Е.А. Волкова Теория вероятностей иматематическая статистика. Программа, методические указания и контрольные работы №7, 8 для студентов экономических специальностейзаочной формы обучения

40
замерам на неопасных участках		= 8,93 и S y2 =	6,20.
	∆ py
12. Проверить при уровне значимости α			= 0,01 гипотезу о ра-

венстве средних выхода летучих веществ углей V r (в %) для участков, опасных и неопасных по горным ударам. Для 10 опасных участков вы-

числены среднее значение Vxr = 17,0 и исправленная выборочная дис-

персия			Sx2 =	47,07. Для 13 участков, неопасных для горных ударов
		= 19,9 и S y2
	Vyr			= 98,42.
		13.	В лаборатории получены следующие результаты: nx = 15,
	x =	75,63, Sx2 =		4,81, ny = 15, y = 72,97 , S y2 = 5,52 . Существенно ли от-
личаются средние значения при уровне значимости α = 0,05?
		14.	Исследовался выход продуктов реакции. Получены следую-

щие результаты. При наличии реагента: x = 63,2 , DX = 1,14, nx = 10. Без применения реагента: y = 60 , DY = 0,35, ny = 12 . При уровне зна-

чимости α = 0,05 определить, существенно ли влияние реагента на выход продукта, т.е. существенно ли отличаются средние значения. Случайные величины X и Y имеют нормальное распределение.

15. Два токарных автомата изготавливают детали по одному чертежу. Из продукции первого станка было отобрано n1 = 9 деталей, а из продукции второго станка n2 = 11 деталей. Выборочные дисперсии

контрольного размера, определенные по этим выборкам, S12 = 5,9мкм2 и S22 = 23,3мкм2 . Проверить гипотезу о равенстве дисперсий при уровне значимости α = 0,05, при конкурирующей гипотезе: дисперсии не равны.

Список рекомендуемой литературы

1.Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статисти-

ка. – М.: Высш. шк., 1977.– 478 с.

2.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высш. шк., 1975.–334с.

3.Справочник по теории вероятностей и математической статистике/ Под ред. В.С. Ковелюк и др. – М.: Наука, 1985.

4.Сборник задач по математической статистике для втузов: Теория вероятностей и математическая статистика/Под ред. А.В.Ефимова.

–М.: Наука, 1990.– 471 с.

41

Приложение 1

					1	x	−		x 2
	Таблица значений функции Ф(x) =								2 dx
						∫ e
					2π	0
X	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)					x	Ф(x)
0,00	0,0000	0,32	0,1255	0,64	0,2389				0,96		0,3315
0,01	0,0040	0,33	0,1293	0,65	0,2422				0,97		0,3340
0,02	0,0080	0,34	0,1331	0,66	0,2454				0,98		0,3365
0,03	0,0120	0,35	0,1368	0,67	0,2486				0,99		0,3389
0,04	0,0160	0,36	0,1406	0,68	0,2517				1,00		0,3413
0,05	0,0199	0,37	0,1443	0,69	0,2549				1,01		0,3438
0,06	0,0239	0,38	0,1480	0,70	0,2580				1,02		0,3461
0,07	0,0279	0,39	0,1517	0,71	0,2611				1,03		0,3485
0,08	0,0319	0,40	0,1554	0,72	0,2642				1,04		0,3508
0,09	0,0359	0,41	0,1591	0,73	0,2673				1,05		0,3531
0,10	0,0398	0,42	0,1628	0,74	0,2703				1,06		0,3554
0,11	0,0438	0,43	0,1664	0,75	0,2734				1,07		0,3577
0,12	0,0478	0,44	0,1700	0,76	0,2764				1,08		0,3599
0,13	0,0517	0,45	0,1736	0,77	0,2794				1,09		0,3621
0,14	0,0557	0,46	0,1772	0,78	0,2823				1,10		0,3643
0,15	0,0596	0,47	0,1808	0,79	0,2852				1,11		0,3665
0,16	0,0636	0,48	0,1844	0,80	0,2881				1,12		0,3686
0,17	0,0675	0,49	0,1879	0,81	0,2910				1,13		0,3708
0,18	0,0714	0,50	0,1915	0,82	0,2939				1,14		0,3729
0,19	0,0758	0,51	0,1950	0,83	0,2967				1,15		0,3749
0,20	0,0793	0,52	0,1985	0,84	0,2995				1,16		0,3770
0,21	0,0832	0,53	0,2019	0,85	0,3023				1,17		0,3790
0,22	0,0871	0,54	0,2054	0,86	0,3051				1,18		0,3810
0,23	0,0910	0,55	0,2088	0,87	0,3078				1,19		0,3830
0,24	0,0948	0,56	0,2123	0,88	0,3106				1,20		0,3849
0,25	0,0987	057	0,2157	0,89	0,3133				1,21		0,3869
0,26	0,1026	0,58	0,2190	0,90	0,3159				1,22		0,3883
0,27	0,1064	0,59	0,2224	0,91	0,3186				1,23		0,3907
0,28	0,1103	0,60	0,2257	0,92	0,3212				1,24		0,3925
0,29	0,1141	0,61	0,2291	0,93	0,3238				1,25		0,3944
0,30	0,1179	0,62	0,2324	0,94	0,3264				1,26		0,3962
0,31	0,1217	0,63	0,2357	0,95	0,3289				1,27		0,3980

42

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
1,28	0,3997	1,61	0,4463	1,94	0,4738	2,54	0,4945
1,28	0,4015	1,62	0,4474	1,95	0,4744	2,56	0,4948
1,30	0,4032	1,63	0,4484	1,96	0,4750	2,58	0,4951
1,31	0,4049	1,64	0,4495	1,97	0,4756	2,60	0,4953
1,32	0,4066	1,65	0,4505	1,98	0,4761	2,62	0,4956
1,33	0,4082	1,66	0,4515	1,99	0,4767	2,64	0,4959
1,34	0,4099	1,67	0,4525	2,00	0,4772	2,66	0,4961
1,35	0,4115	1,68	0,4535	2,02	0,4783	2,68	0,4963
1,36	0,4131	1,69	0,4545	2,04	0,4793	2,70	0,4965
1,37	0,4147	1,70	0,4554	2,06	0,4803	2,72	0,4967
1,38	0,4162	1,71	0,4564	2,08	0,4812	2,74	0,4969
1,39	0,4177	1,72	0,4573	2,10	0,4821	2,76	0,4971
1,40	0,4192	1,73	0,4582	2,12	0,4830	2,78	0,4973
1,41	0,4207	1,74	0,4591	2,14	0,4838	2,80	0,4974
1,42	0,4222	1,75	0,4599	2,16	0,4846	2,82	0,4976
1,43	0,4236	1,76	0,4608	2,18	0,4854	2,84	0,4977
1,44	0,4251	1,77	0,4616	2,20	0,4861	2,86	0,4979
1,45	0,4265	1,78	0,4625	2,22	0,4868	2,88	0,4980
1,46	0,4279	1,79	0,4633	2,24	0,4875	2,90	0,4981
1,47	0,4292	1,80	0,4641	2,26	0,4881	2,92	0,4982
1,48	0,4306	1,81	0,4649	2,28	0,4887	2,94	0,4984
1,49	0,4319	1,82	0,4656	2,30	0,4893	2,96	0,4985
1,50	0,4332	1,83	0,4664	2,32	0,4898	2,98	0,4986
1,51	0,4345	1,84	0,4671	2,34	0,4904	3,00	0,49865
1,52	0,4357	1,85	0,4678	2,36	0,4909	3,20	0,49931
1,53	0,4370	1,86	0,4686	2,38	0,4916	3,40	0,49966
1,54	0,4382	1,87	0,4693	2,40	0,4918	3,60	0,499841
1,55	0,4394	1,88	0,4699	2,42	0,4922	3,80	0,499928
1,56	0,4406	1,89	0,4706	2,44	0,4927	4,00	0,499969
1,57	0,4418	1,90	0,4713	2,46	0,4931	4,50	0,499997
1,58	0,4429	1,91	0,4719	2,48	0,4934	5,00	0,499997
1,59	0,4441	1,92	0,4726	2,50	0,4938
1,60	0,4452	1,93	0,4732	2,52	0,4941

Примечание к таблице:

1)Функция Ф(x) нечётная, то есть Ф(-x)= -Ф(x);

2)Ф(x)=0,5 при x > 5 .

Приложение 2

Вид гистограммы

Особенности

За-

Теоретический закон

Параметры

Теоретические

характеристик

кон

распределения

закона

частоты

mi

Н

mТ =

nh

ϕ

(t

) ,

xmax +

xmin

о

≈

x

р

1

− ( x− a)2

a =

x

i

σ

i

2

м

f (x) =

e

2σ

2

xi

− a

а

Sx

xmax

−

xmin

≈

S x

л

σ

2π

σ

=

−

где ti

=

σ

,

6

ь

a,σ

?

−

t

2

xi

н

1

ы

ϕ

(t) =

e

2

a

й

2π

mi

x −

xmin ≈

S x

о

1

a +

= x

к

f (x) =

λ e− λ ( x− a) , x ≥ a

λ

T

− λ (xi − a)

а

0, x <

a

1

mi

= nhλ e

з

=

Sx

а

λ

т

xi

е

л

a, λ

−

?

a

ь

н

ы

xmax +

xmin

й

a +

b

mi

≈

x

а

1

=

x

2

, x

[a,b]

в

f (x) =

b −

a

2

mT

=

nh

xmax

−

xmin

≈

S

н

0, x

[a,b]

b −

a

i

b − a

2

о

=

S x

x

м

2

3

е

xi

р

a, b – ?

a

b

н

ы

й

								1
																	Приложение 3
	Y	и
		н
		т	1,3-1,5	1,5-1,7	1,7-1,9	1,9-2,1	2,1-2,3	2,3-2,5	2,5-2,7	2,7-2,9
	X	е									m		x	m		2	y		x	m		y
		р			(1,8)		(2,2)	(2,4)	(2,6)	(2,8)
			(1,4)	(1,6)		(2,0)						i			i	xi mi		xi			i		xi
		в											i						i
		а
		л
		ы
	интервалы		1	2	3	4	5	6	7	8
	1 - 4	1	2								2		5			12,5	1,4			7,0
	(2,5)
	4 - 7	2	1	2	1						4		22			121	1,6		35,2
	(5,5)
	7 - 10	3		2	4	8					14		119			1011,5	1,9		226,1
	(8,5)
	10 - 13	4	1		2	3	6	5		1	18		207			2380,5	2,2		455,4
	(11,5)
	13 - 16	5					4	2			6		87			1261,5	2,3		200,1
	(14,5)
	16 - 19	6							5	1	6		105			1837,5	2,6		273,0
	(17,5)
	m j		4	4	7	11	10	7	5	2	50		545			6624,5			1196,8
	y j m j		5,6	6,4	12,6	22	22	16,8	13	5,6	104
	y 2j m j		7,84	10,24	22,68	44	48,4	40,32	33,8	15,68	222,96

2

Приложение 4

Задача

Гипотеза

Наблюдаемое значение статисти-

Критическая область при

ки, число степеней свободы

уровне значимости

α

=

0,05

1

2

3

4

1. Сравнение

Н0:

случайная вели-

Критерий Пирсона

χнабл2

>

χкр2

r

н

Т

2

предполагае-

чина распределена по

)

мого распреде-

предполагаемому за-

χ2

= ∑

(mi

− mi

2

miТ

ления

гене-

кону

i= 1

χкр. (n,α )по таблице "Кри-

ральной

сово-

Н1: случайная вели-

k =

r −

δ

−

1

тические

точки распреде-

ления χ2 [2, прил.5]

купности

с

теоретическим

чина не подчиняется

r − число

интервалов

вариацион-

предполагаемому

ного ряда, δ

− число

параметров

закону

распределения

2.Сравнение

Для

двух

генераль-

Критерий Фишера-Снедекера

F

>

F

дисперсий

ных совокупностей:

2

2

2

2

набл

кр

S x

S y

при S x

>

S y

нормальных

Fкр=Fp(k1,

k2)

"Квантили

Н0: σ

= σ

F =

S 2

S 2

при S 2

>

S 2

генеральных

x

y

распределения

Фишера"

y

x

y

x

совокупностей

Н1: σ x ≠ σ y

kx = nx − 1, k y = ny − 1

[4, прил.7]

Продолжение прил. 4

3

1

2

3

4

3. Сравнение

DX и DY известны

Критерий Стьюдента

zнабл >

zкр

средних

нор-

H0: MX =

MY

x

−

y

zкр

из уравнения

мальных

гене-

z =

ральных

сово-

H1: MX ≠

MY

DX

+

DY

Ф(z

кр

) =

(1 − α )

2

купностей

nx

ny

Функция

Ф(x)

по

табл.

«Таблица значений

функ-

1

x −

t2

ции Ф(x) =

∫ e

2

dt »

2π

0

[прил.1]

DX и DY неизвест-

t-критерий Стьюдента

Tнабл

>

Tкр

ны, но предполагает-

x

−

y

Tкр (α ,k) по табл. "Крити-

ся, что они равны.

Tнабл =

,

1

1

Н0: MX =

MY

S p

+

ческие точки

распределе-

nx

ny

ния Стьюдента (двусто-

Н1: MX ≠

MY

2

2

ронняя

критическая

об-

S 2p

= (nx − 1)Sx

+

(ny − 1)Sy

,

ласть)" [2, прил. 6].

nx +

ny − 2

k =

nx + ny −

2

Продолжение прил. 4

4

1

2

3

4

DX и DY неизвестны,

t-критерий Стьюдента

Tнабл >

Tкр

причем гипотеза об

x

−

y

Tкр (α , k) по табл. "Крити-

их равенстве

откло-

Tнабл =

,

S 2

S y2

няется.

ческие

точки

распределе-

Н0: MX = MY

x

+

ния Стьюдента (двусто-

nx

ny

ронняя

критическая об-

H1: MX ≠

MY

k =

(Sx2 nx +

S y2

ny )2

ласть)" [2, прил. 6].

(Sx2 nx)2

+

(S y2 ny )2

nx −

1

ny − 1

4.

Исследова-

Н0: результат x0 при-

Критерий Стьюдента

tнабл >

tкр

ние

грубых

надлежит

к

осталь-

t =

x0 −

x

,

tкр (α , k) из табл. "Крити-

ошибок из

ре-

ным наблюдениям

Sx

зультатов

на-

Н1: x0 не

принадле-

ческие

точки

распределе-

блюдений

k =

nx − 1

ния

Стьюдента" (одно-

жит к остальным на-

сторонняя

критическая

блюдениям

область) [2, прил.6]

Составители

Екатерина Анатольевна Волкова и др.

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Программа, методические указания и контрольные работы № 7, 8 для студентов экономических специальностей

заочной формы обучения

Редактор З.М. Савина

ЛР № 020313 от 23.12.96.

Подписано в печать 12.10.2000. Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 2,5. Тираж 550 экз. Заказ .

Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография Кузбасского государственного технического университета. 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.