И.А. Штефан Аналитическое определение временных характеристик САР и ее элементов
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Кафедра информационных и автоматизированных производственных систем
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК CAP И ЕЕ ЭЛЕМЕНТОВ
Методические указания к лабораторной работе по курсу "Теория автоматического управления" для студентов специальности 210200 "Автоматизация технологических процессов и производств (в машиностроении)", по курсу "Основы теории управления" для студентов специальности 071900 "Информационные системы и технологии"
Составители И.А.ШТЕФАН В.В.ШТЕФАН
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 7 от 02.04.03 Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 210200 Протокол № 96 от 10.04.03
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ
Кемерово 2003
1
1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Цель работы – приобретение студентами практических навыков по определению аналитическими методами временных характеристик систем и элементов.
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Временными характеристиками САР и ее элементов называют решения дифференциальных уравнений при типовых входных воздействиях. В качестве типовых входных воздействий рассматриваются:
-единичное ступенчатое воздействие 1(t );
-единичное импульсное воздействие δ (t );
-единичное линейное воздействие q(t).
Из временных характеристик в лабораторной работе рассматриваются:
-переходная характеристика h(t) – реакция системы на единичное ступенчатое воздействие 1(t );
-весовая характеристика w(t) – реакция системы на единичное импульсное воздействие δ (t );
В системах ЧПУ довольно часто в качестве типового входного воздействия рассматривают единичное линейное воздействие вида
q (t )=t , |
(2.1) |
график которого представлен на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Единичное линейное воздействие
2
Переходной процесс, вызванный воздействием q(t), будем обозначать x(t). Если угловой коэффициент отличен от 1, т.е. v(t)=k t, то реакция системы на выходе определяется соотношением:
y (t )= k x(t ). |
(2.2) |
Так как изображение по Лапласу:
L{t} = |
1 |
, |
(2.3) |
|
p2 |
|
|
то изображение функции x(t):
Х (p)=W (p) |
. |
(2.4) |
p2 |
|
|
Чтобы найти оригинал x(t), необходимо передаточную функцию W(p) разделить на p2.
В основе метода аналитического определения временных характеристик САР и ее элементов лежат операторный метод и метод неопределенных коэффициентов [1, 5].
3. ПРИМЕР АНАЛИТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВРЕМЕННЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЭЛЕМЕНТОВ САР И ИХ ПОСТРОЕНИЕ
Пусть элемент САР описывается линейным дифференциальным уравнением третьего порядка вида
0,02 y′′′(t )+0,32 y′′(t )+1,3y′(t )+ y (t )= 0,5x′(t )+ x(t ), |
(3.1) |
при начальных условиях:
y′′′(0)= y′′(0)= y′(0)= 0; y(0)=1. |
(3.2) |
3
Требуется определить временные характеристики элемента операторным методом при типовых входных воздействиях 1(t) , δ(t) и q(t)
(2.1).
Запишем исходное дифференциальное уравнение (3.1) в операторной форме, используя теорему о дифференцировании преобразования Лапласа:
L{y(n) (t )}= pnY (p)− pn−1 y(0) −K− py(n−2) (0)− y(n−1) (0). (3.3)
Тогда уравнение (3.1) в операторной форме будет иметь вид
0,02 p3Y (p)−0,02 p2 y(0)+0,032 p2Y (p)−0,032 py(0)+ +1,3 pY (p)−1,3y(0)+Y (p)= 0,5 pX (p)+ X (p).
После преобразования уравнение в операторной форме примет вид
0, 02 p3Y (p)+0,32 p2Y (p)+1,3 pY (p)+Y (p)= |
(3.4) |
= 0,5X (p)+ X (p)+(0, 02 p2 +0,32 p +1,3)y (0). |
Тогда изображение выходной переменной примет вид:
0,5 |
р+1 |
|
|
|
||||
Y (p)= |
|
|
X ( p) + |
|
||||
0,02 p3 +0,32 p2 +1,3 p +1 |
(3.5) |
|||||||
|
0,02 p2 +0,32 p +1,3 |
|
|
|
||||
+ |
|
y(0)=Y ( p) +Y ( p). |
||||||
|
||||||||
|
0,02 p3 +0,32 p2 + |
1,3 p +1 |
1 |
2 |
||||
|
|
|
|
|||||
Корни характеристического уравнения
0,02 p3 +0,32 p2 +1,3 p +1 = 0 |
(3.6) |
равны: p1 = −1; p2 = −10; p3 = −5.
4
3.1. Определение переходной характеристики
Так как L{1(t)}=1/p, то при определении переходной характеристики:
Y1 |
(p)= |
0,5 p +1 |
= |
25 p +50 |
.(3.7) |
|
0,02 p (p +1)(p +10)(p +5) |
p(p +1)(p +10)(p +5) |
|||||
|
|
|
|
Разложим выражение (3.7) на простые сомножители, используя метод неопределенных коэффициентов:
|
|
25 p +50 |
A |
|
B |
|
C |
|
D |
|
|
||
|
|
|
= |
|
+ |
|
|
+ |
|
+ |
|
= |
|
|
|
p(p +1)(p +10)(p +5) |
p |
p +1 |
p +10 |
p +5 |
|||||||
= |
A(p +1)(p +10)(p +5)+ Bp(p +10)(p +5)+Cp(p +1)(p +5)D(p +1)(p +10) |
. |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
p(p +1)(p +10)(p +5) |
|
|
|
|
|
|
|||||
Для определения коэффициентов A,B,C,D составим уравнения, приравнивания коэффициенты числителей левой и правой частей при одинаковых степенях р в предыдущем выражении или придавая р удобные для вычисления коэффициентов значения. Рассмотрим последний метод.
Составим уравнение
25 p +50 = A(p +1)(p +10)(p +5)+ Bp(p +10)(p +5)+ +Cp(p +1)(p +5)+ Dp(p +1)(p +10).
На основе (3.8) имеем при: |
|
|
|
|
|
|||
р=0: |
А=1; |
|
р=-1: |
|
|
В=-0,69; |
||
р=-10: |
С=0,44; |
|
р=-5: |
|
|
D=-0,75. |
||
В итоге: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
(p)= |
1 |
− 0,69 |
+ |
0, 44 |
− |
0,75 |
. |
|
|
|
||||||
1 |
|
p p +1 |
|
p +10 |
|
p +5 |
||
|
|
|
|
|||||
Аналогично определяем коэффициенты и для Y2(p).
(3.8)
(3.9)
5
Y (p)= |
0,02 p2 + 0,32 p +1,3 |
= |
p2 +16 p + 65 |
= |
2 |
0,02(p +1)(p +10)(p +5) |
|
(p +1)(p +10)(p +5) |
|
|
|
|
|
=pA+1 + p +B10 + pC+5.
Витоге получаем уравнение
p2 +16 p + 65 = A(p +10)(p +5)+ B(p +1)(p +5)+
+C (p +1)(p +10).
На основе (3.11) имеем при: |
|
|
|
|
|
|
||
|
p=-1: |
|
|
А=1,39. |
||||
|
р=-10: |
|
|
В=0,11. |
||||
Тогда |
P=-5: |
|
|
С=-0,5. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
(p)= 1,39 |
+ |
0,11 |
− |
0,5 |
. |
|
|
|
|
||||||
2 |
|
p +1 |
|
p +10 |
|
p +5 |
||
|
|
|
|
|
||||
Подставив выражения (3.9) и (3.12) в (3.7), получим, что
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Y (p)= |
1 |
+ |
0,7 |
|
+ |
0,55 |
− |
1, 25 |
. |
(3.13) |
p |
p +1 |
p +10 |
|
|||||||
|
|
|
|
p +5 |
|
|||||
С учетом таблиц обратного преобразования Лапласа [1] решение дифференциального уравнения (переходная функция) имеет вид
h(t )=1 + 0,7e−t + 0,55e−10t −1,25e−5t . |
(3.14) |
3.2. Определение весовой характеристики
Так как L{δ(t)}=1, то при определении весовой характеристики
ω(t) имеем из (3.7):
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Y1 |
(p)= |
|
0,5 p +1 |
= |
25 p +50 |
. (3.15) |
|
0,02 |
(p +1)(p +10)(p +5) |
(p +1)(p +10)(p +5) |
|||||
|
|
|
|
При разложении на простые сомножители получим
25 p +50 |
|
A |
|
B |
|
C |
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
. |
(p +1)(p +10)(p +5) |
p +1 |
p +10 |
p +5 |
||||
Для определения коэффициентов A, B, C запишем уравнение
25 p +50 = A(p +10)(p +5)+ B(p +1)(p +5)+C (p +1)(p +10).
На основе (3.17) имеем, что при
p=-1: А=0,69. р=-10: В=-4,44. р=-5: С=3,75.
В итоге:
Y |
(p)= 0,69 |
− |
4,44 |
+ 3,75 . |
|
||||
1 |
p +1 |
|
p +10 |
p +5 |
|
|
(3.16)
(3.17)
(3.18)
Так как Y2(p) не зависит от типа входного воздействия, а определяется только начальными условиями, то на основе (3.18) и (3.14) имеем
Y (p)= 2,08 |
− |
4,33 |
+ |
3,25 . |
(3.19) |
|
p +10 |
||||||
p +1 |
|
|
p +5 |
|
||
В итоге весовая функция имеет вид |
|
|
|
|||
ω(t )= 2,08e−t |
−4,33e−10t +3, 25e−5t . |
(3.20) |
||||
7
3.3. Определение характеристики при линейном входном воздействии
При определении характеристики при воздействии q(t)=t имеем на основе (2.3), что
Y1 |
(p)= |
|
0,5 p +1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
25 p +50 |
|
|
|
. (3.21) |
||||
0,02 p2 |
(p +1)(p +10)(p |
+5) |
|
p2 (p +1)(p +10)(p + |
5) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
При разложении на простые сомножители получим |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
25 p +50 |
= |
A |
+ |
B |
|
+ |
C |
|
+ |
D |
+ |
E |
|
. (3.22) |
||||
|
|
p2 (p +1)(p +10)(p +5) |
p |
p2 |
p +1 |
p +10 |
p +5 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
В этом случае уравнение для определения коэффициентов примет
вид
25 p +50 = Ap(p +1)(p +10)(p +5)+ B(p +1)(p +10)(p +5)+ |
. (3.23) |
||||||||
+Cp2 (p +10)(p +5)+ Dp2 (p +1)(p +5)+ Ep2 (p +1)(p +10) |
|||||||||
Тогда имеем при |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p=0: |
|
|
|
|
|
B=1; |
|
|
|
p=-1: |
|
|
|
|
|
C=0,69; |
|
|
|
p=-10: |
|
D=-0,044; |
|
|||||
|
p=-5: |
|
|
|
|
|
E=0,15; |
|
|
а |
р=1: |
|
|
|
|
|
A=-0,8, |
|
|
(p)= −0,8 |
|
|
1 |
|
+ 0,69 − 0,044 + 0,15 . |
|
|||
Y |
+ |
|
|
(3.24) |
|||||
|
|
||||||||
1 |
p |
|
|
p2 |
|
p +1 p +10 p +5 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||
В итоге |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y (p)= −0,8 |
+ |
1 |
|
+ |
2,08 − 0,066 + 0,35 . |
(3.25) |
|||
p2 |
|||||||||
|
p |
|
|
p +1 p +10 p +5 |
|
||||
8
Тогда характеристика элемента при линейном воздействии имеет
вид
x(t)= −0,8 +t +2,08e−t +0,066e−10t −0,35e−5t . |
(3.26) |
Временные характеристики h(t), ω(t),x(t) приведены на рис. 3.1-3.3, характер изменения которых существенно зависит от типа входных воздействий и от начальных условий.
|
1,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
h(t) |
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,6 |
1,2 1,8 |
2,4 |
3 |
3,6 4,2 |
4,8 5,4 |
6 |
6,6 7,2 |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
Рис. 3.1. Переходная характеристика |
||||||||
|
2,5 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
w(t) |
1,5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,6 1,2 1,8 2,4 |
3 |
3,6 4,2 4,8 5,4 |
6 |
6,6 7,2 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
Рис. 3.2. Весовая характеристика |
|
||||
9
|
8 |
|
|
|
|
|
x(t) |
6 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,6 1,2 1,8 2,4 |
3 |
3,6 4,2 4,8 5,4 |
6 |
6,6 7,2 |
|
|
|
|
t |
|
|
Рис. 3.3. Характеристика при линейном входном воздействии
4.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
1.Ознакомиться с временными характеристиками САР и ее элементов и методами их аналитического определения.
2.Найти временные характеристики элемента, описываемого дифференциальным уравнением вида
a0 y′′′(t )+a1 y′′(t )+a2 y′(t )+a3 y (t )= b0 x′′(t )+b1x′(t )+b2 x(t ), (4.1)
при ступенчатом, импульсном и линейном входных воздействиях с учетом коэффициентов, приведенных в табл. 4.1, выбираемых в соответствии с заданным вариантом.
Таблица 4.1
Коэффициенты дифференциального уравнения
Вариант |
|
|
Коэффициент |
|
|
|||
а0 |
а1 |
а2 |
а3 |
b0 |
b1 |
b2 |
||
|
||||||||
1 |
2 |
13 |
16 |
5 |
0 |
0,5 |
1 |
|
2 |
1 |
2,6 |
1,25 |
0,1 |
0,1 |
0 |
2 |
|
3 |
2 |
2 |
1 |
0,25 |
0 |
0,1 |
0,5 |
|
4 |
5,76 |
3,36 |
1 |
0 |
0,01 |
0,5 |
2 |
|
5 |
1 |
3,5 |
1,56 |
0,18 |
0,05 |
0 |
3 |
|
6 |
3 |
12 |
1 |
4 |
0 |
0 |
0,4 |
|
7 |
5 |
1 |
1 |
0,2 |
0,1 |
2 |
10 |
|