Г.В. Алексеевская Использование графиков при решении задач, уравнений, неравенств и систем
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ, УРАВНЕНИЙ, НЕРАВЕНСТВ И СИСТЕМ Методические указания по курсу «Математика»
для студентов направления подготовки 550100
Составители Г.В. Алексеевская Г.А. Липина Н.Г. Шевелева
Утверждены на заседании кафедры Протокол №5 от 07.06.01
Рекомендованы к печати методической комиссией по направлению 550100 Протокол №38 от 10.09.01
Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ
Кемерово 2002
1
В предлагаемых методических указаниях авторы рассматривают графический метод решения примеров и задач, вызывающих затруднения на вступительных экзаменах по математике у абитуриентов Кузбасского государственного технического университета.
Указания предназначены для старшеклассников, готовящихся к поступлению в ВУЗ, а также могут быть полезны для учителей средней школы.
2
Графиком Г-функции у = f(x) называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x)), где x принадлежит области определения функции y . Предпола-
гаем, что читатель знаком с основными элементарными функциями, а также уравнениями кривых второго порядка:
1)линейной - y = x ;
2)обратно пропорциональной - y =1 / x ;
3) |
степенной - y = xa , a R; |
|
4) |
показательной - y = ax , a >0 , |
a ≠ 1; |
5) |
логарифмической - y = loga x , |
a >0 , a ≠ 1; |
6) |
тригонометрическими - y = sin x ; y = cos x ; y = tg x , y = ctg x ; |
7)обратными тригонометрическими - y = arcsin x ; y = arccos x ;
y = arctg x ; y = arcctg x .
8)окружностью – x2 + y2 = R2 c центром в точке (0, 0), радиуса R;
9)эллипсом – х2/а2+y2/b2=1 c центром в точке (0, 0), полуосями: a − по оси
OX; b − по оси OY;
10) |
гиперболой – x2 / a2 − y2 / b2 = 1 c центром в точке (0, 0), полуосями a |
− действительной по оси ОX, b − мнимой по оси ОY; |
|
11) |
параболой – y2 = 2 px , с вершиной в точке (0,0), параметром p . |
Напомним случаи, когда при построении графиков функций используются операции отображения, сдвига и деформации:
1)график функций y1 = − f ( x ) – отображение Г относительно оси ОX;
2)y2 = f ( −x ) − отображение Г относительно оси 0Y;
3) |
y3 |
= f ( x −a ) − cдвиг Г по оси ОX на a вправо, если a > 0; влево, если a < 0; |
|||||||||
4) |
y4 |
= f ( x ) +b – сдвиг Г по оси ОY на b вверх, если b > 0; вниз, если b < 0; |
|
||||||||
5) |
y5 = f ( ax ); a > 0; a ≠ 1 − сжатие в а раз при а > 1, растяжение в 1/ a раз (при |
||||||||||
a <1) Г по оси ОX; |
|
|
|
|
|||||||
6) |
y6 |
|
= bf ( x ), b > 0; b ≠ 1 − растяжение в b раз при b > 1, сжатие в 1/b раз (b < 1) |
||||||||
Г по оси ОY. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Рассмотрим построение графиков функций: |
|
|
|
|
|||||
|
1. |
y = |
x |
= |
− x |
- симметричен относитель- |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|||||||
но оси ОY, т.е. построив график функции y = x при |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||
x > 0 , отобразим его на область x < 0 симметрично; |
|
|
|
|
|||||||
график расположен в верхней полуплоскости (рис. 1). |
|
|
|
х |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2. |
|
y |
|
= x |
симметричен относительно оси ОX, |
|
|
располагается в правой полуплоскости (рис. 2). То есть при построении графиков функций, содержащих модули, удобно воспользоваться симметрией. Учитывая последнее замечание, построим графики функций:
3. |
|
y |
|
= |
|
x2 −2 |
|
x |
|
−3 |
|
. |
x > 0 , тогда имеем |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
область y > 0 , |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = x2 −2x −3 = (x −1)2 −4 или |
(x −1)2 = y +4 – |
парабола с вершиной в точке (1, -4), ветви которой направлены вверх. С учетом того, что y > 0 , x > 0
отобразим график, лежащий ниже оси ОХ на верхнюю полуплоскость. Воспользовавшись симметрией, отобразим полученный график на y < 0, а затем на x < 0
(рис. 3).
4. |
|
x |
|
+ |
|
y |
|
=1. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Очевидно, что график симметричен относительно |
|||||
ОХ и OY. Достаточно построить в области |
y > 0 , x > 0 |
||||||||
и |
|
отобразить. В области x > 0 , y > 0 |
будем иметь |
y = −x +1. Это прямая, проходящая через точки (1, 0) и
(0, 1). Далее делаем симметричное отображение полученного графика, результат представлен на рис. 4.
5. x + y + x − y =1.
График |
симметричен |
относительно |
линий: |
x + y = 0; x − y = 0, т.е. y = −x ; |
y = x . Построим график |
для области y > x , y > −x ( y > x ), в этой области имеем
функцию: |
x + y − x + y =1, |
т.е. 2 y =1; y =1 / 2 . После |
||||||||||||||
отображения получаем график, изображенный на рис. 5. |
||||||||||||||||
6. |
|
x |
|
− |
|
y |
|
|
=1. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
График функции симметричен относительно линий: |
|||||||||||
х=0, у=0. |
Построим график |
для области x > 0 , |
y > 0 ; |
|||||||||||||
|
x − y |
|
=1. Из |
определения |
модуля |
имеем: при |
x > y |
|||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
x − y |
|
=1; |
при |
x < y y − x =1: две |
прямые в |
первом |
у
х
Рис. 2
у
х
Рис. 3
у
1
1 х
Рис. 4
1/
2у
1/2 х
Рис. 5
у
х
Рис. 6
4
квадрате, далее делаем отображение на оставшиеся квадранты (рис.6).
В некоторых случаях для построения графика исходную функцию удобнее разложить на сумму нескольких функций:
7. у= 2-х + 2+х . |
|
|
|
у1 |
у |
|
|
Заметим, что у>0. Введем функции y1 = 2-х , |
у2 |
у2 |
у1 |
||||
|
|
||||||
y2 = 2+х , тогда у=у1+у2. Строим y1 |
и y2 . Гра- |
|
|
|
|||
фик функции y1 строим, сместив y = x |
по оси ОХ |
|
|
х |
|||
|
Рис. 7 |
|
|||||
на 2 вправо; |
график |
y2 |
получаем |
смещением |
|
|
|
|
|
|
|||||
графика y = x |
на 2 влево по оси ОХ (рис. 7). Далее |
|
|
||||
суммируем по точкам (рис. 8). |
|
|
у |
у=у1+у2 |
|||
Применим графический метод к решению |
|
|
|||||
уравнений, неравенств и систем. |
|
|
|
|
8. 1+3х - х-1 =2–х. |
х |
Рис. 8 |
|
Решением уравнения будут |
точки пересечения |
графиков y1 = 1+3х - х-1 и y2 = 2 − x . В свою очередь: y1 = y3 + y4 ; у3= 1+3х =3 х+1/3 ; у4=- х-1 , т.е. имеем случай аналогичный №7 (рис. 9).
Из рисунка видно, что решений два: х1 и х2. Чтобы найти точные решения х1 и х2, запишем уравнения прямых графика функции у1 (рис.9, а; 9, б).
А у
у |
|
|
|
у3 |
|
|
|
|
|
у1 |
|
|
|
С |
|
|
|
х |
|
|
у4 |
у2 |
х |
|
В |
|
|
Рис. 9,а |
|
|
|
|
Рис. 9,б |
|
|
|
|
|
АВ: y1 =-3х –1+х–1=-2х–2=-2(х+1). Имеем: 2–х=-2(х+1); х1=-4.
ВС: y1 = 3x +1 + x −1 = 4x ; 2 − x = 4x ; x2 = 2 / 5 .
Ответ: х1=-4; х2=2/5.
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
9. 2x −1 −3 ≤ x +2 . |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
Е |
|
|
Обозначим y1 = 2 x −1/ 2 −3 ; |
|
|
|
С |
|
|
|
|
||||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|||||
y2 = x +2 . |
Очевидно, |
что |
x +2 ≥ 0 , |
т.к. |
|
|
|
|
|
|||
|
В |
|
|
|
|
|||||||
неотрицательное число не может быть меньше |
|
|
|
|
|
|||||||
отрицательного, т.е. |
x ≥ −2. График |
y |
- это |
х1 |
х2 |
х3 |
D |
х4 |
х |
|||
|
|
|
|
y = x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
смещенный |
график |
функции |
в |
точку |
|
-3 |
|
|
|
|
||
(1/2, -3) с коэффициентом сжатия 2. Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
||||||
y1 > 0 , часть графика, лежащую ниже оси ОХ, |
|
Рис. 10 |
|
|
|
|||||||
отображаем в верхнюю полуплоскость (рис. 10). |
|
|
|
|
|
|
||||||
Тогда с y1 имеем четыре точки |
пересечения. Область, где |
y1 ≤ y2 изображена на |
рис.10 штриховкой, т.е. |
x1 < x < x2 и |
x3 < x < x4 . |
Находим численные значения |
||
x1, x2 , |
x3 , x4 : x1 |
находим как |
пересечение |
y2 = x +2 с прямой АВ: |
|
y1 = −2(x +1) , имеем −2x −2 = x +2 ; 3x = −4 ; |
x = −4 / 3. x2 находим как пере- |
||||
сечение |
y2 = x +2 с прямой ВС: y1 = 2(x +1) ; |
x +2 = 2x +2; x2 = 0. x3 нахо- |
дим как пересечение y2 = x +2 с прямой СD: |
y1 = −2(x −2) ; |
−2x +4 = x +2 ; |
|||||||||||||
−3x = −2; |
x3 =2/3. x4 находим |
как |
пересечение |
y2 = x +2 |
с |
прямой |
DЕ: |
||||||||
y1 = 2(x −2); 2x −4 = x +2 ; x4 = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ответ: -4/3 ≤ х ≤ 0: 2/3 ≤ х ≤ 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
+ x |
−2 = 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
=8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y = 4 − x −2 - |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
График функции |
смещенный в |
|
|
у |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x , |
|
|
|
|
|
||
точку |
(2, |
4) |
график |
|
функции |
лучами |
|
|
|
|
|||||
направленный |
вниз. Заметим, |
что |
график |
функции |
|
|
у2 |
|
|||||||
y − x =8 |
располагается |
в |
полуплоскостях |
у>х, |
|
|
|
||||||||
у1 |
|
|
|
||||||||||||
y1 =8 + x |
и y < x , у2=х–8 (рис. 11). Очевидно точка |
|
|
|
|||||||||||
-8 |
|
2 |
х |
||||||||||||
пересечения единственная: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
y = x −8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −x + |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 11 |
|
||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 = 2x −14.
Ответ: x =7 , y = −1.
6
Рассмотрим построение графиков, состоящих из ветвей парабол.
11. y = x2 + x − |
|
x |
|
. |
y = x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Построим |
|
для x >0 : |
параболу с |
|
||||
вершиной в |
|
точке (0, |
0); |
для |
x <0 : |
|
||
y = x2 + 2x = x2 + 2x +1 −1 =( x +1 )2 −1 |
– |
х |
параболу с вершиной в точке (-1, -1), (рис. 12).
Рис. 12
12. y = x2 + x −1.
Перепишем:
y = x2 + x +1 / 4 −1 / 4 −1 = (x +1 / 2)2 −1. График этой функции удобно по-
строить, сдвинув на –1 по оси ОУ график функции
y |
= |
|
(x +1 / 2)2 |
−1 |
/ 4 |
|
, |
y ≥0 , опустив модуль, |
||
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
имеем |
уравнение |
параболы с |
вершиной |
|||||||
(-1/2, |
|
|
-1/4). |
Для |
получения |
графика |
||||
y |
= |
|
(x +1 / 2)2 |
−1 |
/ 4 |
|
|
часть |
параболы, |
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лежащую ниже оси ОХ, отобразим на верхнюю полуплоскость (на рис. 13 у1 обозначен штрихами,
у= y1–1 – сплошной линией).
13. y = x2 −2 x −3 .
Для построения графика этой функции удобно воспользоваться симметрией. Так как график функции
y = x симметричен по оси ОY, x = y симметричен по
оси ОХ, удобно рассмотреть функцию в области x > 0 , y > 0 и полученный график отобразить на остальные
четверти. При x > 0 , |
y > 0 будем иметь: |
|||||||
y = |
|
x2 −2x −3 |
|
= |
|
(x −1)2 −4 |
|
парабола с вершиной в |
|
|
|
|
у
1/2 у1
х
у
Рис. 13
у
х
Рис. 14
точке (1, -4), нижняя часть которой отображена в верхнюю полуплоскость (рис. 14).
7
Решить уравнения.
14. x2 + 2x + x2 + x = 5 .
Перепишем уравнение:
х2+2х+1-1 =-(х2+х+1/4-1/4)+5; (х+1)2-1 =-(х+1/2)2+21/4.
y1 = |
( x +1 )2 −1 |
. |
у2=-(х+1/2)2+21/4. |
Решением являются |
|
точки пересечения графиков у1 |
и y2 |
(рис. 15.), т.е. решим |
|||
аналитически: x2 + 2x = −x2 − x −5 . 2x2 + 3x + 5 =0 . |
|||||
x1,2 = (−3 ± 9 +40 )= (−3 ±7) |
= −5 |
; 1. |
|||
4 |
|
4 |
2 |
|
Ответ: х1 = -5/2, х2 = 1.
у
5
х
Рис. 15
15. |
x +6 |
x −9 + |
x −6 |
x −9 = 6. |
|
|
|
||||||
|
Область допустимых значений: х≥9. Введем пере- |
|
|||||||||||
менную |
x −9 =t ; |
x −9 = t2 ; x = t2 + 9 х=t2+9; t≥0. |
|
||||||||||
Тогда имеем: |
|
t 2 +9 +6t |
+ |
|
t 2 +9 −6t |
= 6; |
|
||||||
(t +32 )+ |
|
(t −32 ) |
= 6 или t+3 =6- t-3 . |
у |
|||||||||
Последнее уравнение решим графически (рис.16). |
|||||||||||||
|
|||||||||||||
3≤t≤3, т.к. на этом участке y1 совпадает с |
y2 с уче- |
|
|||||||||||
том, что t ≥ 0 , x −9 ≤3. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Решим неравенство графически: |
|
|
|
|||||||||
y1 = |
x −9 ; |
y2 =3 (рис. 17), y1 = y2 ; |
x −9 = 9 ; |
|
|||||||||
x =18 . |
|
9 ≤ x ≤18 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
у1 |
|
у2 |
|
t
Рис. 16.
9 |
18 |
х |
|
Рис. 17 |
|
16. Решить неравенство:
|
x −7 ≤3 − x −4 . |
|
|
|
|
у |
|
|
|
у1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решим графически. Область допустимых |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
значений: x |
≤ 4 . Введем функции: |
|
|
|
|
|
|
|
у2 |
||||||||||
|
|
|
y2 =3 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
у1= х-7 ; |
|
|
x −4 |
|
|
(рис. |
18). у2≥0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
х1 |
|
|
х2 |
х |
|||||||||||||
x1 ≤ x ≤ x2 . |
|
x1 |
находим |
из |
уравнения: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 18 |
|
|
||
7 − x =3 − |
|
x −4 ; 4 − x = − |
x −4 ; 16-8х+х2=х-4; |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
= |
9 ± |
|
|
|
=5; 4 . |
|
|
|
|
|
|||
х2-9х+20=0; |
|
|
|
x |
81−80 |
x |
2 |
находим |
из |
уравнения |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x −7 =3 − |
|
|
|
; |
x −10 = − |
x −4 ; х<10, |
т.к. левая часть отрицательна, имеем |
|||||||||||||
|
|
x −4 |
||||||||||||||||||
после |
возведения |
|
обеих |
частей в |
квадрат: x2 − 20x +100 = x −4 ; |
|||||||||||||||
x2 − 21x +104 =0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x = |
21± |
|
|
441−416 |
|
= |
21±5 |
=13; 8. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1,2 |
|
|
|
|
2≤ x ≤8 . |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ: 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
17. 3 x +1 −3 ≥ x2 −2x −3 .
Решение начинаем с области допустимых значений:
1)х+1≥ 3 – решаем неравенство графически (рис. 19). x ≤ −4, x ≥ 2 ;
2)x −2x −3 ≥ 0; (x −1)2 −4 ≥ 0 , (рис. 20) x ≥3; x ≤ −1.
|
|
у |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
3 |
х |
-4 |
|
2 |
-4 |
-1 |
2 |
х |
-3 |
|
|
-1 |
3 |
|
|
Рис. 19 |
|
|
Рис. 20 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис. 21. |
|
Таким образом, имеем область допустимых значений Возвращаемся к основному неравенству. Возведем
обе части в квадрат, получаем: 9( х+1 -3) ≥ х2-2х-3. Решим это неравенство графически (рис. 22.):
у1=9 х+1 -27; |
y2 =(х-1)2–4, |
т.е. у1 пересекает y2 в |
||||||||||
одной точке, которую находим из уравнения: |
||||||||||||
9 (х+1) –27=х2-2х-3; х2-11х+15=0; |
||||||||||||
x =11± |
|
= |
11± |
|
|
|
; |
11± |
|
|
<3. |
|
121−60 |
61 |
61 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1,2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ответ: 3 ≤ x ≤( 11 + 61 ) / 2 .
x ≥ 3 ; x ≤ −4 (рис. 21).
х
22
Рис. 22.
Рассмотрим график дробно-линейной функции. 18. у= (2х-3)/(х+2) .
Перепишем функцию:
у= (2х-3)/(х+2) = {2(х-3/2+2-2)} /(x+2) = {2(x+2)-(7/2)·2}/(x+2) = 2-7/(x+2) .
9
График этой функции получаем, смещая центр гиперболы в точку (-2, 2) с учетом, что коэффициент сжатия (-7), т.е. график располагается во второй и четвертой четвертях, причем часть гиперболы, лежащая ниже оси ОХ, отображается в верхнюю плоскость
(рис. 23).
19. (3х+1)/(х-3) <3.
ОДЗ: x ≠ 3. Умножим обе части неравенства на положительное число х-3 , будем иметь:
3х+1 <3 х-3 ; 3 х+1/3 <3 х-3 .
Знак неравенства не меняется. Построим графики у1= х+1/3 и у2= х-3 . Очевидно, что у1< y2 при x < x0 , x0 найдем из пересечения прямых:
x +1 / 3 = −x + 3 ; 2x = 3 −1 / 3; x |
= |
8 |
= |
4 |
||
2 3 |
3 |
|||||
(рис. 24). |
0 |
|
|
|||
4 . |
|
|
|
|
||
Ответ: x < |
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
у |
х |
Рис. 23 |
у
х0 х
Рис. 24.
Графический метод используют при решении уравнений, содержащих параметр. Рассмотрим следующие примеры:
20. При каких значениях |
a уравнение: |
|
ax −4 |
|
= x −3 имеет два решения? |
||||
|
|
||||||||
Введем обозначения |
y1 = |
|
ax −4 |
|
; |
|
y2 = x −3. Построим график функции y2 |
||
|
|
|
(рис.25). График у1>0 получаем отображением прямой у=ах-4, лежащей ниже оси ОХ, в верхнюю полуплоскость, a – угловой коэффициент;
a=tgα, где α - угол наклона прямой. Очевидно, что вершина графика ах-4 должна лежать между
точками (3, 0) |
и (4, 0), левая ветвь проходит через |
точку (0, 4), |
a >0, т.к. если a <0, то решений нет; |
при a =1 – одно решение, т.к. отображенный угол у1 параллелен графику у2; при a =4/3 – множество
решений, т.к. луч у1 совпадает с y2 .
Ответ: 1<a<4/3.
у |
|
у1 |
|
у2 |
х |
Рис. 25 |
|