Основы математической статистики

Основные понятия:

Генеральная совокупность

Выборка

Варианта

Объем выборки (n)

Вариационный ряд

Статистика

Оценка

Статистический ряд частоты

Относительная частота

Полигон частоты

Смещенная, несмещенная оценка

Интервальная оценка

Точечные оценки

Гипотеза

Критерий

Доверительная вероятность

И т.д.

Генеральной совокупностью– называется совокупность объектов, произвольной природы, обладающих признаками доступными наблюдения и количественного измерения.

Объекты, входящие в генеральную совокупность называются элементами, а их общее число –объемом генеральной совокупности.

Примером генеральной совокупности может служить множество всех деталей, произведенных за большой промежуток времени.

Количество деталей произведенных за малый промежуток времени называется выборкой.

N– объем выборки генеральной совокупности.

n– объем выборки.

Выборкой- называется часть генеральной совокупности, отобранной для изучения.

Число элементов выборки называется объемомвыборки.

- элемент выборки

- выборка

- вариационный ряд.(РАНЖИРОВАННЫЙ)

Если элементы выборки расположены в порядке возрастания, то такую выборку называют вариационным рядом.

Пример:0,1,1,2,1,1,0,0,0,1 – выборка.n=10.

Вариационный ряд: 0,0,0,0,1,1,1,1,1,2;

Статистический ряд частоты (относительной частоты) – - относительная частота

	Варианта
	Частоты
	Относительная частота

Варианта– отдельно взятый элемент выборки.

- частота появления варианты ;

- объем,

Статистический ряд относительной частоты является оценкой ряда распределения.

Оценкой многоугольника распределенияявляется полигон относительной частоты.

Полигоном относительной частоты называется ломаная, вершиной которой являются точки.

Данные способы задания выборки имеет место, если выборка включает повторяющиеся элементы, её называют дискретной случайной величиной.

Если рассматривается непрерывная случайная величина, т.е. двух одинаковых элементов нет в выборке, в этом случае строится интервальный статистически ряд частоты.

1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,44; 1,49; 1,5;

[1,1; 1,4] (1,4; 1,5]

Интервальный статистический ряд частоты

интервал			…
n частоты

Гистограммой частоты (относительной частоты) называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длины h, а высота равна отношению(плотность частоты).

- плотность относительной частоты.

R–размах выборки.;

Разбивают промежуток на равные части: - длина интервала; . Обычно число интервалов не превышает значения 15.

В среднем количество интервалов от 7 до 15.

Примером гистограммы может служить:

Замечание: сумма площадей прямоугольников в гистограмме относительной частоты.

Гистограмма относительной частоты является оценкой функции плотности.

и отличаются площадью.

Эмпирической функцией распределения (на основе экспериментальных данных) называется функция , определенная для каждого значенияxотносительной частотой.

, где - объем выборки; - частота появления вариант, меньших, чемx.

Статистика– это функция от выборки.

Оценка– это разумным образом подобранная статистика.

Статистической оценкой(- тетта) - неизвестного параметратеоретического распределения называют функциюот наблюдаемых случайных величин.

Точечной оценкой- называют статистическую оценку, которая определяется одним числом, где– …

Результат nнаблюдений над количественным признакомx(выборка).

Оценки бывают несмещенными (хорошими), смещенными, состоятельными, эффективными, асимптотически устойчивыми и т.д.

- неизвестный параметр ()

- оценка неизвестного параметра (средняя оценка дисперсии и т.д.)

Оценки:

1. - выборочное среднее

2. - относительная частота (для вероятности)

3. выборочная дисперсия ;оценка дисперсии

4. ; - исправленная дисперсия

5. - исправленное среднее квадратическое отклонение

6. - выборочное средне квадратическое отклонение

7. - выборочный коэффициент вариации

8. - выборочный начальный момент k-того порядка

9. - выборочный центральный момент k-того порядка

10. - выборочный коэффициент асимметрии; ;

11. - выборочный эксцесс.

Пример:

Выборка задана в виде 7,5,5,6,5,3,3,3,6,3,3; n=11;

Вариационный ряд 3,3,3,3,3,5,5,5,6,6,7

Статистический ряд частоты (и относительной частоты)

	3	5	6	7
	5	3	2	1

1.

Выборочный характеристики:

Выборочное среднее арифметическое:

2.

Исправленная дисперсия:

3.

10.

Объем выборки равен n=10.

Замечание:если выборка задана в виде интервального статистического ряда, выборочные характеристики вычисляются по предыдущим формулам, гдезаменяется значением,средним значением интервала.

Если признак xописывается непрерывной случайной величиной и данные могут быть сгруппированы в виде интервального статистического ряда, то выборочные характеристики вычисляются по формулам.

Интервалы	Частота	Относительная частота	Середина интервала	Плотность частота	Плотности относительной частоты	Начальная частота
(5, 11) (11, 17) (17, 23) (23, 29) (29, 35)	18 25 14 8 2	18/67 25/67 14/67 8/67 2/67	8 14 20 26 32	18/6 25/6 14/6 8/6 2/6	18/402 25/402 14/402 8/402 2/402	18 43 57 65 67

L– нижняя граница модального интервала

h– длина интервала

- частота модального интервала

; - частота следующего и предшествующего

h– шаг;

n- объем выборки;

f– частота медианного интервала;

… нижняя граница медианного интервала

F*- накопительная частота, предшествующая медианному интервалу

Интервал от 11 до 17 – медианный интервал, потому что содержит значение .

Любое из этих значений можно взять как среднее значение выборки.

Построим гистограмму относительной частоты

Можно предположить, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону распределения.

Сумма всех площадей в прямоугольниках равна 1.

.