В.Д. Моисеенко Определение перемещений в балке

Министерство образования Российской Федерации Государственное учреждение

Кузбасский государственный технический университет Кафедра сопротивления материалов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В БАЛКАХ

Методические указания для выполнения расчетно-графического задания по курсу сопротивления материалов

для студентов всех специальностей

Составители В.Д. Моисеенко С.А. Сидельников

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 27.06.02

Рекомендованы к печати методической комиссией по направлению 550100 Протокол № 16 от16.10.02

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2003

1

1. Введение

Расчет балок на жесткость при изгибе имеет не меньшее значение, чем расчет на прочность. Анализ деформации балки при прямом изгибе показывает, что при приложении к ней поперечной нагрузки продольная ось балки искривляется в плоскости действия нагрузки, а поперечные сечения перемещаются. Искривленная ось балки называется изогнутой осью или упругой линией. Новые положения сечений характеризуются линейными и угловыми перемещениями, показанными на рис.1.

q

P

V (z)

ℓ

Рис. 1. Перемещения при изгибе

Перемещение центра тяжести сечения по направлению, перпендикулярному к продольной оси недеформированной балки, называется прогибом балки в данном сечении и обозначается V.

Угол, на который сечение поворачивается по отношению к своему начальному вертикальному положению, называется углом поворота сечения и обозначается θ.

Расчет балок на жесткость при изгибе заключается в определении наибольших упругих линейных и угловых перемещений поперечных сечений от заданной нагрузки и сопоставлении их с соответствующими допускаемыми перемещениями, зависящими от назначения и условий эксплуатации балок. Иначе говоря, требуется обеспечить соблюдение условия жесткости, выраженного неравенствами:

где [V] и [θ] - допускаемые значения прогиба и угла поворота.

2

Цель задания «Изогнутая ось балки» - получение навыков определения линейных и угловых перемещений в балках основными методами: методом начальных параметров и методом Максвелла – Мора (по способу Верещагина).

2. Теоретические основы метода начальных параметров

Приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки имеет вид

где EIx – жесткость сечения балки при изгибе; V″ – вторая производная от прогиба V по абсциссе сечения; Миз – изгибающий момент в произвольном сечении.

Уравнение (2.1) может иметь два знака, потому что знак кривизны (V″ ≈ 1/ρ) изогнутой оси балки может не совпадать со знаком изгибающего момента. Знак кривизны зависит от направления осей координат, знак изгибающего момента выбирается в зависимости от того, где расположены растянутые волокна. При направлении оси прогибов вверх знак изгибающего момента согласуется со знаком кривизны, которая положительна при вогнутой форме и отрицательна при выпуклой форме (рис. 2, а).

Рис. 2. Зависимость знака кривизны от координатных осей

В таком случае уравнение изогнутой оси балки записывается со знаком плюс в правой части EIxV″ = Mиз. При направлении оси прогибов

4

Следовательно, постоянная интегрирования D численно равна прогибу V0 в начале координат балки, умноженному на жесткость сечения EIx.

Постоянные интегрирования С и D определяются из условий опирания балки на опорах, где граничные условия зависят от типа расчетной схемы балки.

Для балок с несколькими участками дифференциальное уравнение изогнутой оси балки не имеет одного аналитического выражения и записывается раздельно для каждого участка. При n участках в балке раздельное интегрирование n дифференциальных уравнений приводит к получению 2n постоянных интегрирования.

Рассмотренные ниже правила, предложенные Клебшем, используемые при составлении дифференциального уравнения изогнутой оси балки и последующем его интегрировании, позволяют уравнять постоянные интегрирования по всем участкам балки и свести их количество к двум, С и D:

Начало координатных осей выбирается на одном из концов балки и является общим для всех участков.

Выражение изгибающего момента записывается с учетом нагрузок, расположенных между началом координатных осей и текущим сечением с координатой z на последнем участке.

Равномерно-распределенная нагрузка, не распространяющаяся на последующие участки, продлевается до конца балки с условием приложения в пределах продленной части компенсирующей равномерно – распределенной нагрузки противоположного направления.

Внешний сосредоточенный момент умножается на фиктивное плечо вида (z - a)°, где а – координата сечения приложения внешнего сосредоточенного момента.

Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки производится без раскрытия скобок.

При определении постоянных интегрирования С и D из граничных условий, а также при определении прогибов и углов поворота в расчетных сечениях используется «правило отрицательного аргумента». Согласно этому правилу не учитываются слагаемые, содержащие аргумент вида (z – a), (z – b), (z - c) и т.д., принимающий отрицательное значение независимо от его показателя степени. Здесь а, b, с – координаты сечений приложения различных нагрузок.

b

c

z

ℓ

V

Рис. 3. Правила Клебша при составлении дифференциального уравнения изогнутой оси балки

В случае определения перемещений в составной балке с промежуточным шарниром в уравнение углов поворота и прогибов соответственно вводятся дополнительные слагаемые ∆θ (z-d)° и ∆θ (z-d). Здесь ∆θ – взаимный угол поворота поперечных сечений, примыкающих к промежуточному шарниру слева и справа, а d – координата промежуточного шарнира. При этом соблюдаются все правила Клебша, в частности определение постоянных интегрирования С и D, а также ∆θ производится из граничных условий на опорах балки.

6

Построение изогнутой оси балки выполняется с учетом представленных на рис. 4 правил знаков для прогибов и углов поворота в зависимости от выбора места и направления координатных осей.

Рис. 4. К определению знаков прогибов и углов поворота

3. Теоретические основы метода Максвелла – Мора (способа Верещагина)

Этот метод удобно использовать в случае определения прогиба или угла поворота, в каком – либо отдельном сечении без исследования всей изогнутой оси балки.

Помимо метода Максвелла – Мора, основанного на вычислении соответствующего определенного интеграла, определение перемещений может быть произведено способом Верещагина, являющимся способом «перемножения эпюр». В этом случае пользуются следующим выражением:

где ∆ip – искомое перемещение; ωр – площадь грузовой эпюры изгибающих моментов от заданной нагрузки; Y – ордината единичной эпюры изгибающих моментов от единичного нагружения балки, взятая под центром тяжести площади грузовой эпюры.

8

3) проверить жесткость при [V ]= 300l .

При выполнении расчетов в Технической системе единиц необ-

ходимо помнить, что 1Н = 0,1 кгс; 1кН = 0,1 тс; 1Па = 1 10-5 смкгс2 ; 1МПа = 106 Па.

Решение

Любым из способов, рассмотренных в задании «Изгиб», строим эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов Миз (рис. 5, б, в).

Определяем опасное сечение и M max по эпюре Миз. Подбор дву-

таврового поперечного сечения производим, используя условие прочности при изгибе:

По таблице сортамента (ГОСТ 8239 – 89) принимаем двутавровое сечение № 20, для которого Wх = 0,000184 м3, Ix= 0,0000184 м4, жест-

кость сечения балки:

EIx = 2 105 103 0,0000184 = 3680 кН м2.

Подготовим расчетную схему к составлению дифференциального уравнения изогнутой оси балки (рис.5,г).

Начало координат выбираем на левом конце балки, направив ось прогибов вниз.

Обрывающуюся распределенную нагрузку продолжаем до конца балки, компенсируя ее на третьем и четвертом участках.

Внешний сосредоточенный момент умножаем на фиктивное пле-

чо (z – 3)°.

Составляем дифференциальное уравнение

EIxV" = −Миз.