В.М. Волков Эконометрика. Методические указания и пример выполнения контрольной работы для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 060500,060400

10
a∑t2 +b∑t = ∑t	u	(23)
a∑t +bN = ∑ut .	t

9. Проверка адекватности трендовой модели

Для получения надежного, долговременного прогноза необходимо проверить трендовую модель на адекватность, то есть выяснить, не являются ли ошибки выбранной аппроксимации также трендовой моделью. А это означает, что случайная составляющая в выбранной модели не была исключена. Поэтому рассматривают ряд остатков –

разность значений ряда и значений тренда:
εt = ut – yt.	(24)

Таким образом, проверяют следующие гипотезы:

а) о случайности ряда остатков методом сравнения средних первой и второй половин ряда остатков в соответствии с формулой (8). Если гипотеза о случайности ряда остатков отвергается, то трендовую модель следует считать неадекватной; б) о равенстве математического ожидания ряда остатков нулю по статистике

t =εt n / sε ,

(25)

где εt – среднее значение ряда остатков; sε – среднее квадратическое

ряда остатков.

На 5 % уровне значимости вычисленное значение t сравнивается с критическим значением, взятым из табл. 2, с n–1 степенями свободы. Если гипотеза отвергается, то модель считается неадекватной на 5 % уровне значимости;

в) отсутствие автокорреляции ряда остатков; для проверки этой гипотезы используется критерий Дарбина-Уотсона со статистикой

n	n	2 .
D= ∑(εt −εt −1 )2	∑εt		(26)
t =2	t =1
Если D [2;4], следует использовать вспомогательную статистику

D1=4–D.

Расчетное значение D или D1 сравнивается с верхним d2 и нижним d1 критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона, представленными в табл. 4 для различной длины ряда N и числа определяемых параметров модели (k+1) на уровне значимости 5 %.

11

						Таблица 4
N	k=1		k=2		k=3
	d1	d2	d1	d2	d1		d2
10	0,88	1,32	0,70	1,64	0,53		2,02
15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82		1,75
20	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00		1,68
30	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21		1,65

Если расчетное значение критерия D больше верхнего табличного значения d2, то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается. Если значение D меньше нижнего табличного значения d1, то эта гипотеза отвергается и модель неадекватна. Если значение D находится между значениями d1 и d2, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод и необходимы дальнейшие исследования, например по большему числу наблюдений.

Трендовая модель считается адекватной, если подтверждены все три гипотезы а), б), в).

10. Краткосрочный и долгосрочный прогнозы значений временного ряда и оценка относительной погрешности прогнозов

Кратковременный прогноз значений временного ряда на один шаг для t = N+1 находится с помощью метода скользящих средних по m последним значениям ряда на основе выбора наиболее достоверной модели из п. 5, 6.

Долговременное прогнозирование значений временного ряда на k

шагов вперед осуществляется по уравнению тренда:
~	(27)
uN +k = a(N + k)+b .

Относительная погрешность прогнозов определяется по следующей формуле

			~
	Пк =		un+k −un+k		100% , (k =1, 2, 3, 4, 5) .	(28)
			un+k

12

Пример выполнения контрольного задания

Временной ряд представляет среднюю заработную плату работников угольной промышленности Кузбасса за 10 месяцев

1992 года в тыс. рублей: 32, 33, 36, 41, 68, 57, 96, 113, 132, 113. Кон-

трольные значения средней заработной платы за следующие

3месяца 128, 137, 134 тыс. рублей.

1.Строим график временного ряда.

140
120
100
80
60
40
20
0	t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Вычисляем среднее значение

1 10

ut = 10 t∑=1ut = 72 ,

дисперсию

s2 =	1 10∑(u −72)2	=1461,9,
	9 t =1 t

среднее квадратическое отклонение s= s2 = 1461,9 = 38,2.

2. Проводим линейное сглаживание временного ряда по m = 5 точкам по формулам (5) и (6).

Заданные и сглаженные значения временного ряда заносим в таблицу. Строим графики этих рядов.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ut	32	33	36	41	68	57	96	113	132	113
~	26	34	42	47	60	75	93	102	117	132
ut

									13
140
120
100
80
60
40
20
0									t
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9 10

График сглаженного ряда показывает монотонное возрастание значений ряда во времени.

3. Проверяем гипотезу о случайности ряда на основе сравнения средних первой и второй половин ряда. Предварительно вычисляем величины:

u		=	1		∑5		u	= 42 , u		=	1	10∑u		= 102,2 ;
			5
	п					1	t		в		5 6		t
	2		1			5		2							2		1	10		2
s	п	=				∑(u − 42)			= 223,5 ,					s	в	=		∑	(u	−102,2) = 800,7 .
			4			1		t									4	6	t

Проверяем гипотезу о равенстве дисперсий первой и второй половины ряда по критерию Фишера (9):

F = sв2 = 800,7 = 3,58. sп2 223,5

Из табл. 1 находим Fкр= 5,0. Так как 3,58<5,0, гипотеза о равенстве дисперсий принимается.

Вычисляем величину t по формуле (10):

t =	42−102,2		5 5 (5 +5 −2)	=− 4,21 .
4	223,5 +4 800,7		5 +5

По табл. 2 определяем tкр =t8;0,05 =2,38. Так как t > tкр, то различия между средними первой и второй половинами ряда значимы, ряд не является случайным и временной тренд существует на уровне значимости 5 %.

4. Проводим автокорреляционный анализ временного ряда. Вычисляем коэффициенты автокорреляции по формуле (9), пред-

варительно составив следующие таблицы. В последнем столбце каж-

14

дой таблицы вычислено среднее значение. k = 1

ut					32				33				36					41						68				57					96			113			132			68
ut+1					33				36				41					68						57				96					113			132			113			77
ut ut+1					1056				1188				1476					2788						3876				5472					10848			14916			14916			6282
Для					величины ut дисперсия
s	2	= 1 ∑9 (u								−68)2				=1255,6 .
1					9 t =1				t
Для величины ut+1														дисперсия
s	2	= 1				∑9 (u					−77)2					=1263,6 .
	2				9 t =1				t	+1
Коэффициент корреляции
r 1		=				6282 −68 77										= 0,83 .
					1255,6						1263,6
k = 2
ut				32				33				36					41				68					57						96			113					60
Ut+2				36				41				68					57				96					113						132			113					82
ut ut+2				1152				1353				2448					2337				6528					6441						12672			12769					5713
		= 1				8						2														1	8								2
s										−60)				=		828,3 ; s								2 =										−82)		=1154,5;
	2					∑(u																					∑(u
1					8 t =1				t													2				8 t =1						t +2
														r		=		5713 −60 82										= 0,81.
														2					28,8 34,0
k = 3
ut			32				33				36				41					68					57				96												52
ut+3			41				68				57				96					113					132				113												89
ut ut+3			1312				2244				2052				3936					7684					7524				10848												5086
		= 1				7					2															1	7								2
s										−52)				=		479,2; s								2 =							(u			−89)		= 973,0;
	2					∑(u																						∑
1					7 t =1				t														2			7 t =1						t +3
														r3 =					5086 −52 89												= 0,67.
																				21,9 31,2

15

k = 4

ut		32	33	36		41			68				57									44
ut+4		68	57	96		113			132				113									97
ut ut+4		2176	1881	3456		4633			8976				6441									4594
		6		2								6							2
s 2	=				=180,3;			s			2 =							−97)		= 696,3;
		1 ∑(u −44)										1 ∑(u
1		6 t =1	t							2		6 t =1			t		+4
					r 4	=	4594 −44 97								= 0,92.
k = 5							13,4 26,4
ut		32	33	36		41				68												42
ut+5		57	96	113		132				113												102
ut ut+5		1824	3168	4068		5412				7684												4431
		5		2								5							2
s 2	=				=178,8 ;				s					(u				−102)		= 640,6;
		1 ∑(u −42)									2 = 1 ∑
1		5 t =1	t								2		5 t =1			t +5

= 4431−42 102 =

r5 13,4 25,3 0,44.

Первые пять значений коэффициентов автокорреляции имеют следующие значения: r1 = 0,74; r2 = 0,71; r3кр = 0,57; r4 = 0,77;

r5 = 0,35.

По табл. 3 находим критические значения для этих коэффициентов при 5 % уровне значимости: r1кр = 0,67; r2кр = 0,71; r3кр = 0,75; r4кр

= =0,81; r5кр = 0,88.

Получим коррелограмму:

	r
	1	•	•	•
	0,8
				•
	0,6
				•
	0,4
	0,2			k

0 1 2 3 4 5

Здесь сплошной линией обозначена автокорреляционная функция, а пунктирной – критический уровень коэффициентов автокорреляции.

16

Коррелограмма показывает связь последующих значений временного ряда от предыдущих с интервалом в два шага, то есть два месяца. Поэтому можно подтвердить вывод о наличии временного тренда.

5.Даем оценку моделей краткосрочного прогноза. По формулам

(13)– (17) вычисляем прогнозные значения и составляем таблицу.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	δ ,%
ut	32	33	36	41	68	57	96	113	132	113	-
ut(1)	-	32+	33+	36	41	68	57	96	113	132	22
ut(2)	-	-	34+	39+	46	95	46	135	130+	151	38
ut(3)	-	-	-	38+	45	80	71	102+	145+	150	43
ut(4)	-	-	-	-	43	72	73	104+	127+	120+	50
ut(5)	-	-	-	-	-	66	71	100	127+	148	20
∆кр	3,2	3,3	3,6	4,1	6,8	5,7	9,6	11,3	13,2	11,3	-

В качестве критических величин погрешностей прогнозных значений∆кр выбираем 10 % от заданных значений ряда. Числа со знаками «+» показывают достоверные прогнозы. Процент достоверных прогнозов приведен в последней колонке.

Из таблицы следует, что наиболее достоверной, в данном случае, является модель краткосрочного прогноза по четырем последним точкам.

6. Определяем степень полиномиального тренда методом переменных разностей по формулам (20) – (24) и табл. 1.

По формулам (20) – (22) вычисляем переменные разности. Результаты вычислений заносим в таблицу.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
												∆ k u
												t
∆0ut	32	33	36	41	68	57	96	113	132	113	68
∆1ut	1	3	5	27	– 11	39	17	19	– 19		9
∆2ut	2	2	22	– 38	50	– 22	2	– 38			– 2,5

По формуле (23) вычисляем дисперсии разностей n-го порядка

(n = =0, 1, 2,...).

Дисперсия разностей нулевого порядка совпадает с дисперсией ряда s02 = sut 2 =1461,9 ,

17

	9		−9)2
		∑(∆ 1u
s 2		t			2688
	=	t =1		=		=168 .
1		8 2	16

По формуле (24) вычислим значение параметра распределения Фишера и сравним его с критическим значением из табл. 1.

		s 2					1461,9
F =	0				=						= 8,7 ;		F			= F			= 3,0 .
1		s12					168							1кр		9,8
													значимо отличается от s 2 .
Так как F1								> F1кр, то s 2
											1								0	s 2		2 .
Проводим далее аналогично сравнение дисперсий																					и s
	8				(∆				+ 2,5)2											1		2
							2u
			∑
s22 =			t =1					t				22	=	6318		=150,4;
						7 2			3	4
				2									42
		s					168
F =		1				=				=1,1 ;			F		= F			= 3,3.
2		s2		2			150,4							2кр		8,7
																	2		незначимо отличается от s 2
Так как F2								< F2кр, следовательно, s
																	2					1

истепень полиномиального тренда p = 1.

7.Строим полиномиальный тренд временного ряда степени p = 1, коэффициенты которого оцениваются по решению системы (26).

В нашем случае:

385a +55b = 494655a +10b = 721 .

Откуда: а = 11,9; b = 6,7 и

yt = 11,9t + 6,7

есть уравнение временного тренда. Строим графики временного ряда и тренда.

140
120		y = 11,9x + 6,7
100
80
60
40
20
0										t
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

18

8. Проверяем адекватность трендовой модели. Сначала вычисляем трендовые значения и значения остатков ряда по формуле (29). Результаты заносим в таблицу.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
ut	32	33	36	41	68	57	96	113	132	113
yt	19	31	42	55	66	78	90	102	114	126
ε t	13	2	-6	-14	2	-21	6	11	18	-13

а) Проверяем гипотезу о случайности ряда остатков методом сравнения средних первой и второй половин ряда остатков по t-критерию (8) с использованием формул (2,3):

t =		−0,6 −0,2		5 5 ( 5 +5 −2 )	≈ 0,1.
		−1) 101,8 +( 5 −1) 272,7		5 +5
( 5

Так как расчетное значение t =0,1 меньше критического tкр=2,38 из табл. 2, то гипотеза о случайности ряда остатков принимается.

б) Далее проверяем гипотезу о равенстве нулю математического ожидания остатков ряда по статистике (25):

	t =		3	10 ≈ 0,7 .
		13,4

Так как вычисленное значение статистики меньше критического, равного 2,23 из табл. 2, то гипотеза принимается.

в) Проверяем гипотезу об отсутствии автокорреляции в ряде остатков по статистике (26):

D = 2806/1497 = 1,87.

Так как полученное значение больше критического d2 =1,32 из табл. 4 (число параметров линейной модели k+1=2), то гипотеза принимается.

Трендовая модель адекватна, потому что все три гипотезы о ряде остатков приняты.

9. Кратковременный прогноз временного ряда на один шаг (один месяц) вперед выполняем по формуле (16):

u11( 4 ) = 2 113 +132 −96 =131 .

2

Долговременный прогноз на три шага вперед временного ряда производим по формуле (32):

y13 = 11,9 13 + 6,7 = 161,4 .

Таким образом, средняя прогнозируемая заработная плата работников угольной промышленности Кузбасса за 11 месяц 1992 года составит 131 тыс. рублей, а за 1 месяц 1993 года 161,4 тыс.

19

рублей.

Вычисляем относительные погрешности краткосрочного и долгосрочного прогнозов по формуле (28):

П1 =		128 −131				100% = 2,3%;
			128
П3 =			134 −161,4					100% = 20,4%.
			134

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Эконометрика / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко

идр.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 272 с.

2.Практикум по эконометрике: Учеб. пособие /И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 192 с.

3.Магнус Я.Р. Эконометрика. Начальный курс / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. – М.: Дело, 2000. – 248 с.

4.Экономико-математические методы и прикладные модели:

Учеб. пособие для вузов / В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбеков и др.; Под ред. В.В. Федосеева. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 391 с.

5. Справочник по математике для экономистов / Под ред. В.И. Ермакова – М.: Высш. шк., 1987. – 324 с.

6.Тюрин Ю.Н. Статистический анализ данных на компьютере / Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров; Под ред. В.Э. Фигурнова – М.: ИНФРА-

М, 1999. – 456 с.

7.Математические методы в экономике: Программа, методические указания и контрольная работа для студентов экономических

специальностей заочного факультета / Сост.: В.А. Гоголин, В.М. Волков, Е.А. Волкова, И.А. Ермакова. – Кемеро-

во: КузГТУ, 1999. – 14 с.