М.С. Клейн Научные основы инженерной деятельности

10

Решение. По формулам 1, 2 и 3 рассчитываем х = 9,2; Sх = 0,415; S х = 0,11.

По формуле 9 находим tр = ( 9,2 - 9,0 ) / 0,11 = 1,82.

При р = 95 % и f = 14 – 1 = 13 табличное значение критерия tт = 2,16 ( приложение 1 ).

tp < tт .

Следовательно, имеющиеся различия между показаниями рНметра и эталонным значением вызваны случайными причинами.

3.2.2. Работу двух аппаратов или технологических режимов часто приходится сравнивать в сильно варьирующихся условиях, например, при изменении качества исходного сырья, погодных условий и т.п. Попарное сопоставление результатов, полученных в одинаковых условиях, позволяет исключить вариацию, связанную с влиянием других факторов. При этом оценивается не расхождение средних х - у, а разность пар наблюдений ∆i = хi - yi. Вариационный ряд ∆ рассматривается как самостоятельный со своим средним, дисперсией и числом степеней свободы f = N - 1, где N - число пар наблюдений. Тогда расчетное зна-

чение t - критерия находится по формуле
t∆p = | ∆| / S ∆ .	(10 )

Если t∆ p < tт, то различия между сравниваемыми выборками нет. Пример. На двух параллельных секциях испытывали два новых реагента А и В. По производственным причинам исходное питание и режим работы оборудования были неустойчивыми. Поэтому полученные результаты сравнивались попарно для каждой смены. Содержание

металла в хвостах приведено в таблице.

Значимо ли в среднем различие в результатах при применении разных реагентов?

Решение. Определяем разность для каждой пары ∆ и находим по

формулам 1, 2 и 3 значения ∆	и S ∆.
∆ = 7,2 / 7,0 = 1,03;	S ∆ = 2,86 / 7(7−1) = 0,26.

По формуле 10 находим t∆p = 1,03 / 0,26 = 3,96.

Для f =7 - 1 = 6 и р = 95 % tт = 3,71(приложение 1).

t∆p > tт.

Следовательно, различие качества хвостов, полученных при использовании реагентов А и В, является следствием различной эффективности реагентов.

11

Содержание металла в хвостах, %

Смена	Реагент А	Реагент В	Разность ∆	( ∆ -∆ )2
1	11,9	9,4	2,5	2,25
2	10,2	9,2	1,0	0
3	9,5	8,9	0,6	0,16
4	10,5	9,5	1,0	0
5	15,6	14,4	1,2	0,04
6	9,9	9,5	0,4	0,36
7	16,7	16,2	0,5	0,25
Сумма	84,3	77,1	7,2	2,86
Среднее	12,04	11,01	1,03

3.2.3. Сравнение средних значений двух выборок состоит в рассмотрении их совместного доверительного интервала. Пусть имеются две статистические выборки: Х с параметрами х, S2х и Nх и У с пара-

метрами у, S2у и Nу.
Если дисперсии S2х и S2у различаются незначимо, вычисляют
среднее взвешенное двух дисперсий
S 2( х - у ) = [(Nx - 1)S2x + (Ny - 1)S2y ]/(Nx + Ny - 2)	(11)
и расчетное значение критерия Стьюдента

tp =(x−y) Nx ×Ny (Nx +Ny ) S2− . (12)

(x y)

Число степеней свободы f = Nx + Ny - 2.

Пример. При опробовании двух блоков было определено содержание цинка в руде (в %) и получены следующие результаты обработки данных:

I блок - х = 2,8; Sх = 0,23;	Nx = 5.
II блок - у = 2,0; Sy = 0,4;	Ny = 6.

Есть ли различие между блоками по содержанию в них металла?

Решение. По формулам 11 и 12 находим

S 2 = ( 4 0,053 + 5 0,16) / (5 + 6 - 2 ) = 0,112; tp = ( 2,8 -2 ) 5×6/(5+6)/0,334 = 3,96;

12

f = 5+ 6 - 2 = 9.

По приложению 1 находим tт = 2,26.

tр > tт.

Следовательно, расхождение между содержанием металла в блоках надо считать значимым.

3.2.4. В некоторых случаях необходимо сравнивать не средние двух выборок, а рассеивание относительно средних, т.е. дисперсии. Для нормального распределения это сравнение производят с помощью критерия Фишера F, который вычисляется как отношение двух дисперсий:

Fр = S 21 / S 22.	( 13 )
В числитель всегда ставится большая дисперсия.
Табличное значение Fт определяем по приложению 2	в соответ-
ствии с числом степеней свободы выборок f1 и f2.

Если Fp > Fт , то различие сравниваемых дисперсий считают значимым с вероятностью р.

Пример. Сравним рассеивание результатов флотационных опытов, проведенных на двух машинах с объемом камер V1 = 100 cм3 и V2 = 200 см3. На каждой машине проведено по 18 опытов, по результатам которых подсчитаны значения ε1 = 74,53 %; S21 = 102,20;

ε2 = 78,15 %; S22 = 40,07.

Решение. По формуле 13 находим

Fp = 102,20 / 40,07 = 2,52.

При числе степеней свободы f1 = 17 и f2 =17 по приложению 2 находим Fт = 1,5. Так как Fp > Fт, можно утверждать, что различие дисперсий определяется различной работой флотомашин.

3.3.Непараметрические критерии сравнения

3.3.1.Проверка по числу выступающих точек. Эта проверка ис-

пользуется для сравнения двух групп наблюдений (выборок) при условии различия средних. Критерий весьма прост и позволяет быстро производить сравнение. При этом необходимо, чтобы наибольший и наименьший результаты замеров находились в разных выборках.

Алгоритм проверки следующий:

-ранжировать (выстроить в порядке возрастания) в один ряд замеры обеих выборок;

-подсчитать в выборке с большей средней число замеров а, которые превосходят максимальный замер в другой ;

13

- подсчитать в выборке с меньшей средней число замеров в, которые меньше минимального замера в другой.

Если сумма а + в < 7, различия между выборками нет при доверительной вероятности р = 95 %. При доверительной вероятности 90 и 99 % критическая сумма соответственно равна 4 и 10.

Пример. Определялось содержание металла β в хвостах схем А и

В, % :							βа = 13,9
А	13,8	13,9	14,6	13,6
В	15,7	15,4	16,1	16,3	14,2		βв = 15,5
Установить, достоверно ли различие в среднем качестве хвостов
по обеим схемам, или это различие случайно.
Решение. Ранжируем результаты выборок:
А	13,6	13,8	13,9	-	14,6	-	-	-	-
В	-	-	-	14,2	-	15,4	15,7	16,1	16,3

Выборка В превосходит крайнее значение выборки А на а = 4 точки. Выборка А меньше крайнего значения выборки В на в = 3 точки. Сумма крайних точек а + в = 7 свидетельствует при р = 95 % о значимости различия схем.

3.3.2. Оценка по числу знаков отклонений. Этот критерий приме-

ним для попарного сопоставления результатов, полученных в одинаковых условиях.

Алгоритм сравнения следующий:

-сравнить каждую пару замеров и поставить « + », если А > В,

«- », если А < В, и нуль, если А = В;

-подсчитать количество плюсов п+ и количество минусов п-;

- найти D = п+ - п- и N = п++ п-;

- сравнить D с величиной k N. . Если D > k N. , то различие между выборками есть. При доверительной вероятности 90; 95 и 99 % k соответственно равно 1,6; 2,0 и 2,6.

Пример. Каждую пробу руды анализировали двумя методами химического анализа А и В. Содержание металла в руде по 10 пробам сле-

дующее (в %):
А	36,8	36,9	36,6	36,7	36,1	35,1	37,9	36,3	36,0	37,0
В	36,5	36,3	37,2	37,5	35,8	34,3	38,1	35,5	36,0	36,2
Знак	+	+	-	-	+	+	-	+	0	+

Различаются ли результаты методов ?

Решение. Для каждой пары замеров ставим знак соотношения и определяем п+ = 6 и п- = 3. D = 6 –3 = 3. N = 6+3 = 9. При р=95 %

14

k N. = 2 9 = 6. В данном случае D < k N. , различия в методах нет.

Литература [1, с.118-128; 3, с. 10-32]

4. РЕГРЕССИОННЫЙ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗЫ

При изучении зависимости между двумя величинами, каждая из которых подвергается случайному рассеиванию, применяются методы корреляционного анализа. Корреляционный анализ изучает усредненный закон поведения каждой из величин в зависимости от значений другой величины, а также меру зависимости между рассматриваемыми величинами. Сопоставляя каждому значению одной величины, скажем х, среднее из соответствующих значений другой величины, скажем у,

мы получаем функцию регрессии.

На всем диапазоне изменения х величина у распределяется в виде более или менее четко очерченной области, которая называется корреляционным полем распределения. Если найти средние значения уi в некоторых интервалах х и соединить полученные точки ломаной линией, получим эмпирическую линию регрессии. Если получить математическую модель (уравнение регрессии) у = f(х) и изобразить соответствующий график, будем иметь теоретическую линию регрессии.

Разброс экспериментально наблюдаемых точек относительно ли-

ний регрессии характеризуется остаточной дисперсией

S2y ост = Σ( уi - уti )2/ (N - k - 1) (14) (где уi - экспериментальное значение у; уti - теоретическое значение у,

рассчитанное по уравнению регрессии; k - число коэффициентов в уравнении регрессии), а также безразмерной величиной - корреляционным отношением

η = (Sy2 −Sy2.ост)/ Sy2

(15)

(где S2y – дисперсия воспроизводимости, которая находится по формуле 3), представляющим собой характеристику тесноты связи: чем ближе расположены экспериментальные данные к линии регрессии, тем теснее связь и тем больше корреляционное отношение, изменяющееся в интервале 0 ÷ 1.

Можно получить уравнения регрессии почти любого вида, например, в виде полинома любой степени, экспоненты, гиперболы и т.д. Как

15

правило, форма связи математически не выбирается. Можно лишь проверить, насколько хорошо удовлетворяет выбранная форма связи экспериментальным точкам.

Для определения коэффициентов в уравнении регрессии используется метод наименьших квадратов, который устанавливает, что сумма квадратов разностей между экспериментальными и теоретическими точками стремится к минимуму.

N	(16)
L = ∑ ( yi - yti)2 → min.

i=1

Для полинома первой степени уti = ao + a1xi коэффициенты ао и а1 определяют решением системы уравнений:

		N	N
		∑yi =a0 N +a1	∑xi
		i=1	i=1
	N	N	(17)
			xi + a1 ∑ x2i.
	∑ yixi = ao ∑
			N
	i=1	i=1	i=1

Для записи систем уравнений для полиномов любой степени существует правило: необходимо записать столько уравнений в системе, сколько неизвестных коэффициентов в искомом уравнении, всякий раз суммируя произведения членов исходного уравнения на переменную при искомом коэффициенте.

Для других видов функций пользуются преобразованиями исходных данных, позволяющих использовать систему линейных уравнений.

Например, если необходимо получить уравнение вида									у = а/х, то, вво-
дя новую переменную z = 1/x, получаем уравнение y = az,										для которо-
го легко записать систему.
Пример. Найти уравнение регрессии вида у = аbx, если получены
результаты
х......1,0 2,5 2,8	1,2	2,4	2,9	1,7	2,8	1,8	2,6	2,2	3,0	2,1
у....... 15 19 20 16 28			29	25	22	28	25	20	28	21
Решение.	Заменяем		переменные, выполнив						преобразование
lg y = lg a + x lg b:		lg y = z,		lg a = d,		lg b = k.		Oтсюда z = d + kx.
Записываем систему из двух уравнений:
	N			N
	∑ zi = dN + k∑xi
	i=1			i=1

16

			N			N		N
			∑zixi = d∑xi + k					∑x2i .
			i=1			i=1		i=1
	Расчетные данные для решения системы уравнений сводим в таб-
лицу:
	N		х		Z = lg y		zx			х2	у	уt
	1		1,0		1,18		1,18			1,00	15	16,9
	2		2,5		1,28		3,20			6,25	19	23,2
	3		2,8		1,30		3,64			7,84	20	24,7
	4		1,2		1,20		1,44			1,44	16	17,6
	5		2,4		1,45		3,47			5,76	28	22,7
	6		2,9		1,46		4,24			8,41	29	25,2
	7		1,7		1,40		2,38			2,89	25	19,5
	8		2,8		1,34		3,76			7,84	22	24,7
	9		1,8		1,45		2,61			3,24	28	20,6
	10		2,6		1,40		3,63			6,76	25	23,6
	11		2,2		1,30		2,86			4,84	20	21,7
	12		3,0		1,45		4,34			9,00	28	25,8
	13		2,1		1,32		2,76			4,41	21	21,2
	Сумма		29		17,53		39,53			69,68	-	-
	Подставляем полученные данные в систему уравнений
			17,53 = 13d + 29k
			39,53 = 29d + 69,68k
и решаем ее:			k = 0,088 и d = 1,152.

Следовательно, получено уравнение z = 1,152 + 0,088 х.

Т.к. d = lg a = 1,152, то а =14,19; k = lgb = 0,088, то b = 1,225.

Отсюда записываем искомое уравнение у =14,19 1,225 х, для которого находим у = 22,8, Sy = 4,75.

Используя записанное уравнение для каждого значения х, определяем расчетное значение уt и по формуле 14 находим остаточную дисперсию

S2ост = ( 1,92 + 4,22 + 4,72 + + 0,22 )/ (13 - 2 - 1) = 19,39.

Корреляционное отношение находим по формуле 15

η = (22,56−19,39) 22,56= 0,38.

17

Сглаживание эмпирических данных. Исходные экспериментальные точки парной зависимости часто сильно разбросаны относительно кривой и количество их велико. Поэтому их целесообразно предварительно выровнять методом скользящей средней. Предположим, дан ряд значений у и х и каждому значению хi соответствует всегда одно значение уi. При выравнивании по трем последовательным точкам находят среднее:

у2 = (у1 + у2 +у3)/ 3; у3 = (у2 + у3 + у4)/ 3 и т. д.

В результате выравнивания получится новый ряд средних значе-

ний у: у2 → х2 , у3 → х3 , . . ., уп-1 → хп-1. Выравнивание можно производить по различному количеству точек (2, 3, 4, 5 и т. д.). Выровнен-

ный ряд можно повторно сгладить. После каждого выравнивания уменьшается разброс точек. Кривая, проведенная по скользящим средним, близка к кривой, полученной по методу наименьших квадратов. При этом резко сокращается объем вычислений.

Пример. Результаты экспериментов представлены следующими

данными:
х ..................1	2	5	7	10	14	18	22	26	29
у ................ 0,1	3,0	2,3	5,2	5,5	8,0	7,0	9,0	8,6	9,8

Произвести усреднение точек методом скользящей средней. Решение. Располагаем опыты по возрастанию х ( в условиях при-

мера записаны уже ранжированные данные) и находим скользящие

средние:
у2	= (0,1 + 3,0 + 2,3)/ 3 = 1,8,		у3 = (3,0 + 2,3 + 5,2)/ 3 = 3,5,
у4	= 4,5, у5 = 6,2,	у6 = 7,3,	у7 =8,0, у8 = 8,2, у9 = 9,1.

Строим кривые (рисунок) по экспериментальным точкам и по точкам, выровненным методом скользящей средней.

18

Кривые, построенные по экспериментальным точкам (кр.1), и по точкам, выровненным методом скользящей средней (кр.2)

Литература [1, с. 166-169; 3, с. 43-49; 8, с. 56-62]

5.ПЛАНИРОВАНИЕ ФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

5.1.Необходимые условия планирования эксперимента

Целью проведения факторных экспериментов является определение значения факторов, при которых конечная функция (параметр оптимизации) принимает экстремальное значение (max или min).

Планирование эксперимента - это постановка опытов по некоторой заранее составленной схеме (матрице), обладающей специальными свойствами. Оно предполагает применение математических методов на всех этапах: при анализе априорной информации, планировании эксперимента, обработке его результатов и принятии решений.

При активном планировании эксперимента все факторы, определяющие процесс, изменяют одновременно в соответствии с правилами планирования, а результаты эксперимента представляют в виде математической модели. При этом, возможно выделить влияние каждого отдельного фактора и их взаимодействие на изменение выходных параметров процесса.

Применение методов планирования эксперимента возможно при следующих ограничивающих условиях:

19

-существует выходной параметр процесса, количественно определяющий его эффективность;

-функция отклика (выходной параметр) непрерывна;

-функция отклика одноэкстремальна, т.е. существует одно оптимальное соотношение факторов, при котором она имеет максимальное (минимальное) значение;

-известны все факторы, существенно влияющие на процесс, а факторы, планируемые в эксперименте, управляемы;

-результаты опытов воспроизводимы.

5.2.Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

ПФЭ позволяет оценивать линейные эффекты и эффекты взаимодействия при большом числе независимых переменных. В ПФЭ для каждого фактора выбирается определенное число уровней К (значений фактора) и затем осуществляются все возможные комбинации уровней. Общее количество опытов N в ПФЭ при числе факторов n определяется по показательной функции: N = K n.

При варьировании каждого фактора только на двух уровнях,

верхнем (+1) и нижнем (-1), число возможных комбинаций сокращает-

ся: N = 2n.

ПФЭ позволяет оптимально использовать пространство независимых переменных: снизить погрешность определения коэффициентов и получить элементарно простые формулы для их вычисления. Однако число опытов, необходимое для реализации ПФЭ, в ряде случаев оказывается неприемлемо большим. Например, если число факторов равно 10, то необходимое число опытов N = 210 =1024. Поэтому желательно сократить число опытов, но так, чтобы матрица эксперимента не потеряла своих оптимальных свойств.

Возможность сокращения числа опытов появляется при замене эффектов взаимодействия в плане ПФЭ на эффекты дополнительных факторов. Такой эксперимент называется дробным факторным экспериментом (ДФЭ). Факторный план ДФЭ может быть уменьшен по сравнению с планом ПФЭ в кратное двум количество раз. Матрица ДФЭ представляет собой 1/2, 1/4, 1/8 и т.д. реплику.

Количество опытов в ДФЭ N = 2 k-p, где k - общее число факторов, а p - число эффектов взаимодействия, замененных новыми факторами.