В.Д. Моисеенко Расчет статически неопределимых шарнирно-стержневых систем при растяжении-сжатии

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра сопротивления материалов

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ ШАРНИРНО–СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ – СЖАТИИ

Методические указания по выполнению расчетно-графического задания по сопротивлению материалов для студентов всех специальностей

Составитель: В.Д. Моисеенко

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 8 от 29.06.01

Рекомендованы к печати методической комиссией направления 550100 Протокол № 6 от 22.06.01

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2002

1

Введение. Объем и цель задания

Статически-неопределимой шарнирно-стержневой системой называется такая, в которой усилия в стержнях и реакции в опорах нельзя определить только из условия равновесия.

На рис.1 показан обычный кронштейн, состоящий из двух стержней. Усилия N1 и N2 в стержнях этого кронштейна легко определяются из условия равновесия системы сходящихся сил, приложенных к вырезанному узлу С, так как два уравнения для этой системы сил с двумя неизвестными решаются.

Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 1,б), то усилия в стержнях прежним образом уже определены быть не могут, так как для узла С по-прежнему можно составить только два уравнения статического равновесия (ΣХ = 0; ΣY = 0), а число неизвестных усилий равно трем. Имеем один раз статически неопределимую систему.

Усложняя конструкцию и вводя новые стержни, можно получить два раза статически неопределимую систему (см. рис. 1,в), три раза и т.д. Следовательно, под n раз статически неопределимой системой понимается такая система, в которой число связей превышает число независимых уравнений статики на n единиц.

Необходимые для решения задачи дополнительные уравнения можно найти, рассматривая систему в деформированном состоянии и устанавливая связи между перемещениями и деформациями элементов конструкции. Полученные уравнения называются уравнениями совместимости деформаций.

На рис.2 приведены схемы некоторых статически неопределимых систем.

2

Рис.2. Некоторые виды статически неопределимых систем

При изучении раздела "Статически неопределимые стержневые системы" и выполнении данного расчетно-графического задания студент должен усвоить особенности статически неопределимых систем; получить навыки в раскрытии статической неопределимости, в определении усилий в элементах конструкций и подборе площадей поперечных сечений из условия прочности.

В задании студенту необходимо выполнить следующую работу:

-определить усилия в стержнях и подобрать площади поперечных сечений от действия внешних нагрузок;

-определить дополнительные напряжения в стержнях от изменения температуры;

-определить дополнительные монтажные напряжения, вызванные неточностью изготовления стержней;

-подобрать сечения стержней по предельному состоянию.

Объем и форма выполнения расчетно-графического задания зависят от объема изучаемого курса и оговариваются преподавателем на практических занятиях.

1. Краткие теоретические сведения

При решении статически неопределимых задач следует придерживаться следующего порядка:

1.1.Рассмотреть статическую сторону задачи. Построить план сил и составить уравнения статики.

1.2.Рассмотреть геометрическую сторону задачи. Построить план перемещений. Составить дополнительные уравнения совместимости деформаций в таком количестве, чтобы можно было найти все неизвестные усилия.

3

1.3. Рассмотреть физическую сторону задачи. По законам физики (при температурном расчете) и по закону Гука выразить деформации в уравнениях их совместимости через неизвестные усилия, действующие в стержнях:

1.4.Произвести совместное решение уравнений статики, геометрии, физики и определить неизвестные усилия.

1.5.Используя условия прочности при сжатии или растяжении N/F = [σ ], произвести подбор площадей поперечных сечений стержней.

1.6.При известных усилиях в стержнях и принятых площадях поперечных сечений вычислить нормальные напряжения по формуле

σ= NF .

2.Пример

Дано: Абсолютно жесткая балка АВ опирается, как показано на рис.3, нагружена равномерно-распределенной нагрузкой и силой Р.

Рис.3. Схема статически неопределимой системы

4

Исходные данные для расчета

4.Определить суммарные напряжения в стержнях от действия нагрузок, изменения температуры и неточности изготовления.

2.1.Расчет статически неопределимой шарнирностержневой системы на внешнее нагружение

P = 30 кН q = 15 кН/м

АС В

Рис.4. Исходная расчетная схема

5

2.1.1. Статическая сторона задачи

Статическая сторона задачи рассматривается планом сил. План сил - это расчетная схема, на которой показаны все силы (и известные, и неизвестные), приложенные к элементу шарнирно-стержневой системы, равновесие которого рассматривается (в нашем случае это жесткая балка АВ). Разрежем стальной и медный стержни и отброшенные их нижние части заменим внутренними усилиями (рис. 5).

P = 30 кН q = 15 кН/м

АС В

60°

Рис. 5. План сил от внешних нагрузок

Из плана сил (см. рис. 5) записываем уравнения статического равновесия. Для ответа на первый вопрос задачи необходимо знать усилия в стержнях - стальном и медном. Реакцию шарнирно-неподвижной опоры вычислять в данном случае нет необходимости. Поэтому из трёх

возможных уравнений статики (ΣX = 0; ΣY = 0; Σmc = 0) записываем

такое, в которое не входят реакции шарнирно-неподвижной опоры С:

∑mC =0

−NCТ a +q a22 + p a + NM sin60o b =0,

−NСТ 2 +15 222 +30 2 − NM 0,866 4 =0,

После алгебраических действий уравнение равновесия примет вид

2.1.3. Физическая сторона задачи

Полученное уравнение совместимости деформации (2.5) в таком виде не решается с уравнением равновесия (2.1), потому что входящие в них неизвестные величины разного характера.

Абсолютные деформации ∆lCТ и ∆lМ в уравнении (2.5) выразим

Получили уравнение совместимости деформаций, записанное через усилия в стержнях.

8

2.1.4. Синтез

Решим совместно уравнения равновесия (2.1) и уравнение совместимости деформаций (2.6).

NCТ +1,73NМ =45

0,67NСТ =0,95NМ .

Из второго уравнения системы выразим усилие NСТ:

и подставим в первое уравнение системы.

Положительный результат NСТ и NМ подтверждает наши предположения сжатия стального стержня и растяжения медного стержня, значит, усилия в стержнях будут:

2.1.5. Подбор поперечных сечений стержней

Подбор поперечных сечений стержней ведется по условию прочности при растяжении – сжатии:

NF ≤ [σ].

а) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения стального стержня будет определена:

9

б) Требуемая из условия прочности площадь поперечного сечения медного стержня будет определена:

При этом, согласно заданному отношению площадей, площадь стального стержня должна быть равна:

FСТ = 43 FМ = 43 1,7 10−4 =1,275 10−4 м2 ..

Принимаем большие площади поперечных сечений стержней:

2.1.6. Напряжения в стержнях от внешних сил

При принятых площадях поперечных сечений медного и стального стержней определим напряжения в этих стержнях.

2.2. Температурный расчет статически неопределимой шарнирно-стержневой системы

Целью температурного расчета является определение дополнительных напряжений в медном и стальном стержнях от изменения температуры.

Допустим, система нагревается на ∆t = 20oC . Алгоритм решения остаётся прежним. Исходная расчетная схема представлена на рис. 7.