Б.И. Коган Статистический анализ точности и стабильности технологических процессов

	10
			(∑ f u)	2	,
S = h2	∑ f u 2	−				(12)
			∑ f

из которой выводим выражение для определения среднего квадратического отклонения:

S =	S	=	S	.	(13)
	n		∑ f

Если вычислить эти величины, пользуясь значениями табл. 3, то получим

			=0,95 +		9			0,2 =0,97 ;
		X
				100
	S =( 369 −			92			) 0,22 =14,73 ;
				100
S 2 =	14,73 =0,1483;S = 0,1473 =0,39.
	100

3. Оценка точности технологических процессов

После того как были выяснены форма и широта распределения на основании сопоставления с допуском, исследуют, возможно ли по данному процессу производить качественные изделия. Другими словами, появляется возможность по результатам обследований количественно оценить точность технологических процессов.

С этой целью можно использовать следующую формулу

	KT =	6S	,	(14)
где KT –		T
	коэффициент точности технологического			процесса;
T =TB −TH	– допуск изделия; S =σ – среднее квадратическое откло-

нение.

Точность технологического процесса оценивают исходя из следующих критериев:

KT ≤ 0,75 – технологический процесс точный, удовлетворитель-

ный;

KT = 0,76 −0,98 – требует внимательного наблюдения; KT > 0,98 – неудовлетворительный.

Рис. 4 иллюстрирует при помощи диаграмм сказанное выше.

11

а

б

в

Рис. 4. Коэффициент точности технологических процессов:

а – точность стабильна, поскольку имеет запас точности; б – целиком заполнено поле допуска, имеется опасение, что появятся дефектные изделия; в – по обе стороны допуска появляются дефектные изделия

Следовательно, в случае, когда К > 0,98, необходимо немедленно выяснить причину появления дефектных изделий и принять меры управляющего воздействия.

Чтобы вместе с гистограммой построить кривую нормального распределения, ее надо привести в тот масштаб, в котором выполнены гистограмма и эмпирическая кривая.

12

С учетом масштаба

	h1i = y	n h	,	(15)
		σ

где h1i – ордината кривой нормального распределения (в том же масштабе, что и кривая эмпирического распределения); y – табличные значения ординаты для σ = 1.

Данные для построения кривой нормального распределения сведем в табл. 4.

Таблица 4

Исходные данные

	Х	Z =	X		У	h i1 = y			n h
			σ
									σ
	0	0			0,3989	0,3989	100 0,2			= 20,4
								0,39
	±0,5σ	0,5			0,3521		17,5
	±1,0σ	1,0			0,242		12
	±1,5σ	1,5			0,1295		6,45
	±2,0σ	2,0			0,054		2,5
	±2,5σ	2,5			0,0175		0,75
	±3,0σ	3,0			0,0044		0,22

По результатам вычислений (см. табл. 3, 4) строится гистограмма и кривая нормального распределения (рис. 5).

Существуют различные виды распределения случайных величин: нормальное, биноминальное, распределение размаха, распределение Пуассона и др. Очень часто нормальное распределение используется как модель, так как многие совокупности измерений имеют распределение, приближающееся к нормальному. Условно площадь под кривой нормального распределения относительно Х равна единице (рис. 6).

Сокращенно таблицу площадей под нормальной кривой можно представить табл. 5.

В этой таблице представлены величины площади при средних квадратических отклонениях от -∞ до Z. Для того чтобы определить величину площади между двумя значениями Z, нужно произвести вычитание соответствующих значений, приведенных в табл. 5.

13

Рис. 5. Кривая нормального распределения

		Таблица площадей		Таблица 5
	Площадь слева	Площадь спра-	Площадь	Площадь вне
Z	от Z или	ва от Z или	между ±Z	пределов Z
	справа от -Z	слева от -Z
0	0,500	0,500	0,000	1,000
1	0,8413	0,1587	0,6826	0,3174
2	0,9773	0,0227	0,9545	0,0455
3	0,9987	0,0013	0,9973	0,0027

Например, площадь между

Z = -1 и Z = 2 равна 0,9773 - 0,1587 = 0,8186.

Используя таблицы функции нормального распределения, можно определить величину или процент дефектных изделий.

14

Рис. 6. Кривая нормального распределения

Предположим, что технологический процесс налажен; известно, что Х = 0,501, σ = 0,022, кроме того, в соответствии с требованием нормативно-технической документации верхнее и нижнее значения равны 0,500 ± 0,005.

Определим отклонения верхнего и нижнего допускаемых значений от средних, кратные величине σ :

Z B = TBσ− X = 0,505 −0,501 =1,82; 0,0022

Z H = THσ− X = 0,495 −0,501 = −2,52. 0,0022

По таблице вероятности попадания нормально распределенной случайной величины в интервалы 0-1,82 и 0-2,52 соответственно равны

0,9656 - 0,5 = 0,4656 и 0,5 – 0,0059 = 0,4941.

Поэтому ожидается получение примерно следующих данных:

15

0,4656 + 0,4941 = 0,9597 = 95,97% изделий соответствует установ-

ленным требованиям; 0,500 – 0,4656 = 0,0344 = 3,44% изделий имеет размер, превы-

шающий верхний допуск; 0,500 – 0,4941 = 0,0059 = 0,59% изделий имеет размер ниже пре-

дусмотренного нижним допуском.

Изложенная методика позволяет дать оценку любому технологическому процессу, определить значения параметров, выходящих за допустимые пределы.

4. Статистические методы регулирования технологических процессов

Задача статистического регулирования технологического процесса состоит в том, чтобы на основании результатов периодического контроля выборок малого объема приходить к заключению: «процесс налажен» или «процесс разлажен».

Выявление разладки технологического процесса основано на результатах периодического контроля малых выборок, осуществляемого по количественному или альтернативному признакам. Для каждого из этих способов контроля используются свои статистические методы регулирования.

4.1.Контроль по количественному признаку заключается в опре-

делении с требуемой точностью фактических значений контролируемого параметра у единиц продукции из выборки. Фактические значения регулируемого параметра необходимы для последующего вычисления статистических характеристик, по которым принимается решение о состоянии технологического процесса. Такими характеристиками является выборочное среднее, или медиана и выборочное среднее квадратическое отклонение или размах.

Первые две характеристики – характеристики положения, а последние две – характеристики рассеивания случайной величины Х.

4.2.Контроль по альтернативному признаку заключается в опре-

делении соответствия контролируемого параметра или единицы продукции установленным требованиям. При этом каждое отдельное несоответствие установленным требованиям считается дефектом, а единица продукции, имеющая хотя бы один дефект, считается дефектной.

16

При контроле по альтернативному признаку не требуется знать фактическое значение контролируемого параметра – достаточно установить факт соответствия или несоответствия его установленным требованиям. Поэтому можно использовать простейшие средства контроля: шаблоны, калибры, контроль по образцу и др.

Решение о состоянии технологического процесса принимается в зависимости от числа дефектов или числа дефектных единиц продукции, обнаруженных в выборке.

Каждый из перечисленных способов контроля имеет свои преимущества и свои недостатки. Преимущество контроля по количественному признаку состоит в том, что он более информативен (по сравнению с контролем по альтернативному признаку) и поэтому требует меньшего объема выборки. Однако такой контроль более дорогой, поскольку для него необходимы такие технические средства контроля, которые позволяют получать фактические значения контролируемого параметра.

Кроме того, для статистического регулирования при контроле по количественному признаку необходимы вычисления, связанные с определением статистических характеристик.

Преимущество контроля по альтернативному признаку заключается в его простоте и относительной дешевизне, поскольку можно использовать простейшие средства контроля или визуальный контроль. К недостаткам такого контроля относится его меньшая информативность, что требует значительно большего объема выборки при равных исходных данных.

С учетом изложенных факторов выбирают тот или иной способ контроля для статистического регулирования. Рассмотрим суть статистических методов регулирования технологических процессов.

Любой контролируемый параметр по своей природе является случайной величиной, поскольку он может принять то или иное значение, причем заранее нам не известное.

Случайная величина (показатель качества – масса, диаметр отверстия, вала и пр.) может быть, в частности, непрерывной или дискретной. Например, диаметр вала представляет собой непрерывную случайную величину, которая теоретически может принимать все значения в интервале, ограниченном допуском, скажем, между 34,5 и 35,5. Непрерывную величину мы получаем при контроле качества продукции по количественному признаку с помощью измерительных средств,

17

позволяющих получить значение контролируемого параметра с большой точностью.

Дискретную величину мы получаем, например, при контроле качества продукции по альтернативному признаку, т.е. по признаку годен или не годен. В результате такого контроля мы отсчитываем число дефектных единиц продукции или число дефектов. При этом нас не интересует истинное значение параметра Х, достаточно лишь установить, соответствует ли оно установленному требованию или нет.

Наиболее часто применяемым при решении задач статистического контроля качества распределением непрерывной случайной величины

Хявляется нормальное распределение.

4.3.Предварительный анализ состояния технологического

процесса.

При отклонении µ от заданного значения µ0 , а также при увели-

чении σ (среднее квадратическое отклонение) увеличивается доля дефектной продукции Р, что свидетельствует о разладке технологического процесса.

На стадии предварительного анализа состояния технологического процесса необходимо оценить параметры µ и σ . Для этого надо ото-

брать на контроль определенное количество единиц продукции. Чем большее число единиц продукции будет проконтролировано, тем более точной будет оценка этих параметров. Продукцию на контроль следует отбирать при нормальном ходе производства, т.е. при надлежащем качестве сырья и при отлаженном оборудовании.

При этих условиях мы получим оценки параметров µ и σ при налаженном состоянии технологического процесса, т.е. µ0 и σ . Зная эти

значения, мы можем определить вероятную долю дефектной продукции Р при налаженном состоянии технологического процесса.

На рис. 7 показана полученная кривая плотности нормального распределения, расположенная в пределах поля допуска, ограниченного нижним предельным значением ТН и верхним предельным значени-

ем ТВ Известно, что вся площадь под кривой нормального распределе-

ния равна 1. Площадь под кривой между двумя предельными значениями ТН и ТВ представляет собой ту долю всей совокупности (принятой за 1), для которой значения Х лежат в пределах поля допуска, т.е. долю годной продукции q. Эта доля определяется как вероятность того, что случайная величина Х примет значение в пределах ТН - ТВ:

	18
q = P(TH	< X <TB ) =Ф(	ТВ − µ	) −Ф(	ТН − µ	),	(16)
		σ		σ

где Ф (Х) – функция нормального распределения; Р = 1-q – доля дефектной продукции.

Рис. 7. Кривая плотности нормального распределения

Из формулы (16) следует, что доля годной продукции зависит от допуска, а также от значений µ и σ .

Из формулы ясно, что чем больше будет поле допуска, тем большей будет доля годной продукции, и наоборот, чем большим будет значение σ , тем меньшей будет доля годной продукции и тем большей будет доля дефектной продукции Р. Сказанное можно проиллюстрировать рис. 7, если сравнить площади под нормальными кривыми в пределах поля допуска (ТН - ТВ) при различных значениях σ : 0; 1; 2. С другой стороны, чем больше будет отклоняться µ1 от значения µ0 (при

неизменном σ ), тем меньшей будет доля годной продукции и тем большей будет доля дефектной продукции Р. Сказанное представлено на рис. 8.

Из иллюстрации ясно, что при заданном допуске для уменьшения доли дефектной продукции Р необходимо добиваться, чтобы, вопервых, значения µ не отклонялись от значения µ0 , которое обычно

принимают равным середине допуска; во-вторых, чтобы значение σ не

19

увеличивалось. Этого можно добиться путем своевременной подналадки оборудования

Рис. 8. Изменение доли дефектной продукции

при разладке процесса

.

Используя формулу (16), можно определить долю годной продукции при налаженном процессе, подставляя значения µ0 ; σ0 . . Если мы

хотим определить долю годной продукции при разлаженном процессе, то следует в формулу подставить значения µ1,σ1.

Пример 1. Задано поле допуска, ограниченное предельными значениями: верхним ТВ = 22,2 мкм и нижним ТН = 17,8 мкм.

В результате предварительного анализа установлено, что среднее значение совпадает с серединой поля допуска, т. е. µ0 = 20 мкм и

σ = 1 мкм.

Требуется при этих условиях определить вероятную долю дефектной продукции Р.

Решение. Определим долю годной продукции:

q = P(TH < X <TB ) =Ф(ТВσ− µ) −Ф(ТНσ− µ) =Ф(22,21−20) −

−Ф(17,8 −20) =Ф(2,2) −Ф(−2,2); 1

q =Ф(2,2) −[1 −Ф(2,2)]= 2Ф(2,2) −1.