Ю.Ф. Глазков Изгиб. Методические указания для выполнения расчетно-графической работы (для всех специальностей)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

ИЗГИБ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

(ДЛЯ ВСЕХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ)

Составитель Ю.Ф.Глазков

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 1 от 30.08.02

Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией по специальности 290300 Протокол № 15 от 7.10.2002

Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2003

1

1. Введение. Цель и объем работы.

Изгибом называется состояние стержневой конструкции, при котором в ее поперечных сечениях возникают изгибающие моменты М [1, 2]. Изгиб является одним из самых распространенных видов работы стержневых конструкций. В простейшем случае изгиб возникает при действии нагрузки в направлении, перпендикулярном продольной оси стержня. Если это направление совпадает с одной из главных плоскостей стержня, то изгиб называется прямым, а в сечениях такого стержня возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q. Балки являются самыми простыми и наиболее распространенными конструкциями, работающими в условиях прямого изгиба.

При изучении темы «Изгиб» студенты должны закрепить навыки в определении опорных реакций простых балок и балочных систем, определении внутренних усилий и построении их эпюр. Важной задачей является приобретение умений определения нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях и использования их для оценки надежности состояния конструкции.

В задании «Изгиб» студентам необходимо выполнить несколько пунктов из следующего перечня:

-определить внутренние усилия Q и М в поперечных сечениях заданных балок и построить их эпюры;

-подобрать по условию прочности размеры поперечных сечений заданных форм;

-исследовать напряженное состояние в ряде точек балки с определением величин и направлений главных напряжений;

-произвести полную проверку прочности.

Объем работы по каждому указанному выше пункту может быть различным у студентов разных специальностей и устанавливается в программе курса. У студентов немеханических специальностей некоторые пункты могут быть исключены из задания.

2

2. Внутренние усилия и их эпюры

Определение внутренних усилий в статически определимой балке (рис. 1) обычно сводится к процедурам, которые можно объединить в следующие пункты.

1.Определяются реакции опор с помощью уравнений статики, которые могут составляться как для всей балки, так и для любого отдельного диска, на которые может быть разделена конструкция, если она составная.

2.Балка разбивается на участки, на которых законы изменения внутренних усилий имеют постоянный вид. Границами таких участков являются места расположения опор и шарниров, места приложения сосредоточенных сил и пар и т.д.

z

б)

y

M

Q

Рис. 1. Балка (а) и внутренние усилия в ее поперечном сечении (б)

3. Для произвольного сечения z (рис.1, б) на каждом участке составляются уравнения поперечных сил Q и изгибающих моментов М как суммы проекций и моментов внешних сил (нагрузок и реакций связей), расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

В уравнениях (1) ось xc является главной центральной осью рассматриваемого поперечного сечения.

4. С помощью уравнений (1) вычисляются значения Q и М в некоторых заранее выбранных сечениях балки, которые в дальнейшем будут называться характерными. Значения внутренних усилий в характерных сечениях могут определяться с помощью правил (1) без составления аналитических уравнений этих усилий. Такой порядок нахождения внутренних усилий будем называть способом характерных сечений.

3

5. С помощью значений Q и М, найденных в п. 4, строятся графики их изменения вдоль продольной оси балки z, которые называются эпюрами Q и М. При построении эпюр обычно осуществляется контроль, основанный на правилах, вытекающих из дифференциальных уравнений равновесия

3.Примеры определения внутренних усилий

3.1.Для простой одноконсольной балки на двух шарнирных опорах, показанной на рис. 2, а, определить внутренние усилия и построить их эпюры с помощью уравнений.

а. Используя правила статики, отбрасываем внешние связи и за-

меняем их реакциями VA и VB. Величины реакций (рис. 1, б) определяем с помощью уравнений равновесия

Проверка: ∑Piy =0; −VA −VB +P +q 3 =0.

б. Разбиваем балку на три участка (рис. 1, б) и составляем уравнения внутренних усилий (1). При составлении этих уравнений используются правила знаков, проиллюстрированные рис. 3. На этом рисунке показаны положительные поперечные силы Q и изгибающие моменты М.

Правила знаков в этих случаях трактуются следующим образом: положительная Q возникает, если отсеченные нагрузки сдвигают

левую часть балки вверх, а правую – вниз; положительный М возникает, если отсеченные нагрузки загибают

концы балки вверх, растягивая при этом нижнее волокно балки.

Участок 1 (0≤ z1 ≤ 1 м): Q1 =−P; M1 =−Pz1.

4

z2

z3

в) Y

13

Q

8

8

M

6

14,45

18

Рис. 2. Определение внутренних усилий в простой балке: а – схема балки; б - схема сечений; в – эпюры Q и M

Участок 2 ( 1 м ≤ z2 ≤ 3 м):

Q2 =−P +VA; M2 =−Pz2 +VA(z2 −1).

Участок 3 ( 3 м ≤ z3 ≤ 6 м):

Q3 =−P +VA −q(z3 −3), M3 =−Pz3 +VA(z3 −1) −M −q (z3 −23)2 .

5

Рис. 3. Положительные поперечная сила Q (а), изгибающий момент М (б) и вызывающие их нагрузки

Для определения знаков слагаемых, входящих в уравнение изгибающих моментов, удобно использовать следующий прием:

-мысленно представьте отсеченную часть в виде консоли с заделкой в месте расчетного сечения;

-приложите к этой отсеченной части учитываемую нагрузку;

-проанализируйте характер искривления оси консоли под действием этой нагрузки;

-если консоль загибается вверх, а нижние волокна балки растягиваются, то слагаемому присваивается знак плюс.

На рис. 4 этот прием проиллюстрирован на левой отсеченной нагрузке при составлении уравнения М2.

в. С помощью полученных уравнений вычисляем значения Q и M. Результаты вычислений внутренних усилий в характерных сечениях приведены в табл. 1. По этим значениям строим эпюры Q и М

(рис. 2, в).

Таблица 1

Значения Q и М в характерных сечениях балки

Растянутая четверть

поперечного сечения

VA

Рис. 4. К определению знаков слагаемых при нахождении изгибающих моментов

При построении эпюр Q и М надо особо учитывать те сечения на участках загруженных распределенной нагрузкой q, в которых значение Q равно нулю, а М – экстремально. В рассматриваемом примере такая особенность есть на участке 3. Координату zD этого сечения можно найти из условия

Q3(zD ) =0; −P +VA −q(zD −3) =0; zD =(−P +VA +q3)/ q =4,3 м.

3.2. Для составной балки, приведенной на рис. 5, а, определить внутренние усилия по характерным сечениям без составления уравнений.

а. Определение опорных реакций VA , VB , VC и МC выполняется любым способом, применимым для составных систем и здесь не обсуждается. Результаты определения реакций приведены на рис. 5, а.

б. Определяем поперечные силы Q и строим их эпюру. Здесь можно использовать простое правило – приращение поперечной силы на участке или в сечении равно равнодействующей поперечных нагрузок, приложенных на этом участке или в сечении, а знак приращения положителен, если нагрузка направлена вверх. Это свойство условно называют «правилом следования за силой».

7

На рис. 5, в приведены результаты построения эпюры Q с использованием этого правила. Штрихпунктирными стрелками там показаны направления построения эпюры и приведены значения приращений Q.

в. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях балки по правилу (1).

Сечение А. МА= 0. Сечение D, слева от пары М.

МD,лев= -VA 2 = -18 2 = -36 кН м.

Сечение D, справа от пары М.

МD,прав= -VA 2-M = -66 кН м.

Сечение В (шарнир). МВ = 0.

Сечение C (экстремум эпюры на участке – вершина параболы). Положение сечения можно найти с помощью локальной координаты «а» сечения относительно левого конца этого участка. Из уравнений (2)

следует равенство |dQ/dz| = |q| = |tg α| = |QЛЕВ/a| (см. рис. 5, в), которое приводит к простому правилу определения а:

а = |QЛЕВ/q| = 22/10 = 2,2 м.

Здесь QЛЕВ = 22 кН – значение поперечной силы на левом конце участ-

ка, где находится экстремум.

МЕ = VB 2,2 - q 2,22/2 = 22 2,2-10 2,22/2 = 24,2 кН м.

Сечение С, заделка. Значение изгибающего момента в заделке всегда равно реактивному моменту. Тогда МС = 8 кН м.

По найденным значениям М построена эпюра, приведенная на рис. 5, в.

9

расстояние от расчетной точки поперечного сечения до нейтральной оси.

Касательные напряжения в симметричных поперечных сечениях открытого профиля приближенно можно вычислить по формуле Журавского

где Sотс – статический момент отсеченной части сечения (выделена штриховкой на рис. 6, а); by – ширина сечения на уровне расчетной точки.

by y

Рис. 6. Напряжения при изгибе: а – напряжения в поперечном сечении балки; б – напряженное состояние в точке; в – главные напряжения

Напряженное состояние в точке балки считается плоским (рис. 6, б). В этом случае в точке действуют два главных напряжения σ1 и σ3 с разными знаками, которые могут быть определены с помощью зависимости

Если угол α0 задает главную нормаль, проходящую через четверть плоскости изгиба yoz, в которой сходятся векторы касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках, то это нормаль 1 (рис. 6, в).