В.А. Хямяляйнен Установившаяся двумерная фильтрация жидкости вокруг перемычки

1

ВВЕДЕНИЕ

Своевременная и качественная изоляция отработанных участков и неиспользуемых горных выработок в значительной степени определяет надежность их проветривания. Изоляция выработанного пространства является наиболее эффективной мерой предотвращения самовозгорания угля и во многих случаях основным средством тушения эндогенных и экзогенных пожаров. Наиболее эффективным способом изоляции является возведение перемычек. В тех случаях, когда перемычки должны не только препятствовать поступлению воздуха в изолированное пространство, но и предотвращать проникновение воды или пульпы в действующие выработки, их возводят водоупорными. Водоупорные перемычки должны обладать прочностью, достаточной для восприятия гидростатического давления и передачи его породам. При возведении перемычек, предназначенных для удержания значительного гидростатического давления (более 0,7 МПа) в кровле, бортах и почве выработки, делают опорные врубы со скошенными поверхностями, исходя из условий работы перемычки как клина. Водоупорные перемычки возводят в основном из бетона [1].

Накопленный к настоящему времени опыт возведения водоупорных перемычек, предлагаемые конструкции и технология их возведения позволяют создавать тело перемычки малопроницаемым и способным выдержать гидростатический напор до 1,5-2 МПа. Однако надежно изолировать выработанное пространство и исключить перетоки воды на участках возведения водоупорных перемычек во многих случаях не удается ввиду фильтрации через массив горных пород. Для подавления водопритока в выработку вокруг перемычки возводят противофильтрационную завесу посредством инъекции тампонажного раствора в трещиноватый массив горных пород вокруг перемычки [2]. Для оценки оптимальных параметров завесы необходимо определить величину перетока через нее воды.

2

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Рассмотрим фильтрацию воды, удовлетворяющую линейному за-

кону

где v − скорость фильтрации, м/с; µ – коэффициент динамической вязкости воды, Па с; P – давление воды, Па.

Уравнение неразрывности потока :

где x, r – цилиндрические координаты, м.

Область фильтрации воды вокруг перемычки, с учетом возведенной противофильтрационной завесы, представлена на рис.1 с продольным (а) и поперечным (б) сечением выработки. На схеме приняты следующие обозначения: L – длина области фильтрации, м; RN – радиус влияния выработки (радиус перехода к слабопроницаемому массиву), м; Rb – радиус выработки в проходке, м; l – длина перемычки, м; hob – толщина закрепного пространства, м; hT – толщина зоны тампонажа в районе перемычки, м; hy – толщина зоны инъекционного упрочнения пород на некотором удалении от перемычки, м; lL , lp – длина уча-

стка упрочнения массива горных пород соответственно с безнапорной и напорной стороны, м; lT – длина участка тампонажа массива горных

пород непосредственно вокруг перемычки, м; k( r ) – распределение ко-

эффициента проницаемости массива горных пород при удалении от контура выработки до тампонажа, м2; kT – коэффициент проницаемости затампонированного массива, м2; kob – коэффициент проницаемости тампонажной закрепной оболочки, м2; PN – напорное давление, Па; ϕ – угол наклона рассматриваемого продольного сечения области фильтрации.

Исследование фильтрации воды через массив горных пород в зоне водоупорной перемычки сводится к решению краевой задачи с дифференциальным уравнением в частных производных для распределения

венно в закрепной тампонажной оболочке, тампонажной завесе и незатампонированном массиве, Па.

Коэффициенты проницаемости тампонажной завесы kT и закрепной оболочки kob принимаем постоянными. Распределение коэффициента проницаемости незатампонированного массива горных пород k(r) в соответствии с результатами натурных исследований [2, 3], принимаем экспоненциальным.

где a, b – параметры аппроксимации, которые определяем из следую-

5

щих соображений.

Пусть на контуре выработки (r = Rb) коэффициент проницаемости незатампонированного массива равен k0, а за пределами радиуса влияния выработки kN . Тогда k0 = a exp(−bRb ) и kN = a exp( −bRN ).

Откуда получаем

Приток воды через массив горных пород Q оценивается как сумма перетоков на участке выработки с закрепной тампонажной оболочкой

ривая приток через единицу длины периметра поперечного сечения выработки, получим

Решение уравнения (3) при граничных условиях (4) с учетом распределения коэффициента проницаемости (7) производится с использованием метода конечных элементов. Переток воды через массив горных пород в выработку при наличии в нем тампонажной завесы также рассчитывается численно с использованием формулы (8). При этом как частный случай определяется переток Q0 через массив без наличия в нем тампонажной завесы.

6

2.ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ГРАФИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

MATLAB PDETOOLBOX ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ НА ОБЛАСТИ ФИЛЬТРАЦИИ

Для нахождения решения краевых задач и задач Коши, а также анализа полученного решения MathWorks Inc. разработан инструментарий PDETOOLBOX в виде набора функций MatLab для представления двумерной области совокупностью конечных элементов и нахождения решения на полученном конечноэлементном представлении. Для удобства использования этих функций разработана графическая оболочка представленная, на рис.2. Запуск оболочки производится из среды MatLab командой pdetool.

Графическая оболочка состоит из рабочей области 1 (рис.2), панели инструментов 2, меню 3, строки с краткой подсказкой 4. Панель инструментов 2 содержит пять кнопок для рисования двумерной области (две для рисования прямоугольника, две для эллипса и одну для многоугольника), кнопку 7 для перехода в режим определения граничных условий, 8 – для перехода в режим определения коэффициентов дифференциального уравнения, две кнопки для расчета конечноэлементного представления, уменьшения шага сетки, кнопку 9 для запуска решения ДУ, 10 – инициализации диалога по определению параметров графика решения, 11 – для увеличения – уменьшения изображения, ниспадающий список 5 для выбора вида ДУ.

При решении задач фильтрации жидкости и газа необходимо выполнить следующие действия.

1.Из ниспадающего списка 1 (рис. 2) выбрать Heat Transfer.

2.Инструментами рисования 2 панели инструментов или с помощью соответствующих функций MatLab нарисовать двумерную область фильтрации.

Нажав кнопку 3 на панели инструментов, или выбрав Boundary→Boundary Mode в меню, перейти в режим задания граничных условий. В этом режиме выбор граничных условий производится с помощью двойного щелчка мыши на соответствующей границе. При этом появляется диалоговое окно (рис.3).

7

Рис. 2. Графическая оболочка PDETOOLBOX:

1 – рабочая область; 2 – панель инструментов; 3- меню; 4 – строка состояния; 5 – ниспадающий список для выбора вида решаемых задач; 6 – кнопки для рисования; 7, 8 – кнопки для перехода в режим задания граничных условий икоэффициентов ДУ; 9 – кнопка запуска вычислений решения

8

Рис. 3. Диалог задания граничного условия

Вдиалоговом окне предлагается выбрать вид граничного условия

–Дирихле или Неймана. При постоянном давлении на границе задается условие Дирихле, в поле редактирования h вводится 1, в поле редактирования r вводится давление в паскалях. При задании на границе величины перетока выбирается условие Неймана. В поля редактирования вводятся соответствующие значения. Например, при задании отсутствия перетока на границе выбирается условие Неймана при нулевых значениях g и q в соответствующих полях редактирования. Данная операция повторяется для каждой границы. По умолчанию в PDETOOLBOX в граничных условиях выбирается условие Дирихле при нулевом значении давления. Вид выбранного граничного условия легко определить в графической оболочке по цвету. Красным цветом выделяется условие Дирихле, синим – Неймана.

3.Следующим шагом является определение коэффициентов дифференциального уравнения. Для этого выбирается режим PDE нажати-

9

ем кнопки 4 (рис. 2) или выбором PDE → PDE Mode в меню графической оболочки. Для определения количества полученных зон течения выбирается PDE → Show Subdomaim Lables. При этом в области фильтрации появятся цифры, обозначающие номер области в конечноэлементном представлении (рис. 4). Задание коэффициентов производится двойным щелчком мыши на соответствующей области.

4. После определения граничных условий и коэффициентов ДУ в каждой области задача отправляется на счет нажатием кнопки 9 панели инструментов.

Рис. 4. Области фильтрации

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Определить водоприток в выработку и распределение давления на области фильтрации, изображенной на рис.1, при параметрах тампонажной завесы и массива, представленных в табл. 1.