Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2000

.pdf

Скачиваний:

112

Добавлен:

19.08.2013

Размер:

345.61 Кб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

МАТЕМАТИКА

Программа, контрольные работы № 9,10 и методические указания для студентов - заочников инженерно-технических специальностей 2 курса

Составитель В.М.Волков

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 3 от 30.08.2000 Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией ИЭФ Протокол № 2 от 01.09.2000

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2000

Контрольные работы № 9,10 составлены в соответствии с программой курса высшей математики для студентов-заочников инженернотехнических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В.М.Волков, Е.А.Волкова, В.А.Гоголин, И.А.Ермакова, Л.Е.Мякишева, Е.В.Прейс, В.А.Похилько, С.М.Швыдко.

Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:

!"найти строку, соответствующую первой букве фамилии; !"найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;

!"на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольной работы № 9, и номер первой задачи соответствует номеру столбца X в контрольной работе № 10.

Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.

ПРОГРАММА курса «Высшая математика» для инженерно-

технических специальностей (IY семестр)

1. Случайные события 1.1. Основные понятия теории вероятностей. Испытания и

события. Классическое определение вероятности. Формулы комбинаторики.

1.2. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.

1.3. Теорема умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного события.

1.4. Формула полной вероятности. Вероятности гипотез. Формулы Бейеса.

1.5. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная теорема Лапласа. Интегральная теорема Лапласа. Формула Пуассона.

2. Случайные величины 2.1. Дискретная случайная величина. Закон распределения дискретной

случайной величины. Биномиальное распределение. Распределение Пуассона.

Выбор номеров задач контрольных работ

	0			1	2			3		4		5				6		7		8		9
А,Ж,	1 31 61		11 32 72		21 33 71		1	34 62		11 35 61		21 36 72		1	37		82	11 38 72		21 39 82		1 40	62
Л,Х	119	131	120	132	118	134	117		135	116	136	115	137	114			138	113	133	112	139	111	140
	151		158		173		175			154		164		174				165		153		163
Б,М,	2 41 62		12 42 73		22 43 82		2	44 63		12 45 63		22 46 73		2	47		83	12 48 73		22 49 83		2 50	83
С,Ц	110	141	109	142	108	143	107		144	106	146	106	147	104			148	103	149	102	145	101	150
	151		152		166		174			155		165		175				154		176		164
Н,Ч,	3 51 63		13 52 74		23 53 83		3	54 64		13 55 64		23 56 74		3	57		84	13 58 74		23 59 84		3 60	84
В,Ю	100	130	99	121	98	122	97		123	96	124	95	125	94			126	93	127	92	128	91	129
	160		159		167		175			177		156		166				176		155		165
З,О,	7 31 64		17 32 75		27 33 84		4	34 65		14 35 65		24 36 75		4	37		85	14 38 75		24 39 85		4 40	65
Ш,Г	91	130	92	131	93	132	94		133	95	134	96	135	97			136	98	137	99	138	100	139
	152		160		168		176			178		157		167				177		156		166
Д,П,	8 41 65		18 42 76		28 43 85		8	44 66		15 45 66		25 46 76		5	47		86	15 48 76		25 49 86		5 50	66
Т,Щ	120	130	119	129	118	128	117		127	116	126	115	125	114			124	113	123	112	122	111	121
	153		160		169		177			179		158		168				178		169		179
Е,Р,	6 51 66		16 52 77		26 53 86		6	54 67		16 55 67		26 56 77		9	57		87	19 58 77		29 59 87		8 60	67
Э,Я	110	140	109	141	108	142	107		143	106	144	105	145	104			146	103	147	102	148	101	149
	161		161		170		178			180		159		169				179		158		168
И,К,	10 31 70		20 32 81		30 33 90		10 34 71			20 36 71		30 35 81		10 37 61				20 38 81		30 39 61		10 40 71
У,Ф	100	150	99	121	98	122	97		123	96	124	95	125	94			126	93	127	92	128	91	129
	157		164		173		172			153		163		174				152		162		172

2.2.Числовые характеристики дискретной случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

2.3.Непрерывная случайная величина. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

2.4.Числовые характеристики непрерывной случайной величины. Математическое ожидание. Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение.

2.5.Виды распределений. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальное распределение.

3. Элементы математической статистики

3.1.Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма.

3.2. Статистические оценки параметров распределения. Выборочная средняя. Выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение.

4. Элементы теории корреляции

4.1.Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости.

4.2.Выборочный коэффициент корреляции. Корреляционная

таблица.

4.3.Выборочные уравнения регрессии. Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по сгруппированным данным.

5.Статистическая проверка статистических гипотез

5.1. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Критическая область. Область принятия гипотезы.

5.2.Проверка гипотезы о нормальном распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона.

5.3.Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых известны.

6.Статистические оценки параметров распределения

6.1. Точность оценки. Доверительная вероятность. Доверительный интервал.

6.2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Контрольная работа № 9

В данную работу включены задачи по теории вероятностей [1, гл.1; 2, гл.1-4].

При вычислении вероятностей событий по классической формуле [1, гл.1, п. 3; 2, гл.1, п.1, с. 7] в задачах № 1-30 выбор нужного элемента комбинаторики удобно производить по схеме:

!"если все элементы входят в соединение, то это число перестановок

Pk = k!== 1 2 3!k ;

!"если не все элементы входят в соединение и порядок элементов в

соединении не важен, то это число сочетаний Cr	=	k!		;
соединении не важен, то это число сочетаний Cr	=	r! (k −	r)!	;
k

!"если не все элементы входят в соединение и порядок элементов в

соединении важен, то это число размещений Akr =	k!
		.
	(k − r)!

Пример. На семи карточках написаны буквы а,з,е,к,м,н,э. Карточки тщательно перемешиваются и случайным образом раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово «экзамен»?

Обозначим событие А - в ряду получится слово «экзамен». Так как все семь элементов (карточек) входят в соединение, то общее число исходов n = P7== 7!== 5040 . Число благоприятных исходов m = 1 - среди букв нет одинаковых. Тогда

P(A) = mn == 50401 ≈≈ 0,0002.

Пример. Какова вероятность того, что наугад названное трёхзначное число, все цифры которого различны и начинается с цифры 2, будет то, что мы задумали?

При составлении трёхзначных чисел, начинающихся с цифры 2, используют три цифры, то есть к цифре 2 добавляются оставшиеся две из девяти (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), и так как важен порядок, то общее число исходов находится как число размещений

n =	A92==			9!		=	9!	== 9 8 = 72.
		(			)
			9	−		7!
					2 !

Благоприятный исход один, то есть m = 1.

P(A) = mn == 721 ≈≈ 0,014 ,

Пример. Из 17 студентов группы, в которой 8 девушек, отобраны 7 человек для работы на овощной базе. Какова вероятность того, что среди отобранных будут 4 девушки?

Решение. Введём событие A - среди 7 отобранных студентов 4 девушки. Общее число исходов

n = C7 ==	17!		=	17!	.
	(	)
17
	7! 17 −	7 !		7!10!

Случай, благоприятствующий событию A , представляет собой группу из 4 девушек и 3 юношей. Число подгрупп по 4 девушки из 8 равно C48 -число сочетаний из 8 по 4. Число всевозможных подгрупп по

3 юноши из 9 равно C93 -число сочетаний из 9 по 3, так как порядок внутри групп не важен. Каждая подгруппа из 4 девушек может быть объединена с любой подгруппой из 3 юношей, следовательно, число благоприятных исходов равно

m = C84 C93 =

(

)

(

)

4!4!

3!6!

4! 8 −

3! 9 −

3 !

P(A) =

C84 C93

8! 9! 7! 10!

735

≈≈

0,3 .

4! 4! 3! 6! 17!

C177

2431

Для решения задач № 31-60 необходимо сложное событие представить в виде суммы или произведения более простых событий и использовать соответствующие теоремы теории вероятностей [1, гл.2- 4; 2, гл.2].

Пример. Из 10 изделий цеха 7 изделий первого сорта. Какова вероятность того. что наугад взятые два изделия будут изделиями первого сорта?

Решение. Введём события: A - два наудачу взятых изделия будут изделиями первого сорта; B - первое взятое изделие первого сорта; C -

второе взятое изделие первого сорта. Тогда											A =			B C . Так как B, C
зависимые события, то										7		6
P	A	)	= P	B C	=	P	B P C		=				≈	0,47 .
										10		9
(			(	)		(	)	B ( )

Пример. Определить вероятность того, что два носка, взятые наудачу из ящика, содержащего 6 красных и 3 синих носка, будут одного цвета.

Используем теорему сложения несовместных событий. Введём события: A - два наудачу взятых носка одного цвета; B - взяты два

красных носка; C - взяты два синих носка. Тогда							A = B++ C . Так как
B, C несовместные, то
P(A) = P(B++ C)== P(B)++ P(C)==	C62		C32		5		1			1
		++		==		++			==		.
	C92		C92		12			12		2

Если событие A может наступить лишь после наступления одного из нескольких событий H1,H2 ,",Hn , образующих полную группу, то следует использовать формулу полной вероятности или формулу Бейеса [1, гл.4, п. 2-3; 2, гл.2, п.3-4].

Пример. Партия деталей изготовлена двумя рабочими. Первый изготавливает деталей в два раза больше, чем второй. Вероятность брака для первого рабочего 1 %, а для второго 10 %. На контроль взяли одну деталь. Какова вероятность того, что она бракованная?

Введём события: A - взятая деталь бракованная, H1 - деталь изготовлена первым рабочим, H2 - деталь изготовлена вторым рабочим.


				P(H1) =			2	;		P(H2 )==					1	; PH1			(A)==			1			; PH 2 (A)==					1		;
				P(H1) =			3	;		P(H2 )==					3	; PH1			(A)==				100		; PH 2 (A)==						10	;
P	A	)	=	P	H	P			(	A	)	+	P	H		P		(	A	)	=	2		1		+	1	1	=	4			== 0,04 .
P	A		=	P	H	P				A		+	P	H		P			A		=					+			=				== 0,04 .
(				(		1)	H1						(		2 )		H 2					3		100			3	10		100
																						3		100			3	10		100

Здесь мы применили формулу полной вероятности. Предположим, что в предыдущей задаче деталь, взятая на контроль, оказалась бракованной. Определим вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим. Для этого применяем формулу Бейеса

		1			1
PA (H2 ) =	P(H2 ) PH 2 (A)	=						5	.
			3			10	=
	P(A)							6
					4
				100

Решение задач № 61-90 следует начинать с изучения условий, в которых используются формулы Бернулли, Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа [1, гл.5, п. 1-3; 2, гл.3, п.1-3].

Если число n повторных испытаний мало, то вероятность появления события k раз следует определять по формуле Бернулли.

Пример. Найти вероятность того, что из 5 изготовленных рабочим деталей не менее 4 годных, если известно, что рабочий изготавливает на станке однотипные детали , вероятность брака для каждой 0,1.

Решение.	Так	как	число независимых испытаний n =	5 мало и
q = 0,1≠≠ 0, p==	1−−	q== 1−−	0,1== 0,9 , то применяем формулу	Бернулли.

Событие A - из 5 деталей не менее четырёх годных - наступит, если среди 5 деталей 4 годные или все 5 годные, то есть

P(A) = P(k≤≤ 4)== P5 (4)++ P5 (5)== C45p4q1++ C55p5q0== = 5 (0,9)4 0,1 + (0,9)5≈≈ 0,93.

Если число n независимых испытаний велико, а вероятность появления события не близка к нулю, то следует использовать локальную или интегральную теорему Муавра - Лапласа.

Пример. В мартеновском цехе не каждая плавка отвечает требованиям, обусловленным в заказе. По заказу нужно выплавить 90 плавок, а запланировано 100. Какова вероятность того, что заказ будет полностью выполнен, если вероятность получения каждой плавки по заказу равна 0,9?

Решение. Заказ будет полностью выполнен, если из 100 плавок будут соответствовать заказу 90 плавок и более, то есть нужно определить P100 (90,100) . n = 100 (велико), и так как нас интересует

вероятность появления события не менее 90 раз, то применим интегральную теорему Муавра - Лапласа

P100 (90,100)=

Φ (x2 )−−Φ Φ (x1) ,

где x1 =

k1 −

90 − 100 0,9

x2==

k 2

− np

100 − 100

0,9

≈≈ 3,33 .

npq

100 0,9 0,1

npq

100 0,9

0,1

)

(

По [2, прил. 2] определяем

(

)

Φ Φ

3,33 == 0,4995 .

P100 (90,100)= Φ

(3,33)−−Φ Φ

(0)==

0,4995−−

0== 0,4995.

Замечание. При определении функции Лапласа, следует учитывать,

что она нечётная, то есть Φ	(		)	(	x	)	, и что при x > 5		(	)
что она нечётная, то есть Φ		−	x ==Φ Φ		x		, и что при x > 5	Φ		x= = 0,5.

Формулу Пуассона следует применять, если n велико, а вероятность p близка к нулю.

Пример. Какова вероятность того, что из 10000 лотерейных билетов не менее двух выигрышных, если вероятность выигрыша по одному лотерейному билету 0,0002?

Решение. Так как n = 10000, p== 0,0002 , то используем формулу Пуассона. Введём событие A - не менее двух билетов выигрышных, противоположное к нему событие A - менее двух билетов выигрышных, то есть один билет выигрышный или ни одного. Тогда

(np)

− np

(np)

−− np

(

10000 ( ))

(

)

1−−

(

)

1−−

10000

(

)

1−−

1 ==

−

1 −

− 2

= 1−−

−−

1−−

≈≈

1−−

0,41==

0,59.

Законы распределения дискретных случайных величин, определение числовых характеристик (задачи № 91-120) рассмотрены в [1, гл.6-7; 2,

гл.4, п.1,3].

Пример. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить закон распределения случайной величины X , которая выражает число мальчиков в семье, имеющей четырёх детей. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Случайная величина X - число мальчиков в семье, имеющей четырёх детей, может принимать пять значений 0, 1, 2, 3, 4. Случайная величина X имеет биномиальное распределение, значит вероятности находятся по формуле Бернулли [1, гл.5, п.1; 2, гл.3, п.1].

при n = 4; p==

0,5;

k== 0,1,2,3,4,

q== 1−− p== 1−− 0,5== 0,5

P(X = 0)== P4 (0)==

C40 p0 q4 =

;

X =

1 ==

P 1

C1 p1 q3 =

;

(

)

4 ( )

P( X = 2)== P4 ( 2)==

C42 p2 q2 =

;

P( X = 3)== P4 ( 3)==

C43 p3 q1 =

;

P(X =

4) =

P ( 4)

p4 q0 =

Запишем закон распределения случайной величины X

X		0			1								2		3	4
P		1/16			1/4								3/8		1/4	1/16
	Контроль: ∑5 pi =		1	++		1	++	3	++	1	++	1	== 1	. Закон составлен правильно.
	Контроль: ∑5 pi =		16	++	4		++	8	++	4	++	16	== 1	. Закон составлен правильно.
		i = 1	16		4			8		4		16

Так как случайная величина имеет биномиальное распределение, то


математическое			ожидание		M(X) = np== 4 0,5 = 2,		дисперсия
(	)	= npq== 4 0,5	0,5 = 1,	среднее		квадратическое	отклонение
D X

σ(X) = D(X)== 1.

Внекоторых задачах при подсчёте вероятностей возможных значений случайной величины следует использовать основные теоремы теории вероятностей.

Пример. Студент с вероятностью 2/3 даёт правильный ответ на любой предложенный на экзамене вопрос. Студент может взять три вопроса, причём каждый следующий вопрос берётся только в том случае, если предыдущий ответ был неправильный. Составить закон распределения случайной величины X - числа взятых студентом вопросов. Найти её математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение.

Решение. Случайная величина X - число взятых студентом вопросовможет принимать значения 1, 2, 3. Для подсчёта вероятностей возможных значений введём события : Ai - студент даёт правильный ответ на i -й вопрос; : Ai - студент даёт неправильный ответ на i -й

вопрос ( i =1, 2, 3).

																2																					2		1
										P(Ai ) =						2				;	P(Ai )==						1−− P(Ai )== 1−−										2	==	1	.
										P(Ai ) =								3		;	P(Ai )==						1−− P(Ai )== 1−−										3	==	3	.
	Определяем вероятности возможных событий
P	X =	1 ==	P		A			==			2	;
P	X =	1 ==	P		A			==			3	;
(		)	(					1)			3																	1			2				2
P	X =	2 ==	P					A			2 )		=	P						P				A	2 )	=						=				;
						A										A
						A										A																			9
(		)	(					1						(					1)		(						3 3								9
P(X =		3) =	P(				1			2) =				P(			1) P(						2) =			1			1	=			1	.
				A					A						A							A				1			1				1
				A					A						A							A				3						9
																										3	3					9

Составляем закон распределения случайной величины X

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика