Лекция № 9

Z-преобразование

Определение Z-преобразования. Дискретной
последовательности отсчетов							x(n)
							ставится в
соответствие функция комплексной переменной z,
определяемая следующим образом:
				Z x(n) X (z) x(n)z n				(9.1)
		X (z)					n
•				определена только для тех значений z, при
Функция
которых ряд			(9.1) сходится.
•					x(n)	имеет ограниченную длину,
Если последовательность
то	X (z)сходится в Z-плоскости везде, за исключением,
быть может, точек z = 0 или z =							.

•При Z-преобразовании разностные уравнения, описывающие работу дискретной системы, преобразуются в алгебраические уравнения, с которыми проще производить необходимые действия.

Z-преобразование некоторых дискретных сигналов

• Единичный импульс, определяемый как

1, n 0 u0 (n) 0, n 0

Используя формулу Z-преобразования , получаем:

X0 (z) x(n)z n 1.

n

Функция X0 (z) сходится во всей комплексной плоскости.

Z-преобразование некоторых дискретных сигналов

• Единичный скачок, определяемый соотношением:

1, n 0 u1 (n) 0, n 0

Используя определение Z-преобразования, получаем:

X (z)

n

	(9.2)
x(n)z n 1 z n .

n 0

Ряд (9.2) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем z 1. Как

известно, такой ряд сходится при						z 1		1,то есть при
	z		1, и его сумма равна:					1
				X (z)					.
							1 z 1

Z-преобразование некоторых дискретных сигналов

• Экспоненциальная дискретная функция, определяемая как

an , n 0 e(n)

0, n 0

			n .
X (z) x(n)z n an z n az 1

Этот ряд представляетn собойn 0сумму геометрическойn 0

прогрессии с первым членом, равным 1, и знаменателем

1 . Таким образом, ряд сходится при								и имеет
особуюaz	точку при	:				az 1		1,
		z a			1			z
		X (z)							.
			1		az 1			z a

Z-преобразование некоторых дискретных сигналов

• Комплексная дискретная экспонента, определяемая как

j n

, n 0

x(n) e

0,

n 0

n

1

X (z) x(n)z n e j z 1

,

1 e

j

z

1

n

n 0

причем X (z) сходится при

z

1 , т.к.

единственной особой точкой

X (z)

является

z e j .

T и z

e i T

Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа

Z-преобразование можно получить из преобразования Лапласа путем перехода к новой переменной:

F ( p) € X (zпри) z e€ pT

Смысл использования Z-преобразования при анализе дискретных сигналов вытекает из следующего:

• Так как Z 1 e pT , то изменение фазовой характеристики ( ) T сигнала означает задержку сигнала на один шаг дискретизации соответствует задержке сигнала на один такт в области.

Связь Z-преобразования с преобразованием Лапласа

•эффект дискретизации аналогового сигнала приводит к появлению в плоскости p j бесконечной конфигурации особых точек (полюсов

2 T.и нулей), повторяющихся через интервал

•

При переходе от

p

Z плоскости точка

k

k

k

плоскости к

отображаетсяp j

в точку

. Поэтому путь вдоль мнимой оси

zk

e

( k j k )T

kT

e

j kT

в

e

плоскости отображается в единичную окружность в

j

p

и, следовательно,

плоскости, так как на мнимой оси

•

Z

k

0

Можно показать,

что левая (устойчивая) полоса

плоскости шириной

z

1.

отображается внутрь круга единичного радиусаp

плоскости.

Все последующие полосы

плоскости шириной

, соответствующие

2

T

Z

периодическому частотному спектру дискретного сигнала, также

p

отображаются внутрь круга единичного радиуса плоскости. Поэтому конфигурация особых точек (полюсов и нулей) в

плоскости становится конечной.

Z

Свойства Z-преобразования

1. Линейность.
Если X1(z)	и X2 (z)	являются Z-преобразованиями
соответствующих сигналов x1(n) и x2 (n) , то
сигналу	y(n) ax1 (n) bx2 (n)
будет отвечать		Z-преобразование
Y (z) aX1 (z) bX 2 (z) при любых
постоянных a		и b.

Свойства Z-преобразования

2.Задержка (сдвиг последовательности).

Если Z-преобразование сигнала	x(n)	X (z)
	равно	, то
Z-преобразование сигнала		,
	y(n) x(n n0 )

задержанного на	n тактов, будет равно
	0

X (z)z n0

Доказательство:

Y (z) y(n)z n		x(n n0 )z n z n0		x(n n0 )z n n0
	n	n		n
z n0	x(n n0 )z	(n n0 ) z n0	x(k)z k z n0 X (z)
	n		k
			.

Свойства Z-преобразования

3. Свертка.

Введем дискретную линейную свертку w(n) , которую определим следующим образом:

w(n) x(k)y(n k) y(k)x(n k).
		k					k
Вычислим ее Z-преобразование:
W (z) Z		w(n)		Z			x(k)y(n k)				x(k)y(n k)z n
					k					k
									n

x(k)y(n

n k

X (z) Y (z)

k)z k z (n k )					y(n k)z (n k )
			x(k)z k
		k		n