Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

И.А. Штефан Дискретизация сигналов по критерию наибольшего отклонения

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
19.08.2013
Размер:
255.33 Кб
Скачать

Министерство образования Российской Федерации Государственное учреждение

Кузбасский государственный технический университет Кафедра информационных и автоматизированных производственных систем

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ ПО КРИТЕРИЮ НАИБОЛЬШЕГО ОТКЛОНЕНИЯ

Методические указания к лабораторной работе по курсу «Компьютерное управление» для студентов специальности 210200 «Автоматизация технологических процессов и производств

(в машиностроении)»

Составители И.А. Штефан В.В. Штефан

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 4 от 26.11.02

Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 210200 Протокол № 91 от 06.01.03 Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2003

1

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы - изучить метод дискретизации сигналов по критерию наибольшего отклонения и приобрести практические навыки по его использованию при выборе шага дискретизации сигналов в системах управления техническими объектами и оценке погрешности восстановления.

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

По критерию наибольшего отклонения шаг дискретизации выбирают таким образом, чтобы максимальное отклонение не превышало бы заданного отклонения.

x(t) = x(t) – x*(t),

(2.1)

где x*(t) - оценка сигнала x(t), х(t) – исходный сигнал.

При этом качество дискретизации оценивают количественным показателем качества приближения γ, определяющим максимальное число точек на интервале дискретизации t, в которых разность между x(t) и полиномом наилучшего приближения Pi(t) принимает максимально допустимое значение с чередованием знака.

В работе в качестве полиномов наилучшего приближения рассматриваются интерполяционные полиномы Лагранжа

 

z(z 1)L(z n)

n

i

 

P (t) = (1)n

(1)i

Cn x(ti )

,

(2.2)

 

 

n

n!

i =0

z i

 

 

 

где z = t tt0 ; t=t1 - t0=ti t1=…=const; n = 0,1, 2, … - порядок полино-

ма Лагранжа; i = 0, n.

Между отсчетами погрешность воспроизведения исходного сигнала, дифференцируемого (n+1) раз, определяется остаточным членом:

 

Mn +1

 

t n+1

n

 

Ln (t)

 

(z i),

(2.3)

(n +1)!

 

 

i =0

 

где M n+1 - максимальное значение модуля (n+1)-й производной x(t) на отрезке аппроксимации.

2

Рассмотрим выбор шага дискретизации и остаточные члены при ступенчатой, линейной и параболической аппроксимациях.

Ступенчатая аппроксимация имеет место при n=0. Остаточный

член

L0 (t) M1tz

(2.4)

принимает максимальное значение в конце интервала дискретизации при z=1. Ступенчатая аппроксимация приведена на рис. 2.1.

x(t)

 

x*(t)=L0(t)

x(t)

 

t

Рис. 2.1. Ступенчатая аппроксимация

 

Показатель качества приближения γ в этом случае на любом из интервалов дискретизации не превышает 1, т.е. γmax=1. Тогда шаг дискретизации t выбирается из условия

t

εдоп ,

(2.5)

 

М1

 

где εдоп – допустимая ошибка дискретизации (восстановления). При этом

x * (t) = x(ti ),

(2.6)

где ti t ti+1 .

Линейная аппроксимация имеет место при n=1. Остаточный член

 

3

 

 

L (t) M 2

t 2 z(z 1)

(2.7)

1

2

 

 

 

 

 

имеет максимальное значение при z=0,5.

 

 

В этом случае шаг дискретизации определяют из условия

 

t

8εдоп .

(2.8)

 

 

М2

 

График линейной аппроксимации приведен на рис. 2.2.

x(t)

 

 

 

x*(t)=L1(t)

 

 

x(t)

 

 

 

t

Рис. 2.2. Линейная аппроксимация

Параболическая аппроксимация имеет место при n=2. Остаточный

член

L (t)

M

3

t3z(z 1)(z 2) ,

(2.9)

 

 

2

8

 

 

 

 

 

 

 

имеет максимальное значение при z = 0,42. При этом шаг дискретизации определяют из условия

t 3

20,8 εдоп .

(2.10)

 

М3

 

4

Точность аппроксимации оценивается: - по показателю наибольшего отклонения

xmaxi

= max

 

x(t) x* (t)

 

;

(2.11)

 

 

 

 

t t

 

- по среднеквадратичному показателю

 

σ =

1 ti +t (x(t)x* (t))2 dt ;

(2.12)

 

t

 

 

ti

 

- по интегральному показателю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ι =

ti +∆t

 

x(t)x* (t)

 

dt ,

(2.13)

 

 

 

 

 

 

ti

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где t (ti; ti+1) в выражениях (2.12) и (2.13).

 

3.ПРИМЕТЫ ВЫБОРА ШАГА ДИСКРЕТИЗАЦИИ

ИОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ

Впримерах рассматривается аналоговый сигнал вида

x(t)=1+0,2sin 0,3t 0,7e0,5t

(3.1)

на интервале [0;5]. Допустимая погрешность дискретизации (восстановления) выбирается из условия

εдоп =

0,05 хmax .

(3.2)

Так как функция x(t) возрастающая, то максимальное значение

сигнала xmax = x(t = 5)=1,14.

, т.е. εдоп = 0,057 .

 

Отсюда εдоп = 0,05 1,14 = 0,057

 

5

3.1. Ступенчатая аппроксимация

Шаг дискретизации при ступенчатой аппроксимации выбирается по выражению (2.5). Для определения максимального значения первой производной по модулю М1 продифференцируем функцию (3.1). В итоге

0,5t

.

(3.3)

 

x (t)= 0,06cos0,3t + 0,35e

 

Так как функция x(t) убывающая, то наибольшее значение находится в начале интервала, т.е.

M1 =

x (t = 0) = 0,41.

Отсюда шаг дискретизации

t0 0,0570,41 = 0,139.

Примем t0 = 0,135. В итоге на интервале изменения сигнала x(t) [0;5] число шагов дискретизации

k = 0,1355 = 37,03.

Примем k=37. Тогда правая граница интервала

tmax=0,135 37=4,995

Исходный и аппроксимированный сигналы приведены на рис. 3.1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,06

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,04

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,068

 

 

1

0,095

 

8

 

 

2

0,135

 

 

9

2

0,176

 

 

9

0,203

 

8

0

 

2

 

4

,16

 

8

0

 

0,1

 

1

 

1

 

1

 

,

 

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

0

0

 

 

Рис. 3.1. Исходный сигнал и аппроксимированный сигнал при ступенчатой аппроксимации

Оценим точность восстановления при ступенчатой аппроксимации по оценкам (2.11)÷(2.13). Так как x(t) функция возрастающая, а x*(t) – убывающая, то максимальное отклонение x(t) от x*(t)=L0(t) будет на первом шаге дискретизации, т.е.

xmax = x(0,135)x(0)= 0,054, т.е. xmax = 0,054.

Оценим точность по интегральному показателю (2.13), который характеризует площадь между исходной функцией x(t) и аппроксимированной функцией x*(t) на каждом шаге дискретизации, т.е.

I =

 

IT IП

 

,

(3.4)

 

 

где IT – площадь криволинейной трапеции, определяемой по выражению

tmax

 

 

IT = ∫x(t)dt ,

(3.5)

0

 

 

т.е. в данном примере

 

 

IT = 4,995(1+0,2sin 0,3t 0,7e0,5t )dt =t 0,67cos0,3t +1,4e0,5t

 

4,995 = 4,334.

 

0

 

0

7

IП – суммарная площадь прямоугольников с основанием ∆t и высотой x*(it), где i =1, m , т.е.

m

I П = ∆t x((i 1)t). (3.6)

i=1

В примере

37

I П = 0,135 x((i 1)t)= 4,271.

i =1

Отсюда имеем, что

I=4,334-4,271=0,063, т.е. I=0,063.

Для оценки по среднеквадратичному показателю (2.12) ошибки восстановления посчитаем приближенную разницу между исходной и аппроксимирующей функциями. На каждом шаге дискретизации эту площадь можно вычислить как площадь прямоугольного треугольника с катетами ∆t и xi+1(t)xi (t)= ∆xi (t), т.е.

ti +∆t

ti

Отсюда

σi

x(t)xx (t)

 

2

 

t x (t)

2

 

 

 

dt

i

.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

1

t 2x 2

(t)

 

x

(t)

 

 

 

 

 

 

=

 

i

 

=

i

 

t .

t

 

 

 

4

 

 

2

 

 

Тогда на всем интервале t[0;tmax ]

σ = 1 m σi m i=1 .

Для данного примера имеем, что

(3.7)

(3.8)

(3.9)

8

 

1

37

, σ = 0,0042.

σ =

 

σi = 0,0042

 

 

37 i =1

 

3.2. Исследование влияния шага дискретизации на точность восстановления

Исследуем влияние шага дискретизации на точность восстановления при ступенчатой аппроксимации в интервале от 0,5∆t0 до 1,5∆t0 с интервалом 0,1 ∆t0. В примере величина изменения шага дискретизации δТ0=0,1 0,135=0,0135. При этом минимальный шаг дискретизации

t0min=0,5 0,135=0,0670, а максимальный ∆t0max=1,5 0,135=0,2025. Ре-

зультаты расчета показателей (2.11)÷(2.13) приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Показатели точности восстановления

t0

0,0675

0,081

0,0945

0,108

0,1215

0,135

0,1485

0,162

0,1755

0,189

0,2025

xmax

0,0273

0,033

0,038

0,043

0,048

0,054

0,059

0,064

0,069

0,074

0,079

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

σ

0,001

0,0023

0,0024

0,0030

0,0036

0,0042

0,0048

0,0055

0,0062

0,007

0,0076

I

0,028

0,0301

0,034

0,045

0,057

0,063

0,071

0,074

0,080

0,083

0,094

Графики изменения показателей точности восстановления ∆xmax, I

приведены на рис. 3.2, а σ - на рис. 3.3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,1

 

 

∆Xmax,I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,08

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,06

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,04

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,02

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

1

 

 

5

 

 

8

 

 

2

 

 

5

 

 

9

 

 

2

 

 

6

 

 

9

 

 

3

∆t

 

6

 

8

 

9

 

0

 

2

 

3

 

4

 

6

 

7

 

8

 

0

 

0

 

0

 

0

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

2

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

 

Рис.3.2. Графики показателей точности восстановления ∆xmax, I

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,008

 

σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,006

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,004

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

1

 

 

5

 

 

8

 

 

2

 

 

5

 

 

9

 

 

2

 

 

6

 

 

9

 

 

3

∆t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

8

 

9

 

0

 

2

 

3

 

4

 

6

 

7

 

8

 

0

 

0

 

0

 

0

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

1

 

2

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

0

 

 

 

Рис. 3.3. График показателя точности восстановления σ

 

3.3. Линейная аппроксимация

Шаг дискретизации при линейной аппроксимации выбирается по выражению (2.8). Для определения максимального значения второй производной по модулю М2 продифференцируем функцию (3.3). В итоге

′′

0,5t

.

(3.10)

 

x (t)= −0,018sin 0,3t 0,175e

 

Тогда имеем, что

M 2 = max{(x′′(t))}0,175, гдеt [0,5], т.е. М2=0,175.

Тогда шаг дискретизации

t

 

 

8 0,057

=1,6142.

1

0,175

 

 

 

Примем t1=1,6. Тогда на интервале изменения сигнала x(t) [0;5] число шагов дискретизации

k = 15,6 = 3,125.

Примем k=3. Тогда правая граница интервала tmax=1,6 3=4,8.

Соседние файлы в предмете Технология машиностроения