Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов специальности 230500 - Социальный сервис и туризм

.pdf
Скачиваний:
47
Добавлен:
19.08.2013
Размер:
773.37 Кб
Скачать

Министерство образования российской Федерации

Кузбасский государственный технический университет

Кафедра прикладной математики

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Методические указания для студентов специальности 230500 - «Социальный сервис и туризм»

Составитель Е. Н. Грибанов

Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2001

-1-

СОДЕРЖАНИЕ

 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

 

 

Случайные события

 

1.

Элементы комбинаторики

4

2.

Алгебра событий

5

3.

Классическое определение вероятности

6

4.

Геометрическая вероятность

7

5. Теоремы сложения

8

6.

Теоремы умножения

9

7.

Формула полной вероятности

10

8.

Формула Байеса

12

9.

Схема независимых испытаний.

13

 

Формула Бернулли

 

 

10.

Наивероятнейшее число появления событий

14

11.

Локальная теорема Муавра-Лапласа

15

12.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

16

13.

Формула Пуассона

16

 

Случайные величины

 

14.

Закон распределения случайной величины

17

15.

Функция распределения

18

16.

Плотность распределения

20

17.

Математическое ожидание

22

18.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение

24

19.

Начальные и центральные моменты

26

20.

Равномерное распределение

29

21.

Нормальное распределение

30

22.

Биномиальное распределение

33

23.

Распределение Пуассона

34

 

Закон распределения редких явлений

 

 

24.

Показательное распределение

35

 

Закон больших чисел

 

25.

Лемма Маркова

36

26.

Неравенство Чебышева

37

27.

Теорема Чебышева

38

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

 

28.

Основные понятия математической статистики

41

29.

Вариационные ряды

42

30.

Графическое изображение вариационного ряда

44

-2-

31.Эмпирическая функция распределения

32.Средние величины

33.Медиана и мода

34.Показатели вариации

35.Эмпирические центральные и начальные моменты

36.Эмпирические асимметрия и эксцесс

37.Метод условных вариантов для расчёта основных числовых характеристик вариационного ряда

38.Статистическое оценивание параметров распределения

39.Основные свойства оценок

40.Оценка математического ожидания и дисперсии

41.Метод максимального правдоподобия

42.Метод наименьших квадратов

43.Распределение средней арифметической для выборок из нормальной генеральной совокупности. Распределение Стьюдента

44.Распределение дисперсии в выборках из нормальной генеральной совокупности. Распределение 2 Пирсона

45.Понятие доверительного интервала. Доверительная вероятность

46.Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии генеральной совокупности

47.Доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии генеральной совокупности

48.Доверительный интервал для дисперсии

49.Понятие статистической гипотезы. Общая постановка за дачи проверки гипотез

50.Ошибки, допускаемые при проверке статистических гипотез Уровень значимости статистического критерия

51.Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей при известной дисперсии.

52.Сравнение выборочных средних при неизвестной дисперсии генеральной совокупности

53.Сравнение выборочных дисперсий

54.Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия 2 (Пирсона)

55.Выборочный коэффициент корреляции и его свойства

46

47

49

51

52

53

54

56

57

58

61

62

64

66

68

69

70

71

73

74

75

77

78

80

85

-3-

56.Метод вычисления выборочного коэффициента корреляции для вариационных рядов

57.Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции

58.Эмпирическая и теоретическая линии регрессии

59.Значимость коэффициентов регрессии

59.Корреляционное отношение

Приложение

87

89

91

92

94

96

-4-

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Случайные события

1. Элементы комбинаторики

Факториал. Функция f (n), определенная на множестве целых, неотрицательных чисел, для которой f (0) = 1, f (n +1) = (n +1) f (n),

называется n-факториалом и обозначается n!. Для любого натурального n имеем n! =1 2 K n.

Пример 1. 6! =1 2 3 4 5 6 = 720.

Перестановки. Каждая последовательность n различных элементов с учётом их порядка называется перестановкой этих элементов. Число перестановок обозначается Pn и находится по формуле

Pn = n!.

Пример 2. Сколькими способами можно расставить шесть книг на полке?

Решение. Число способов равно числу перестановок из шести элементов, то есть Pn = 6! = 720 .

Размещение. Любой упорядочный набор k различных элементов множества М, содержащего n элементов, называется размещени-

ем k элементов из n. Число размещений обозначается символом Ak

и

 

 

n!

n

 

находится по формуле

Ak =

.

 

(n k)!

 

 

n

 

 

Пример 3. Сколькими способами можно распределить три первых места для восьми участвующих в соревновании команд?

Решение. Так как нас интересует, какая из команд займёт первое, второе и третье места, то есть порядок среди отобранных трёх команд, используем размещение. Тогда число способов найдём по

формуле

A83

8!

 

8!

=8 7 6 = 336 .

=

 

=

 

(8 3)!

5!

Сочетание. Любое подмножество из k различных элементов множества М, содержащего n элементов, называется сочетанием.

Число сочетаний обозначается символом Cnk и находится по формуле

Cnk =

n!

.

(n - k)! k!

 

 

-5-

Пример 4. Найти число способов отобрать три цветка из семи. Решение. Так как порядок среди цветов нам не важен, то ис-

пользуем сочетание. Число способов найдём по формуле

С73

7!

 

7 6 5

= 35 .

=

 

=

 

 

(7 - 3)! 3!

3 2 1

2. Алгебра событий О. 1. Событие называется случайным, если в результате опыта

оно может либо произойти, либо не произойти.

О. 2. Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта.

О. 3. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в данном опыте.

О. 4. События называются несовместными, если они не могут произойти в одном опыте.

О. 5. Событие А благоприятствует событию В, если из появления события А следует, что произошло событие В.

О. 6. События образуют полную группу, если в результате опыта произойдёт хотя бы одно из них.

О. 7. Событие С называется суммой событий А В, если оно состоит в появлении события А или появлении события В. Сумма событий обозначается С = А+ В.

О. 8. Событие С называется произведением событий А В, если оно состоит в появлении события А и появлении события В. Обозначается С = А В.

О. 9. Событие С называется разностью событий А В, если оно состоит в появлении события А и не появлении события В. Обозначается С = А- В.

О. 10. Событие А называется противоположным событию А, если оно состоит в не появлении события А.

О. 11. События называются равновозможными, если нет объективных оснований считать, одно более возможным чем другое.

О. 12. Равновозможные, несовместные образующие полную группу события называются исходами данного опыта.

-6-

3. Классическое определение вероятности О. 1. Вероятностью события называется численная мера степе-

ни объективной возможности появления этого события.

О. 2. (Классическое определение вероятности) Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов данного опыта.

Вероятность события А обозначается p(A). Тогда p(A) = mn , где m -

число благоприятных для появления события А исходов, n - число всевозможных исходов опыта.

Основные свойства вероятности

1.Вероятность достоверного события равна единице.

2.Вероятность невозможного события равна нулю.

3.Для любого события А его вероятность заключена в интервале

0 p(A)1.

4.Вероятность наступления противоположного события А равна

разности между единицей и вероятностью события А, то есть p(A) = 1 - p(A) .

Пример 5. Из урны, содержащей 12 чёрных и 8 белых шаров, наудачу вынуто два шара. Найти вероятность того, что они разного цвета.

Решение. Обозначим событие А – шары разного цвета, тогда по определению p(A) = mn . Но число всевозможных исходов равно чис-

лу способов отобрать два шара из двадцати, то есть n = C202 =1820! !2! = 20219 =190 . Число благоприятных исходов равно

числу способов отобрать один шар из 8 и один шар из 12, так как союз и, то общее число благоприятных исходов равно произведению m = C81 C121 = 7!8!1! 1112! !1! =8 12 = 96 . Поэтому искомая вероятность

m 96 48

равна p = n = 190 = 95 .

Пример 6. Из колоды карт наудачу вынуто две. Найти вероятность того, что они обе бубновой масти. Колода содержит 36 карт.

 

 

 

 

 

-7-

 

 

 

Решение. По классическому определению

вероятности имеем

p(A) = m , где m

=C

2

=

9!

= 9 8 =36, n = C 2

= 36 35

= 630.

n

 

9

 

 

 

36

2

 

 

 

 

 

7! 2! 2

 

 

Тогда p(A) =

36

=

2 .

 

 

 

 

630

 

35

 

 

 

 

4. Геометрическая вероятность

 

 

 

О. 1. Геометрической вероятностью события А называется от-

ношение меры области благоприятных исходов к мере области все-

возможных исходов.

 

 

 

 

 

 

p(A) = Sбл ,

В частности, для плоскости согласно определению

 

 

 

 

 

 

 

 

Sвс

где Sбл - площадь области благоприятных исходов, Sвс - площадь

области всевозможных исходов.

 

 

 

Пример 7. (Задача о встрече)

 

 

 

Два студента условились встре-

 

 

 

титься в определённом месте между

1300

 

 

12 и 13 часами. Пришедший пер-

 

 

 

 

 

вым ждёт второго в течение 15

 

 

 

минут, после чего уходит. Найти

 

 

 

вероятность того, что встреча

 

 

 

состоится, если каждый студент

1215

 

 

наудачу выбирает

момент

своего

 

 

 

прихода (в промежутке от 12 до 13

1200

1215

1300

часов).

 

 

 

 

 

Решение. Обозначим событие

 

Рис 1.

А

– студенты встретятся, тогда

 

 

противоположное событие А

- студенты не встретятся. Отложим по

оси Ох время прихода первого студента, по оси Оу время прихода

второго студента. Тогда точка области с координатами

(x; y) одно-

значно определяет время прихода обоих студентов. Студенты встре-

тятся, если выполнено условие x - y

1 . Построим две прямые ли-

 

 

 

 

 

 

4

 

 

нии x y = 1 y = x

1 и

x y = −1

y = x + 1 . Область, заклю-

4

 

 

 

4

4

 

4

 

чённая между этими линиями внутри квадрата, составляет область

благоприятных исходов события А Рис. 1. Для события Аобласть

-8-

благоприятных исходов согласно Рис. 1 состоит из двух прямоугольных треугольников с катетами, равными 6045 = 34 , общей площадью,

равной S = 2

3

 

3

=

 

9

. Область всевозможных исходов равна пло-

4

4

16

 

 

 

 

щади квадрата со стороной 1. Следовательно, площадь всевозможных

исходов равна

Sвс =1 1 =1.

Тогда вероятность события

 

равна

A

9

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(

 

)=

16

=

 

 

.

 

 

Поэтому

искомая

вероятность

равна

A

 

16

 

1

 

 

 

 

9

 

7

 

 

 

 

 

p(A)=1p(

 

)=1

=

.

 

 

 

 

A

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

5. Теоремы сложения Т.1. Для несовместных событий вероятность появления суммы со-

бытий равна сумме вероятностей. То есть p(A + B)= p(A)+ p(B).

Доказательство. Пусть опыт имеет n исходов, событию А благоприятствует k из них, а событию В - благоприятствует m. Тогда сумме событий А+В благоприятствуют m+k. Тогда

p(A + B)= mn+ k = mn + kn = p(A)+ p(B).

Пример 8. Вероятности получить на экзамене 5, 4, 3 соответственно равны 0,2; 0,3; 0,3. Найти вероятность успешной сдачи экзамена.

Решение. Обозначим события А – студент успешно сдал экзамен;

В; С; К – студент сдал экзамен на 5; 4; 3 соответственно. По условию

p(A)= p(B +C + K ). В силу несовместности событий В; С; К

и по

условию

p(B)= 0,2; p(C )= p(K )= 0,3 по теореме

имеем

p(A)= p(B +C + K )= p(B)+ p(C)+ p(K )=0,2 +0,3 +0,3 =0,8.

 

Т. 2. Для любых событий вероятность появления суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. То есть p(A+B)= p(A)+ p(B)p(A B).

Доказательство. Представим сумму событий А+В в виде суммы

несовместных событий A + B = A + B A , а событие В в следующем

виде B = B A + B A . Так как в обоих случаях события несовместны,

то, применяя первую теорему,

имеем

p(A + B)= p(A)+ p(B A);

p(B)= p(A B)+ p(B A), из

второго

равенства получаем

-9-

p(B A)= p(B)p(A B). Подставляя в первое, получаем оконча-

тельно p(A +B)= p(A)+ p(B)p(A B).

6. Теоремы умножения О. 1. Два события называются независимыми, если вероятность

появления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло второе событие.

О. 2. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любая комбинация из них независима.

О. 3. События называются зависимыми, если появление или не появление одного из них, изменяет вероятность появления другого.

О. 4. Вероятность события В, вычисленная в предположении осуществления события А, называется условной вероятностью события

В и обозначается pA (B).

Пример 9. Из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара, наудачу последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлечённый шар белый если известно, что первый извлечённый шар чёрный.

Решение. Обозначим события А – первый извлечённый шар чёрный, В - второй извлечённый шар белый. Для нахождения искомой

вероятности используем классическое определение pA (B)= mn , где

m- число благоприятных исходов, равное числу оставшихся после первого извлечения белых шаров, то есть m=2, а n- число всевозможных оставшихся шаров, то есть n=4. Тогда искомая вероятность равна pA (B)= 24 = 12 .

Т. 1. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычис-

ленную при условии, что первое событие произошло. То есть p(A B)= p(A) pA (B)= p(B) pB (A).

Доказательство. Пусть число всевозможных исходов опыта равно n. Из них событию А благоприятствует m из них. Совместному

появлению событий А и В благоприятствует k. Тогда pA (B)= mk , так

как число всевозможных исходов для этого условного события равно m (событие А произошло), число благоприятных исходов равно k

Соседние файлы в предмете Высшая математика