Ю.Ф. Глазков Изгиб. Методические указания для выполнения расчетно-графической работы (для всех специальностей)

10

Проверка прочности в произвольной точке балки должна выполняться с учетом сложности напряженного состояния, т. е. с учетом всех главных напряжений. Такую проверку часто называют полной. Это делается с использованием одной из подходящих теорий прочности. В случае балки из хрупкого материала применимы I теория или теория Мора. Для пластичных материалов рекомендуется использовать III или IV теории.

Например, при использовании III или IV теорий проверка прочности сводится к проверке выполнения условий

σIII	=	σ2 +4τ2 ≤[σ], σIV	= σ2 +3τ2 ≤[σ],	(7)
экв		экв

где [σ] – допускаемое напряжение при одноосном растяжении (основное).

В крайних точках сечения I и II, наиболее удаленных от н. о., напряженное состояние является линейным, а условие прочности преобразуется к виду

σ	=	M	≤[σ]	,	σ	II	=	M	≤[σ]	(8)
I		+							−,
		WI						WII

где σI, σII – модульные значения нормальных напряжений в наиболее растянутой или сжатой точках I и II (рис. 6, а); [σ]+, [σ]-– допускаемые напряжения материала балки на одноосное растяжение или сжатие; WI, WII – моменты сопротивления сечения при изгибе относительно растянутой или сжатой точек I и II, которые определяются по формулам

W =	J	,	W =	J	.	(9)
I	yI		II	yII

Подбор сечения балки по условию прочности заключается в назначении таких формы и размеров сечения, которые должны удовлетворять условиям

W	≥	Mmax	,	W	≥	Mmax	,	(10)
I		[σ]		II		[σ]
	+					−

где Мmax – расчетный момент, равный модулю изгибающего момента в опасном сечении.

Опасным считается такое сечение, в котором напряжения σI и σII имеют наибольшие значения.

11

5.Примеры подбора сечений балок

Встуденческих расчетно-графических работах, как правило, ставятся задачи подбора сечений балок, изготовленных из пластичных металлов – малоуглеродистых сталей, алюминиевых сплавов и т. д. В этих случаях нормы рекомендуют считать допускаемые напряжения на

растяжение и сжатие при изгибе одинаковыми ([σ]+ = [σ]- = [σ]). Задаваемые формы поперечных сечений можно разделить на следующие группы:

a.массивные сечения типа прямоугольника или круга, размеры сечений выражаются через некоторый параметр;

b.сечения из стандартных прокатных элементов – одиночных или составных;

c.тонкостенные сечения из листовых элементов постоянной

толщины δ.

Для каждого варианта формы сечения можно применить оптимальную методику подбора размеров сечения. Некоторые из этих методик иллюстрируются ниже.

d.Для балки, рассмотренной в примере 3.1, подобрать сечения

ввиде одиночного прокатного двутавра по ГОСТ 8239-89 и массивного типа в соответствии с рис. 7, а. Материал балки – малоуглеродистая сталь марки Ст3, нормативный коэффициент запаса прочности n = 1,5.

а. Назначаем допускаемое напряжение. Для конструкций из Ст3

вкачестве предельного (опасного) напряжения рекомендуется исполь-

зовать предел текучести σт. Принимаем σт = 240 МПа в соответствии с

[3, 4].

12

a)

Назначаем

б)

x′

a	1,47a		1
			c
	x	2	2
3a	=2,53a		3
	II
	y

II

a	a	a	y
	0,5a	0,5a

Рис. 7. Массивное сечение к примеру 5.1:

а – эскиз сечения; б – определение геометрических характеристик

Значение допускаемого напряжения [σ] = 240 / 1,5 = 160 МПа. Опасным является сечение Слев, а расчетный момент для подбора сечения Мmax = 18 кН м. Находим нижнюю границу возможных значений момента сопротивления при изгибе по формуле (9)

	Mmax		18			−3 3	3
W ≥		=			=0,113 10	м	=113 см .
	[σ]			160 103

б. Подбор двутаврового сечения выполняем по сортаменту для прокатных двутавров [3,4]. Принимаем двутавр №16, для которого W = Wx = 109 см3. Это сечение имеет размеры несколько меньше требуемых. Перегрузка балки в этом случае определяется величиной

∆W/W = (113-109)/113 = 0,035 << 1. Обычно такая перегрузка считает-

ся приемлемой.

Отметим, что в случае подбора составного сечения, состоящего из нескольких прокатных элементов, необходимо использовать метод последовательных приближений. Он заключается в том, что предварительно назначаются некоторые размеры сечения и они проверяются по условиям (8). Если расчетные напряжения σI или σII чрезмерно отличаются от соответствующих допускаемых напряжений в большую или меньшую стороны, то на следующем этапе расчета размеры прокатных элементов должны быть увеличены или уменьшены, а проверка проч-

13

ности повторяется. Эти действия выполняются до тех пор, пока расчетные и допускаемые напряжения станут отличаться на 3 – 5 %.

в. Подбор массивного сечения, размеры которого заданы через параметр «а» (рис. 7, а), начинаем с определения геометрических характеристик.

Положение центра тяжести относительно вспомогательной оси x′

∑F y′

4a

2

0,5a

+2 0,75a

2

2a +3a

2

2,5a

yс′

=

i i

=

=1,47а.

∑F

4a

2

+2 0,75a

2

+

3a

2

i

Момент инерции относительно нейтральной оси x

2

=

4a a3

+2

0,5a (3a)3

+

a (3a)3

+4a

2

(0,97a)

2

+

Jx =∑Jxi +∑Fiyi

12

36

12

+2 0,75a2 (0,53a)2 +3a2 (1,03a)2 =10,7a4.

Момент сопротивления сечения при изгибе

W = W =

J

=

10,7a 4

=4,23a3

≥113 см3.

2,53a

II

ymax

Отсюда следует: а ≥ 2,98 см. Окончательно принимаем а = 3 см. В завершение данного примера заметим, что в случаях, когда материал балки по-разному сопротивляется растяжению и сжатию, размеры сечения надо определять по условиям прочности как в растяну-

той, так и в сжатой точках опасного сечения.

5.2. Для балки рассмотренной в примере 3.2 подобрать тонкостенное сечение, изображенное на рис. 8, а. Толщина листов δ постоянна и равна 8 мм. Листы изготовлены из магналина марки АМг6м. Нормативный коэффициент запаса прочности n = 1,6.

а. Назначаем допускаемое напряжение. Предел текучести материала балки σт = 150 МПа [3,4]. Допускаемое напряжение

[σ]= σnт =1501,6 =93,7 МПа.

14

а)

δ

3а

а а

1,5а 1,5а

б)

x′

x

ymax 1,69a yc 1,31a

1

C

2

3

y

Рис. 8. Тонкостенное сечение к примеру 5.2:

а – эскиз; б – определение геометрических характеристик

б. Опасным является сечение Dправ. Расчетный момент Мmax = 66 кН м. Нижняя возможная граница для момента сопротивления при изгибе

W ≥	Mmax	=	66	=0,693 10−3м3 =693 см3.
			93,7 103
	[σ]

в. Определяем геометрические характеристики. Положение центра тяжести сечения находим приближенно, полагая что ожидаемое значение параметра а будет намного больше толщины листов δ. Это допущение позволяет пренебрегать величиной δ при суммировании его с параметром а (а + δ а). Тогда

′		3δa 0 +3δa 1,5a +2δa 3a						10,5
yc =			3δa +3δa +2δa					= 8	a =1,31a .
Момент инерции поперечного сечения
J =	3a δ3		+	δ (3a)3	+	2a δ3	+3δa (1,31a)2 +3δa (0,19a)2 +2δa (1,69a)2.
		12	12		12

На основании допущения о малости толщины листа δ пренебрегаем слагаемыми содержащими δ3. Тогда окончательно имеем J = 12,89δa3.

15

Момент сопротивления сечения при изгибе

W =	J	=12,89δa3 =7,63δa2.
	ymax
		1,69a
	г. Подбираем размеры листовых элементов сечения
W 7,63δa2 ≥693 см3, а≥			693	=	693	=32 см.
			7,63δ		7,63 0,08

Определим отношение величин δ и а: δ/a = 0,08/32 = 0,0025 << 1. Полученная величина отношения δ/a подтверждает правильность допущения о малости δ и позволяет окончательно принять а = 32 см.

6.Примеры анализа напряженного состояния

иполной проверки прочности

При выполнении задания в данном пункте почти всегда рассматриваются сечения из одиночного двутавра прокатного профиля. Поэтому ниже рассматриваются только двутавровые балки.

6.1. В балке, рассмотренной в примерах 3.1 и 5.1, определить величину и направление главных напряжений в точке А с координатами z = 0,5 м, у = 0,03 м. Балка изготовлена из двутавра №16.

а. Расчетное сечение находится в середине участка ОА. Значения усилий в этом сечении (см. рис. 2): Q = - 8 кН, М = - 4 кН м.

б. Геометрические характеристики поперечного сечения взяты из сортамента на прокатные двутавры по ГОСТ 8239 – 89 [3,4]. Основные размеры, используемые в расчете, приведены на рис. 9, а. Момент инерции J = 873 см4.

в. Определяем нормальные и касательные напряжения по фор-

мулам (3) и (4).

	σ=	М	y =−	4	10−3	0,03	=−13,7 МПа.
		J		873 10−8

Для определения касательного напряжения вычисляем статический момент отсеченной части Sотс. На рис. 9, б показана отсеченная часть в упрощенном виде, состоящая из двух прямоугольников 1 и 2. Черными точками показаны центры тяжести прямоугольников.

Sотс = 8,1 0,78 7,6+0,5 4,2 5,1 = 58,7 см3.

16

а)

б) в)

	0,5
x	с		16
	3	А	τ
	А		σ
		0,78	III
	8,1

σ1=4,8 МПа

2	α0=28036′
1	σ3= -18,5 МПа

у

Рис. 9. Определение главных напряжений:

а – напряжения в точке А; б – отсеченная часть сечения; в – главные напряжения

τ=	QSотс		=−	8 10−3 58,7 10−6		=−10,6 МПа.
	Jb	y		−8	−2
				873 10	0,5 10

На рис. 9, а показаны направления σ и τ в точке А.

г. Величины и направления главных напряжений находим по формулам (5) и (6)

σ	= σ±1		σ2 +4τ2 = −13,7			±1		13,72 +4 10,62 =−6,35±11,65 МПа,
1,3	2	2			2		2
σ1 =4,8МПа, σ3 =−18,5 МПа,									0
	1		2τ	1	2(−10,6)					′
α0 = 2 arctg				= 2 arctg			=28			36 .
			σ		−13,7

Направления главных напряжений показаны штрихпунктирными стрелками на рис. 9, а, б.

6.2. Произвести полную проверку прочности балки, рассмотренной в предыдущем примере. Материал балки - Ст3, допускаемое напряжение [σ] = 160 МПа. Проверку выполнить по IV теории.

Подбор данного сечения был выполнен ранее в примере 5.1. Он производился по формулам (8) из условий прочности в точках I и II.

17

Поэтому в данном примере производить проверку прочности этих точек нет необходимости.

а. Проверяем прочность в точке С (см. рис. 9, а). Опасным будет сечение В, в котором действует максимальная поперечная сила Q = 17 кН. В точке С в поперечном сечении действует только касательное напряжение τ. Для его определения статический момент отсеченной части половины сечения берем из сортамента: Sотс = 62,3 см3.

τ=17 10−3 62,3 10−6 =24,2 МПа. 873 10−8 0,5 10−2

	Проверяем прочность по условию (7)
σIV	= σ2 +3τ2 = 3 24,22 =41,9 МПа<[σ]=160 МПа.
экв

б. Проверяем прочность в точке III, расположенной в месте стыка полки и стенки двутавра (рис. 9, а). Опасное сечение – Слев, Q = 13 кН, М = 18 кН м.

Нормальное напряжение в этой точке

σ= 18 10−−3 0,072 =148,5 МПа. 873 10 8

Для нахождения касательного напряжения вычисляем Sотс, учитывая только полку двутавра:

Sотс = 8,1 0,78 7,6 = 48 см3.

Касательное напряжение

	τ=	13 10−3	48 10−6		=14,3 МПа.
		873 10−8		0,5 10−2

Проверяем прочность

σIVэкв = 148,52 +3 14,32 =151 МПа<[σ].

Проведенные расчеты показывают, что влияние касательных напряжений на прочность прокатных двутавровых балок относительно невелико.

18

Список рекомендуемой литературы

1.Александров А.В. Сопротивление материалов / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. - М.: Высш. шк., 1995.

2.Писаренко Г.С. Сопротивление материалов / Г.С. Писаренко, В.А. Агарев, А.Л. Квитка, И.Г. Попов, Э.С. Уманский. - Киев: Вища школа, 1974.

3. Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. - Киев: Наукова дум-

ка, 1975.

4.Паначев И.А. Справочное пособие для решения задач по сопротивлению материалов / И.А. Паначев, Ю.Ф. Глазков. - Кемерово: КузГТУ, 1998.

19

Юрий Федорович Глазков

ИЗГИБ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ

(ДЛЯ ВСЕХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ)

Редактор З.М. Савина

ИД № 06536 от 16.01.02.

Подписано в печать 24.10.02.

Формат 60×86/16. Отпечатано на ризографе. Бумага офсетная.

Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 150 экз.

ГУ КузГТУ.

650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28. Типография ГУ КузГТУ.

65099, Кемерово, ул. Д. Бедного,4а.