn ,

(m n)x + (1)n y m n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

n

x + (1)

m

my

0 .

 

 

 

 

Пример:

 

 

 

 

2х + у 10 ,

 

 

 

х + 3у 15 ,

 

 

 

 

 

 

х + у 0 .

 

 

 

 

 

 

Строим прямые, являющиеся границами области:

2х + у = 10,

х + 3у = 15,

х + у = 0.

х 0 5

х 0 15

х 0 5

 

 

 

 

 

 

 

у 10 0

у 5 0

у 0 -5

Выделяем части плоскости (полуплоскости), которые соответствуют знакам неравенств. Для этого подставляем координаты произвольной точки в неравенства и проверяем их знак. Так для точки О(0;0) 1-е и 2-е неравенства выполняются, поэтому все точки плоскости, лежащие по одну сторону от прямых вместе с точкой О, являются решением 2-х первых неравенств. Выполнение третьего неравенства нельзя проверить координатами точки О, т.к. получаем 0=0. Выбираем другую точку, например (0;5). Для него 3-е неравенство выполняется. Поэтому соответствующая полуплоскость лежит выше 3-й прямой. Находим пересечение полуплоскостей и получаем область, соответствующую системе неравенств (на рисунке она заштрихована).

 

y

 

 

10

 

x+3y=15

 

5

 

 

 

0

5

15

x

 

x+y=0

 

2x+y=10

 

 

 

 

7

Контрольная работа № 2 Введение в математический анализ Дифференциальное исчисление

 

1. Найти пределы [1,68-77].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

lim

(m

2n)x3 + nx2 +(m n) x

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m + nx

(2m n)x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

lim

x3

nx2 ( 1)m mx +( 1)m nm

,

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 +( m n )x mn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

lim

ln(1+( 1)n

 

2mxn nxm )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

nxn + mxm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) lim

2x

3 4x 2 +1

=

 

2x 3

 

4x 2 +1 ~ 2x 3

, 3 2x x 3 ~ x 3 =

 

2x x 3

 

 

=

 

 

x→∞ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

lim

2x

3

= −2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 4

 

 

 

 

0

 

 

( x

2 )( x + 2 )

 

 

 

x + 2

 

б)

lim

 

 

 

 

 

=

 

 

= lim

( x

 

2 )( x 1)

= lim

 

 

 

= 4.

 

3x

2

 

 

 

x 1

 

x2 x2

 

 

0

 

x2

 

x2

 

 

в)

lim

ln(1x3 )

=

 

0

=

ln(1x3 ) ~ x3 = lim

x3

= − lim x = 0.

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x0

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x0 x2

 

x0

 

2. Найдите точки разрыва функции. Сделайте чертеж [1, c.77-81].

 

 

 

 

 

 

(1)m mx2 , x 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y =

(1)n nx +(1)n +(1)m ,0 p x m,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

m

/(m x), x f m.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x2 ,x 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример: y = −2x,0 p x 4;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4,x f 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

На интервалах (–;0), (0;4), (4;+) функция непрерывна. Исследуем поведение функции в точках х=0 и х=4.

lim

y =

lim

3x2 = 0 = y( 0 ).

lim y = lim 2x = 0.

x00

 

x00

x0+0

x0+0

В точке х=0 функция непрерывна.

 

lim

y =

lim

2x = −8 = y( 4 ).

lim

y = lim x 4 = 0.

x40

 

x40

 

x4+0

x4+0

В точке х=4 функция имеет разрыв 1-го рода.

y

 

 

0

4

x

- 4

 

 

- 8

 

 

3.Исследуйте поведение функций и постройте их графики [1, c.81100].

y =( 1)n xn+2 +( 1)m( n +2 )xк / k +( n m ), а) k =1+ 12 ( 1)m +( 1)n ,

б) y = ( 1)m x2 + n . ( 1)n xк m

Примеры: а) у=5х4-4х5+1. Область определения функции (–;+).

lim y =

lim ( 5x4 4x5 +1) =

lim ( 4x5 ) = m∞.

 

x→±∞

x→±∞

 

x→±∞

 

Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет.

 

Находим наклонные асимптоты у=kх+b.

 

k = lim

y

= lim

5x4 4x5 +1 =

lim ( 5x3 4x4 +1 / x ) = lim 4x4 = −∞.

 

x→∞ x

x→∞

x

x→∞

x→∞

Следовательно, наклонных асимптот нет.

Устанавливаем области монотонности и находим экстремумы функции:

9

у=20х3-20х4=0, х34=0, х3(1-х)=0.

х1=0, х2=1 критические точки на экстремум.

Определяем знаки производной на интервалах и соответственно

области монотонности:

 

 

 

 

 

y

+

 

y

убыв.

0

возр.

1

убыв. x

Таким образом, ymin( 0 ) =1, ymax(1) = 2.

Исследуем график функции на выпуклость, вогнутость и найдем точки перегиба: y′′=(20x3–20x4)=60x2–80x3=0,

3х2 – 4х3 = 0; х1 = 0, х2 = 3/4 – критические точки на перегиб. Определяем знаки второй производной на интервалах, а по ним -

области выпуклости и вогнутости графика:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

вогн.

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вогн.

3/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вып.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, х2 =3/4 – точка перегиба,

 

у(3/4) = 1,6.

 

 

Составляем таблицу характерных точек функции и по ней строим

ее график:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3/4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

+

 

у

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

-

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

(+)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x

(–

)

0

3/4

1

(+

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(– )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Соседние файлы в предмете Высшая математика