Б.Л. Герике Погрешности измерений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учереждение высшего профессионального образования

«КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра стационарных и транспортных машин

ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

ПОГРЕШНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ С ОДНОКРАТНЫМ И МНОГОКРАТНЫМ НАБЛЮДЕНИЕМ.

ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

Методические указания к практическому занятию № 2 по курсу «Метрология, стандартизация и сертификация» для студентов направления 550900 «Промышленная теплоэнергетика»

Составители Б. Л. Герике Р. Ю. Замараев

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 198 от 22.04.02

Рекомендованы к печати методической комиссией направления 550900 Протокол № 173 от 25.12.02

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2003

1

1. Цель работы

Изучение погрешностей измерений и средств измерений, знакомство с видами измерений, методами обработки и оценкой результатов измерений.

2. Теоретические положения

Измерение, направленное на изучение определенного свойства объекта, представляет собой познавательную процедуру. В ней выделяются три этапа:

-подготовка измерительного эксперимента;

-проведение измерительного эксперимента;

-обработка экспериментального материала.

Обработка результатов измерительного эксперимента представля-

ет собой заключительный этап измерительной процедуры, на котором по экспериментальным данным с помощью математических методов получают искомый результат измерения и характеристики его погрешности.

Погрешность измерения возникает вследствие воздействия многих факторов, сопутствующих измерению. Традиционная классификация погрешностей опирается на представления об основных факторах их вызывающих.

В табл. 1 представлена классификация погрешностей измерений и средств измерений. Такое представление позволяет исследовать источники составляющих погрешности, определить свойства и оценить их вклад в суммарную погрешность, а также при необходимости ввести поправки в результат измерения и организовать измерительный эксперимент таким образом, чтобы свести суммарную погрешность к допустимому уровню.

Методы обработки экспериментальных данных и определения точности результатов измерения зависят от вида измерения. Здесь может оказаться достаточным знание метрологических характеристик средства измерения или же потребоваться дополнительная статистическая обработка результатов. Общей остается форма представления результата измерения в виде интервала, в котором находится истинное значение измеренной величины. Причем любые значения из этого интервала равновероятно могут быть истинными.

2

Таблица 1

3. Оценка погрешности результата прямых измерений с однократным наблюдением

Если условия измерения считаются нормальными, то вероятность возникновения случайной погрешности, вызванной влиянием внешних факторов, можно считать равной нулю. Следовательно, не требуется проведения серии измерений для статистической обработки и устранения случайных погрешностей. В этом случае достаточно знать метроло-

где ∆и – инструментальная погрешность; ∆м – методическая погрешность; ∆отс – погрешность отсчитывания.

Инструментальная погрешность ∆и определяется

(2)

где ∆о – основная погрешность средств измерений; ∆д – суммарная дополнительная погрешность средств измерений, состоящая из суммы ряда слагаемых ∆д1, ∆д2, ... ∆дN, обусловленных влиянием различных факторов ξ1, ξ2, ... ξN; ∆дин – динамическая составляющая погрешности средств измерений; ∆вз – погрешность, обусловленная взаимодействием средств измерения с объектом измерения.

Информацию о пределе допускаемого значения основной погрешности дает важнейшая метрологическая характеристика средства измерения – класс точности, форма записи которого указывает на способ вычисления погрешности.

Если класс точности прибора задан одним числом q в круге (рис. 1, а), то предел основной абсолютной погрешности зависит от измеряе-

где х – отсчет измеряемой величины; q = δ = ∆о/х – допускаемая основная относительная погрешность, %.

Если класс точности прибора задан одним числом q, то предел основной абсолютной погрешности зависит от конечного значения рабочей шкалы средства измерения (для приборов с равномерной или сте-

где Хк – конечное значение рабочей шкалы, а допускаемая основная относительная погрешность δ = ∆о/х = q Хк/х, %.

Если класс точности прибора задан одним числом q в угольнике (рис. 1, б), то предел основной абсолютной погрешности зависит от длины рабочей шкалы средства измерения (для приборов с логарифми-

Погрешность некоторых средств измерений не может быть нормирована путем указания класса точности, поскольку они характеризуются сложным видом полосы погрешности, для описания которых ГОСТ 8.401-89 разрешает использовать специальные формулы нормирования погрешностей. В этих случаях необходимо внимательно изучать техническую документацию на соответствующий измерительный прибор.

а б

Рис. 1. Способы обозначения классов точности (форма и пример)

Пределами допускаемых дополнительных погрешностей ∆д могут быть:

-постоянное значение влияющей величины для всего рабочего диапазона средства измерения или постоянные значения влияющей величины для отдельных интервалов рабочего диапазона;

-отношение предела допускаемой дополнительной погрешности, соответствующего регламентированному интервалу значений влияющей величины, к ширине этого интервала;

-предельная функция влияния – зависимость предела допускаемой дополнительной погрешности от влияющей величины;

-функциональная зависимость пределов допускаемых отклонений от номинальной функции влияния.

Динамическая составляющая погрешности ∆дин возникает в тех случаях, когда информативный параметр измерительного сигнала изменяется во времени, а инерционные свойства (передаточная функция) средства измерений не позволяют его точно отобразить.

Погрешность, обусловленная взаимодействием средств измерений с объектом ∆вз, зависит от свойств средства измерений и объекта и учитывает влияние средства измерения на измеряемое свойство объекта.

Методическая составляющая погрешности ∆м обусловлена несоответствием принятой модели реальному объекту. Выявление источников и характера поведения методических погрешностей возможно при тщательном анализе принятого в конкретном эксперименте метода измерений.

Погрешность отсчитывания ∆отс в цифровых средствах измерения не превышает одного шага квантования шкалы и включается в состав основной погрешности ∆о. В аналоговых средствах измерения предельное значение погрешности отсчитывания определяется ценой деления

где k – коэффициент, определяемый округлением при отсчете (доля цены деления); С – цена деления шкалы.

По нормируемым метрологическим характеристикам средства измерения можно определить только предельные значения составляющих погрешности измерения ∆, т.е. такие, для которых с вероятностью Р → 1 можно считать, что их действительные значения не превосходят предельно допускаемых величин. Если предельные значения всех составляющих погрешности измерения двузначны и симметричны, то модуль предельного значения погрешности измерения находится путем арифметического суммирования модулей отдельных составляющих

Необходимо также помнить, что отсчет измеряемой величины x хотя и оказывается, таким образом, в середине интервала, тем не менее не может считаться лучшим приближением к истинному значению.

4. Погрешности прямых измерений с многократными наблюдениями

Когда условия измерения существенно отличаются от нормальных или стоит задача поиска, оценки и учета всех возможных влияющих на

В этом случае принятым средством измерения проводится серия измерений известного (желательно) фиксированного (обязательно) размера целевой величины.

Полученная выборка обрабатывается методами математической статистики по следующей схеме, исходя из предположения о нормальном законе распределения результатов измерения.

Находится оценка истинного значения µx результатов измерения как их среднее арифметическое

Значение Sx используется для характеристики точности результата

измерения некоторого свойства объекта, т.е. результата, полученного посредством математической обработки итогов целого ряда отдельных прямых измерений.

Для оценки погрешности многократных измерений пользуются понятиями доверительная вероятность и доверительный интервал. Эти два понятия связаны между собой и не могут быть использованы в отдельности.

Доверительной вероятностью называется такая вероятность, с которой результат отдельного измерения будет находиться в заданном интервале погрешности измерений, а доверительный интервал – это интервал разброса результатов измерений, в котором с заданной вероятностью находится значение отдельного результата эксперимента.

Если известен закон распределения вероятностей погрешностей измерения, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал распределения погрешности измерений. При числе опытов n ≤ 20 для определения доверительного интервала при заданной доверительной вероятности используют квантили α-распределения Стьюдента (табл. 2), при n > 20 – квантили нормального закона распределения.

По заданной доверительной вероятности Р и известному числу опытов определяется квантиль распределения, с помощью которого вычисляются верхняя xн и нижняя xв границы доверительного интер-

вала

Аналогично случаю однократных измерений оценка математического ожидания x не является лучшим приближением к истинному значению.

5. Погрешности косвенных измерений

При косвенном методе измерений результаты, полученные прямыми измерениями, являются исходными данными для дальнейших вычислений.

6. Правила округления результатов измерений

Поскольку погрешности измерений определяют лишь зону неопределенности результатов, их не требуется знать очень точно. В окончательной записи погрешность измерения принято выражать числом с одним или двумя значащими цифрами. Эмпирически были уста-

чения погрешности и полученного результата измерения. Погрешность результата измерения указывается двумя значащими

цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной – если первая цифра равна 3 или более.

Результат измерения округляется до того же десятичного знака, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности. Если десятичная дробь в числовом значении результата измерений оканчивается нулями, то нули отбрасываются до того разряда, который соответствует разряду числового значения погрешности.

Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов меньше 5, то остальные цифры числа не изменяются. Лишние цифры в целых числах заменяются нулями, а в десятичных дробях отбрасываются.

Если цифра старшего из отбрасываемых разрядов больше или равна 5, но за ней следуют отличные от нуля цифры, то последнюю оставляемую цифру увеличивают на единицу.

Если отбрасываемая цифра равна 5, а следующие за ней цифры неизвестны или нули, то последнюю сохраняемую цифру числа не изменяют, если она четная, и увеличивают на единицу, если она нечетная.

Округление производится лишь в окончательном ответе, а все предварительные вычисления проводят с одним-двумя лишними знаками.

Если руководствоваться этими правилами округления, то количество значащих цифр в числовом значении результата измерений дает возможность ориентировочно судить о точности измерения. Это связано с тем, что предельная погрешность, обусловленная округлением, равна половине единицы последнего разряда числового значения результата измерения.

Для оценки влияния округления результата измерения Y представим его в виде:

ем, ∆ = 0,5 10P . В качестве оценки относительной предельной погрешности округления рекомендуется принять