В.М. Волков Математика. Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности 061000 - Государственное и муниципальное управление

20

Продолжение табл. 6.1

22	2,2	16,3	5,17	144	3,86	2,52	31	77,2
23	1,3	17,49	4,78	145	3,55	2,33	28	70,5
24	2,5	14,25	5,51	168	3,12	2,00	27	78,4
25	2	13,1	5,01	151	3,19	2,11	50	65,2
26	2	15,6	5,82	162	3,81	2,48	28	77,6
27	1,8	16,14	6,32	184	3,92	2,70	29	78,1
28	2,7	13,71	4,62	129	3,95	2,57	35	72
29	2,3	16,4	4,35	138	3,98	2,90	33	70,4
30	2,6	13,98	5,28	158	4,28	2,77	33	74,3
31	2,1	17,4	4,53	127	3,61	1,80	39	65,2
32	2,4	14,52	5,08	132	4,03	2,30	34	74,6
33	2,7	13,71	4,85	147	3,86	2,52	30	76
34	1,8	19,5	6,73	187	3,79	2,47	29	72,1
35	2,1	15,33	4,76	133	3,43	2,26	29	78,3
36	2,2	16,8	6,11	182	3,98	2,59	27	84,7
37	2,7	13,71	5,82	156	4,14	2,68	29	79,2
38	2,5	14,25	5,29	139	4,16	2,69	31	70,7
39	2,3	14,79	6,26	174	3,91	2,80	41	60,7
40	2,7	13,71	4,6	124	3,74	2,45	28	77,6
41	2,4	14,52	5,53	154	4,25	2,75	25	80
42	2	14,5	5,59	168	4,08	2,65	43	68,6
43	2,6	13,98	5,13	143	4,41	2,85	36	71,2
44	3	11,4	6,09	179	4,33	2,80	34	72,8
45	2,3	14,79	6,67	203	3,93	2,56	30	76
46	2	15,6	5,22	146	3,58	2,35	33	73,6
47	2,2	15,06	5,77	161	3,87	2,52	35	72
48	2,2	15,06	5,61	160	3,68	2,60	26	79,2
49	2,7	13,71	5,23	146	4,23	3,10	34	72,8
50	2,2	15,06	6,15	171	3,66	2,39	35	74,2

Пример.

Выполнить статистическую обработку данных (табл. 6.2), где случайные величины: Y – производительность труда рабочих, Х – стаж работы.

21

Таблица 6.2

Х	Y	Х	Y	Х	Y	Х	Y	Х	Y
8	1,9	14	2,3	9	1,9	12	2,3	19	2,5
11	2,3	2	1,4	9	1,9	10	1,9	13	2,1
5	1,6	11	2,2	13	2,1	16	2,5	12	2,3
8	2,0	6	1,7	16	2,5	5	1,3	15	2,4
12	2,3	10	1,9	8	1,8	9	2,0	16	2,6
1	1,3	10	2,0	11	2,2	7	1,7	11	2,1
9	2,0	12	2,2	17	2,8	6	2,0	12	2,2
8	1,8	18	2,6	9	1,8	11	2,3	8	1,5
10	1,8	8	1,9	6	1,5	11	2,8	7	1,6
13	2,2	13	2,1	10	1,9	12	1,3	12	2,1

Задание 1. Для построения интервального вариационного ряда найдем по формуле Стерджеса оптимальную ширину интервала (шаг):

h = xmax − xmin ,

1 + 3,2lg n

где xmax , xmin – соответственно наибольшее и наименьшее значения признака Х; n - объем выборки. Из табл. 6.2 находим xmax =19;

	xmin =1; n = 50. Тогда h =				19 −1		=	18	≈ 3.
			1		+ 3,2 lg 50			6,44
	Определим	границы			интервалов			[l0 ,l1),[l1,l2 ),...,[lk −1,lk ], где
	l0 = xmin =1;	l1 = l0 + h =1 + 3 = 4;..., lk					= lk −1 + h и так до тех пор, пока

xmax =19 не попадет в последний интервал. Составим интервальный вариационный ряд (табл.6. 3).

					Таблица 6.3
	№	Интервалы	Частота mi	Относительная	Накопленная
					относительная
				частота pi
					частота Fi
	1	1–4	2	0,04	0,04
	2	4–7	5	0,10	0,14
	3	7–10	14	0,28	0,42
	4	10–13	18	0,36	0,78
	5	13–16	5	0,10	0,88
	6	16–19	6	0,12	1,00
			50	1

22

Частота mi - число значений признака Х, попадающих в i − й интервал [li−1,li ) (столбец 3). При этом сумма частот должна равняться

объему выборки: ∑mi = n.

i

Относительная частота pi = mni попадания в i −й интервал служит

оценкой вероятности того, что признак Х примет значение, принадлежащее i − му интервалу (столбец 4). Их сумма должна быть равна еди-

нице: ∑pi =1.

i

Накопленная относительная частота Fi (столбец 5) определяется как сумма относительных частот i-го и всех предшествующих ему интервалов.

Рассчитаем числовые характеристики интервального ряда.

n

Выборочное среднее равно: x = i∑=1xi = 521 =10,42 . n 50

		n
	Sx2 =	∑(xi − x)2		694,18
Выборочная дисперсия		i =1	=			≈13,88.
		n
			50
Выборочное среднее квадратическое отклонение
Sx	= Sx2 = 13,88 ≈ 3,73.

По данным интервального ряда (табл. 6.3) построим гистограмму (рис.6.1). По горизонтальной оси откладываем границы интервалов величины X, по вертикальной оси – соответствующие интервалам частоты.

mi
2
16
12
8
4
0	1	4	7	10	13	16	19	X
Рис.6.1. Гистограмма стажа работы работников

23

Задание 2. По виду гистограммы предполагаем, что производительность труда Х распределена по нормальному закону. Кроме того, проверим, удовлетворяют ли выборочные числовые характеристики особенностям этого распределения. Имеем, во-первых:

xmax + xmin

=

19 +1

=10, что близко к x =10,42 ;

2

2

и, во-вторых:

xmax − xmin

=

19 −1

= 3 близко к Sx ≈ 3,73,

6

6

что не противоречит сделанному предположению о характере распределения. Функция плотности вероятности нормального распределения имеет два параметра, a и σ , которые оценены как a = x ≈10,42, σ = Sx ≈ 3,73.

Итак, функция плотности вероятности теоретического закона распределения имеет вид

	1	−	( x −10,42)2
			2(3,73)	2
f (x) =	3,73 2π e				.

Для проверки согласованности теоретического и наблюдаемого распределений рассчитаем теоретические частоты, округляя их значения до целых. Результаты вычислений приведены в табл. 6.4.

										Таблица 6.4
				xi − x		f (ti )	mT	= n h f (t	)
№	x	i	ti =				i	i		mi
				σ
1	2,5		-2,12			0,0131		2		2
2	5,5		-1,32			0,0447		7		5
3	8,5		-0,51			0,0939		14		14
4	11,5		0,29			0,1025		15		18
5	14,5		1,09			0,0591		9		5
6	17,5		1,90			0,0176		3		6
								50		50

Построим на одном рисунке полигоны наблюдаемых и теоретических частот производительности труда.

					24
	i	miT
	m
	20
	15
	10
	5
	0
		0	2,5	5	7,5	10	12,5	15	17,5	X
Рис.6.2.	Полигон наблюдаемых и теоретических частот										:
Рис.
				- полигон наблюдаемых частот
				- полигон теоретических частот

Между теоретическими и наблюдаемыми частотами есть расхождение, которое можно объяснить либо случайными причинами (например недостаточным числом наблюдений), либо тем, что сделан неверный выбор закона распределения. Проверим это с помощью крите-

	r	(m	−mT )2
рияχ2	Пирсона: χ2расч. = ∑	i	i	.
	i =1		miT

Результаты расчетов приведены в табл. 6.5.

Таблица 6.5

								(m	−mT )2
№	mi	mT	m	−mT	(m	−mT )2		i	i
									mT
		i	i	i	i	i
									i
1	2	2		2		4			0,57
2	9	7
	7	5
3	14	14		0		0			0
4	15	18		–3		9			0,5
5	9	5		1		1			0,09
6	12	11
	3	6
	50	50					χ2расч =1,16

Замечание. Для обеспечения большей обоснованности выводов интервалы с частотой объектов m i < 5 лучше объединить с соседними интервалами.

25

По прил. 5 из [4] "Критические точки распределения χ2 " определим предельно возможную величину расхождений χкрит2 . (α,k) в зави-

симости от заданного уровня значимости α и числа степеней свободы, k = r − s −1, где r - число интервалов после объединения, s – число параметров распределения. В нашем случае α = 0,05, r = 4, s = 2, т.е.

k = 4 − 2 −1 =1. Так как χкрит2 . (0,05;1) = 3,8 и χ2расч. =1,16 < 3,8 = χкрит2 . ,

то различие между теоретическими и наблюдаемыми частотами незначимо. Следовательно, теоретический закон распределения согласуется с опытными данными.

Вывод: стаж работы рабочих распределен по нормальному закону с функцией плотности вероятности f (x).

Задание 3. Исследование линейной корреляционной зависимости двух случайных признаков.

Определить выборочный коэффициент корреляции между случайными признаками Y – производительностью труда рабочих и Х – стажем работы по данным, приведенным в табл. 6.2. Составить выборочное уравнение прямой линии регрессии y на x и построить ее.

Решение. Выборочный коэффициент линейной корреляции рас-

считывают по формуле				− x y
r	=		xy		,
в			σxσ y

где x , y , xy - средние значения для x, y, xy ; σx ,σ y - выборочные сред-

ние квадратические отклонения. Выборочное уравнение прямой линии регрессии у на x имеет вид

y − y = rв σ y ( x − x ).

σx

Найдем составляющие для вычисления коэффициента корреляции.

∑ y j

101,5

∑xi

521

y =

j

=

= 2,03;

x =

i

=

=10,42;

n

50

n

50

∑ y2j

212,5

∑xi2

6124,3

y2 =

j

=

≈ 4,25;

x2 =

i

=

=122,48;

n

n

50

50

σ y =

y2 − y2 =

4,25 − 2,032

≈ 0,37;

26

σx =

x2 − x 2 = 122,48 −10,422

≈ 3,73;

∑x y

i

i

=

i

=

1077,53

≈ 21,55.

xy

n

50

r =

21,55 −10,42 2,03

≈ 0,82.

в

3,73 0,13

Затем определим коэффициент регрессии

ρ

y x

= r

σ y

= 0,82

0,37

≈ 0,08

в σx

3,73

и запишем уравнение прямой линии регрессии:

y − 2,03 = 0,08(x −10,42)

или

y = 0,08x +1,19.

График линии регрессии показан на рис.6.3.

y
3
2
1
0					x
0	5	10	15	20

Рис.6.3. Теоретическая линия регрессии

Список рекомендуемой литературы

1.Курс лекций по высшей математике: Учеб. пособие. Ч.1 / В.М.Волков и др.; Кузбас. гос. техн. ун-т. - Кемерово, 1998. – 102 с.

2.Курс лекций по высшей математике: Учеб. пособие. Ч.2 /

В.М.Волков и др.; Кузбас. гос. техн. ун-т. - Кемерово, 1998. – 90 с. 3. Алексеевская Г.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие /

Г.В. Алексеевская, Н.А. Иванова, Л.А. Голубева; Кузбас. гос. техн. ун-

т. – Кемерово, 1998. – 64 с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая стати-

стика.- М.: Высш. шк., 1989. – 368 с.

27

			Таблица значений функции Ф(x)				Приложение
	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00		0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389	0,96	0,3315
0,02		0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454	0,98	0,3365
0,04		0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2517	1,00	0,3413
0,06		0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580	1,02	0,3461
0,08		0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642	1,04	0,3508
0,10		0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703	1,06	0,3554
0,12		0,0478	0,44	0,1700	0,76	0,2764	1,08	0,3599
0,14		0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823	1,10	0,3643
0,16		0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881	1,12	0,3686
0,18		0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939	1,14	0,3729
0,20		0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995	1,16	0,3770
0,22		0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051	1,18	0,3810
0,24		0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106	1,20	0,3849
0,26		0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159	1,22	0,3883
0,28		0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212	1,24	0,3925
0,30		0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264	1,26	0,3962
	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
	1,30	0,4032	1,63	0,4484	1,96	0,4750	2,58	0,4951
	1,32	0,4066	1,65	0,4505	1,98	0,4761	2,62	0,4956
	1,34	0,4099	1,67	0,4525	2,00	0,4772	2,66	0,4961
	1,36	0,4131	1,69	0,4545	2,04	0,4793	2,70	0,4965
	1,38	0,4162	1,71	0,4564	2,08	0,4812	2,74	0,4969
	1,40	0,4192	1,73	0,4582	2,12	0,4830	2,78	0,4973
	1,42	0,4222	1,75	0,4599	2,16	0,4846	2,82	0,4976
	1,44	0,4251	1,77	0,4616	2,20	0,4861	2,86	0,4979
	1,46	0,4279	1,79	0,4633	2,24	0,4875	2,90	0,4981
	1,48	0,4306	1,81	0,4649	2,28	0,4887	2,94	0,4984
	1,50	0,4332	1,83	0,4664	2,32	0,4898	2,98	0,4986
	1,52	0,4357	1,85	0,4678	2,36	0,4909	3,20	0,49931
	1,54	0,4382	1,87	0,4693	2,40	0,4918	3,60	0,499841
	1,56	0,4406	1,89	0,4706	2,44	0,4927	4,00	0,499969
	1,58	0,4429	1,91	0,4719	2,48	0,4934	5,00	0,499997
	1,60	0,4452	1,93	0,4732	2,52	0,4941

Примечания к таблице:

1) Ф(-x)= -Ф(x); 2) Ф(х)=0,5 при |х| > 5.

28

Составители

Владимир Матвеевич Волков Екатерина Анатольевна Волкова Вячеслав Анатольевич Гоголин Евгений НиколаевичГрибанов Инна Алексеевна Ермакова

Александр Иванович Закамалдин

МАТЕМАТИКА

Программа, контрольные задания и методические указания для студентов заочного факультета специальности

061000 «Государственное и муниципальное управление»

Редактор Е.Л. Наркевич

ЛР № 020313 от 23.12.96

Подписано в печать 29.08.01. Формат 60х84/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. Л. 1,5. Тираж 100 экз. Заказ

Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография Кузбасского государственного технического университета. 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4а.