Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Р.Ф. Гордиенко Методические указания по выполнению индивидуального задания по теме Трение для студентов всех направлений дневной формы обучения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.08.2013

Размер:

209.54 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Министерство образования Российской Федерации

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра теоретической и геотехнической механики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

по выполнению индивидуального задания по теме "Трение" для студентов всех направлений дневной

формы обучения

Составитель Р.Ф. Гордиенко

Утверждены на заседании кафедры Протокол №9 от 03.04.2000

Рекомендованы к печати методической комиссией направления 290300 Протокол № от 07.04.2000

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2000

В В Е Д Е Н И Е

Трение является одним из наиболее распространенных в природе явлений. Оно сопровождает любые движения физических тел (относительный покой в частности) и накладывает отпечаток на характер этих движений.

При трении часто происходят коренные изменения приповерхностного объема материала соприкасающихся тел. Эти изменения и определяют процесс износа подвижных сопряжений и рабочих органов различных машин и величину силы трения.

Знания закономерностей и природы трения необходимы при решении большого числа инженерных задач, возникающих в различных областях науки и техники: в машиностроении, приборостроении, строительстве, горном производстве и др.

"Методические указания …" предназначены для студентов всех направлений дневной формы обучения с целью более подробного изучения основных положений темы "Трение" и приобретения навыков решения задач по этой теме.

Настоящие методические указания могут быть использованы преподавателями кафедры для выдачи курсового задания по теме "Трение", а студентами - как методическое руководство по выполнению этого задания.

1 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Трением называется сопротивление относительному перемещению соприкасающихся тел, возникающее в месте их соприкосновения. По кинематическим признакам различают: трение скольжения (трение первого рода), возникающее при скольжении одного тела по поверхности другого (движение поршня в цилиндре), и трение качения (трение второго рода), возникающее при качении одного тела по поверхности другого (качение колеса по рельсу).

В теоретической механике рассматривается обычно только "сухое трение" между шероховатыми поверхностями.

1.1Сила трения скольжения

При решении инженерных задач исходят из ряда установленных опытным путем общих закономерностей, которые достаточно хорошо отражают основные особенности явления трения.

1. Сила трения скольжения - это составляющая реакции поверхности, которая находится в общей касательной плоскости соприкасающихся тел и направлена в сторону, противоположную направлению возможного перемещения тела, под действием приложенных сил ( в случае относительного покоя ее часто называют силой сцепления).

2. Величина силы трения скольжения не зависит от площади соприкосновения тел.

3.Сила трения скольжения пропорциональна нормальному давле-

! !

нию (нормальной реакции), т.е. Fтр. = fN , где безразмерный коэффициент f называют коэффициентом трения скольжения. Величина коэффициента трения скольжения зависит от соприкасающихся материалов, состояния трущихся поверхностей и устанавливается эксперименталь-

но.

4. Наибольший угол ϕ между полной реакцией R, построенной на максимальной силе трения при данной нормальной реакции поверхно-

сти, и направлением нормальной реакции, называют углом трения. Из рис.1 следует, что,

		!		tan ϕ =	Fтр	=	f ,
		!			N
		R			N
	!	ϕ		т.е. тангенс угла трения равен коэф-
	N	ϕ		т.е. тангенс угла трения равен коэф-
		!		фициенту трения.
		Fтр.		Пример 1. На наклонной шерохова-
				Пример 1. На наклонной шерохова-
	!			той плоскости с угломα			покоится те-
α	P			той плоскости с угломα			покоится те-
α				!
		Рис. 1		ло A весом P. К телу приложена сила
		Рис. 1		!
			x	Q ,образующая с наклонной плоско-
y		!	x	стью угол β (рис. 2). Какова должна
y		Q		стью угол β (рис. 2). Какова должна
	!			!
	!	β		быть сила Q при равновесии тела, ес-
	N	β		быть сила Q при равновесии тела, ес-
	A	!		ли угол трения тела о плоскость ϕ , и
		Fтр.		ϕ < β ≤ 90 − ϕ ?
		!		ϕ < β ≤ 90 − ϕ ?
		!		Решение. Рассмотрим равнове-
	α	P		Решение. Рассмотрим равнове-
	α			сие тела A. Изобразим силы, дейст-
				сие тела A. Изобразим силы, дейст-
		Рис. 2		вующие на тело. Ось Ax направим
				вверх по наклонной плоскости. Запи-

шем уравнения равновесия:
∑	Fkx =	0;	− P sin α	±	Fтр + Q cosβ =		0;
∑	Fky =	0;	N − P cos α		+ Qsin β	= 0.
Отсюда получим:			N = P cos α	− Qsin β .		При	выводе условия

равновесия необходимо рассмотреть два случая.

а) Тело! A может начать движение вниз по наклонной плоскости.
Тогда сила Fтр направлена вверх и из уравнений (*) имеем:
Fтр. = P sin α − Q cosβ ≤ Fmax/ =		fN = tan ϕ (P cos α − Q sin β ) .
Из этого неравенства получим:
Q ≥	sin(α	− ϕ )	P .
	cos(β
		+ ϕ )

б) Тело может начать движение вверх по наклонной плоскости. Тогда Fтр. направлена вниз и из уравнений получим:

Fтр. = Q cosβ − P sin α ≤	Fmax/			=		fN = tan ϕ		(P cos α −	Qsin β ) .
Преобразуем равенство (cosβ	+	tan ϕ		)Q ≤ (sin α +				tan ϕ cos α	)P, откуда
Q ≤			sin(α		+	ϕ )	P.
Q ≤			cos(β		−		P.
			cos(β		−	ϕ )

Объединим оба неравенства:
	sin(α	−	ϕ )	P ≤	Q ≤	sin(α	+	ϕ )	P.
	cos(β	+	ϕ )			cos(β	−	ϕ )

При выполнении этих неравенств тело !A будет находиться в равновесии. В частности, при отсутствии силы Q останется одно условие

sin(α − ϕ ) ≤ 0 , т.е. α ≤ ϕ ,

значит, в этом случае тело A (независимо от веса P) будет находиться в равновесии на шероховатой плоскости, если угол наклона плоскости

	!					α не превосходит угол трения ϕ .
						α не превосходит угол трения ϕ .
						Пример 2.	Для	стержня, изо-
	N A		!			Пример 2.	Для	стержня, изо-
A	α		R			браженного на рис. 3,		дано: AB =		l .
	α
		O			F
		O				Определить коэффициент трения				f ,

	!
	!					при котором возможно			равновесие
	P				B	при котором возможно			равновесие
				!	B	стержня (одна из стен гладкая). h ≤				l .
	h			NB		стержня (одна из стен гладкая). h ≤				l .
	h					Решение.	Запишем		уравнения
						Решение.	Запишем		уравнения
	Рис.3					равновесия:
		∑	Fkx = 0;			N A − NB = 0;
		∑	Fky = 0;			Fтр.B − P = 0;
		∑	mb (Fk ) =		0; P h / 2 − N Al sin α		= 0.

К этим уравнениям добавим неравенство для силы трения:

						Fтр.B ≤			fN B .
Из уравнений равновесия находим:
N	A	= N	B	;	F	= P; N	A	=	Ph	, где sin α =	l 2 − h2 .

					тр.B				2l sin α		l

Итак, для силы трения Fтр.B имеем следующие уравнения и неравенство:

F	= P; F	≤	fPh	,откуда найдем f ≥ 2 l 2 − h ю
тр.B	тр.B	2	l 2 − h2	h
		2	l 2 − h2	h

1.2 Трение качения

							Сопротивление,	возникающее
!							при качении одного тела по другому,
R			r	!			обусловливается деформациями этих
					N		обусловливается деформациями этих
		O				!	тел, в силу которых точка приложения
						!
						Q
			δ			Q	нормальной реакции одного тела на


	!						другое смещается так, что возникает
			!				! !

	Fтр.				A
	Fтр.		P		A		пара сил ( N, P ), называемая парой
		Рис. 4					трения качения (рис. 4).

Максимальная величина δ плеча этой пары, зависящая от материала соприкасающихся тел, называется коэффициентом трения качения

(линейная величина).				Максимальная величина M кач. момента трения
качения определяется по формуле
					M кач. = δ	N .
					!	необходимой для качения катка
Минимальное значение силы Q ,						необходимой для качения катка
		y			(если она приложена в центре катка),
		y			Q = δ
	Mк.				Q = δ	N , где r -радиус катка.
	Mк.		!		r
	O	!	N		Пример 3. При каком угле накло-
	O		N		Пример 3. При каком угле накло-
!					на плоскости к горизонту однородный
!		P			на плоскости к горизонту однородный
Fтр		P			цилиндрический		каток	радиусом
	C				цилиндрический		каток	радиусом
	C				R = 0,1 м будет оставаться в покое, ес-
		α		x	R = 0,1 м будет оставаться в покое, ес-
	Рис. 5			x	ли коэффициент сцепления			f = 0,5 , а
	Рис. 5				ли коэффициент сцепления			f = 0,5 , а

коэффициент трения качения δ = 0,02 (рис. 5).

Решение. Изображаем силы, действующие на каток, и составляем уравнения равновесия:

	∑	F	=	0;	Psin α −	Fтр =	0;	Fтр =		Psin α ;
	∑	kx			− P cos α	+ N =		N = P cos α ;
	∑	Fky	=	!0;	− P cos α	+ N =	0;	N = P cos α ;
	∑	mC (Fk ) = 0;			M кач − PR cos α =			0; M кач	=	PRsin α .
При	отсутствии скольжения					Fтр ≤	fN ,	Psin α	≤	fP cos α , откуда
tan α	≤ 0,5. При отсутствии качения M кач ≤							δ N , PRsin α ≤ δ Pcos α , то-
гда tan α ≤		0,2 . Второе неравенство более сильное, поэтому каток будет
оставаться в покое при tan α ≤ 0,2 .

1.3 Трение гибких тел

Пусть гибкая нить, обхватывающая круглый шкив, скользит по этому шкиву (рис. 6). Из уравнения равновесия сил, действующих на

элементарный участок нити CD получим:

∑

Fkx =

S'cos

dϕ

−

S cos

dϕ

− F

тр

∑

Fky =

N − S'sin

dϕ

S sin

dϕ

−

Отсюда, пренебрегая бесконечно ма-

лыми высшего порядка, имеем:

dϕ

F = S − S', N =

Fтр

Но

Fтр = fN ,

где

f -

коэффициент

dϕ

трения между нитью и шкивом, по-

этому

fdϕ

= dS .

Интегрируя это

Sсб

Sнб

уравнение в соответствующих преде-

Рис. 6

лах, получим известную формулу Эй-

лера, устанавливающую зависимость

между натяжениями набегающей Sнб и сбегающей Sсб

ветвей нити:

Sсб

= Sнб e fα

где α - угол обхвата нити.
					Пример 4.	Найти зависимость
!					!	и окружным усили-
Q				между силой P		и окружным усили-
α				ем	!
α			!	ем	Q на тормозном ободе ленточно-
			P	го тормоза при угле обхвата α (в ра-
O	b		a	го тормоза при угле обхвата α (в ра-
	b		a	дианах) и заданных размерах "a" и

R		b
R		b		"b". Коэффициент трения между
				"b". Коэффициент трения между
	Рис.7			тормозной лентой и ободом равен f
	Рис.7			(рис. 7).
				(рис. 7).
Решение. Составим уравнения равновесия сил, действующих на
тормозной обод (рис. 8, а) и кронштейн (рис.8, б):
∑	!
∑	m0 (Fk ) =	0, (рис. 8, а)			− S' R − QR +	SR = 0.

a) ! Q

б)	b	a

!			!
!			!
S'			P
!	O1	b
S		b

Рис. 8

По формуле Эйлера S =

S'eα f . Тогда из предыдущего уравнения

получим: S'=

eα

f −

∑

(Fk ) = 0

(рис.8, б),

− Sb − S'b +

Pa = 0.

Откуда

P = S'(eα f

+ 1)

Окончательно получим:

P =

(eα f + 1)

eα f + 1

eα f −

eα f − 1

1.4 Равновесие при наличии трения

Изучение равновесия тел с учетом трения обычно сводится к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего максимального значения. При аналитическом решении

задач реакцию шероховатой плоскости изображают двумя составляю-

! " !

щими N и Fтр , где Fтр = fN . Затем составляются обычные уравнения

равновесия.

В общем случае равновесия сила трения находится между нулем и максимальным значением. Поэтому соответствующие условия равновесия становятся неравенствами и неизвестные, входящие в уравнения, находят путем совместного решения уравнений и неравенств.

2 ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Однородный стержень весом P = 24H прикреплен шарнирно к невесомым ползунам 1 и 2 (рис. 10-19). Коэффициент трения ползунов

о направляющие, вдоль которых они могут скользить, равен соответст-
			!	!
венно f1 и f2 . К ползунам приложены силы Q1 и				Q2 , показанные на
рисунках. Механизм расположен в вертикальной плоскости.					!

Определить величину, указанную в таблице, где обозначено: Q'1
!		!	!
(или Q'2 ) - наименьшее значение силы Q1			(или Q2 ), при котором име-
!	!
ется равновесие; Q1" (или Q2 ") - наибольшее значение тех же сил, при
которых сохраняется равновесие; f1'		(или	f2 ") - наименьшее значение
коэффициента трения, при котором сохраняется равновесие.
Указания. При решении задачи следует рассмотреть предельное
положение равновесия,	когда Fтр =	fN . Условие		f1 = 0 (или f2 = 0)

означает, что ползун 1 или 2 гладкий и соответствующую силу трения не изображать на рисунке и не вводить в уравнение равновесия.

		!	!
		N1	Fтр
A	!	a	120o		!
1	!				!
1	Q	a	!		N
	D	a	P
	D	h	30	o
			30	B	2


	E		b		x
			b		x

Пример выполнения задания. Для стержня, изображенного на рис.9,

дано : P = 40H ,	BD =	b =	0,8м ,
h = 0,3м, a = 0,2м, f1 =	0,3 ,	f2 =	0.

Найти Q" - наибольшее значение силы Q , при котором сохраняется равновесие.

Рис. 9	Решение.	Рассмотрим предель-
ное равновесие стержня,		!
ное равновесие стержня,	при котором Q = Q". То, что сила Q имеет

наибольшее значение,		означает, что при ее дальнейшем увеличении
							!
равновесие нарушится и под действием силы Q ползун 1 начнет сколь-
									!
зить влево, а ползун 2 вверх. Следовательно, при равновесии сила Fтр
направлена вправо.
Запишем уравнения равновесия:
∑	!						− Fтр (2a + DE) = 0 ,
∑	mE (Fk ) = 0 ;	− Ph + Q"(a + DE)					− Fтр (2a + DE) = 0 ,
		DE = b tan 30o =		0,46м ;
∑ F	= 0 ; P cos 30o − Q"cos 60o −		N		1	cos 30o + F		cos 60o	= 0 .
kx					1		тр
Из этих уравнений получим:
	Fтр = 0,77Q"− 0,35P и		N1 =				0,8P − 0,13Q".
В случае предельного равновесия Fтр =				fN1 или
	0,77Q"− 0,35P = f (0,8P −						0,13Q") .
Откуда Q"= 0,73P = 29,2H .

П РИ М Е Ч А Н И Я:

1. Если в задаче требуется найти наименьшее значение Q' силы Q , при котором сохраняется равновесие, то это означает, что при дальнейшем уменьшении силы Q она не удержит стержень в равновесии и

под действием силы P ползун 2 начнет скользить вниз, а ползун 1 -

вправо; следовательно, в этом случае сила Fтр будет направлена

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика