Лекция № 16

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ- фильтры) коренным образом отличаются от КИХ-фильтров из-за наличия обратной связи.

•Во- первых, они требуют проверки на устойчивость, как и все системы с обратной связью.

•Во-вторых, они имеют более сложную структуру, их труднее проектировать и анализировать.

•В третьих, их фазочастотная характеристика

принципиально не линейна.

Почему же их используют? Потому, что они очень эффективны.

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

Достоинства БИХ-фильтров:

•БИХ-фильтры требуют намного меньше умножений на один выходной отсчет, чтобы реализовать требуемую частотную характеристику. Они позволяют строить фильтры реального времени, которые работают на значительно более высоких частотах дискретизации, чем КИХ-фильтры.

•БИХ-фильтры могут аппроксимировать заданные аналоговые фильтры. КИХ-фильтры такой возможности не предоставляют.

Стандартные методы проектирования (синтеза) БИХ-фильтров делятся на три базовых класса:

•метод инвариантного преобразования импульсной характеристики;

•метод билинейного z-преобразования;

•оптимизационные методы, основанные на алгоритмах итерационного моделирования коэффициентов фильтра.

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

	Метод инвариантного преобразования импульсной
	характеристики основан на дискретизации импульсной
	характеристики аналогового прототипа.
	Существуют два варианта метода инвариантного преобразования.
•	Вариант 1 требует применения как обратного преобразования
	Лапласа, так и Z-преобразования.
	Его основные этапы (шаги) заключаются в следующем:

1.Получить передаточную функцию H ( p) аналогового фильтра- прототипа с требуемой частотной характеристикой.

2.	По передаточной функции H ( p) определить непрерывную
	импульсную характеристику h(t) , используя обратное

преобразование Лапласа.

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

3.	Определить частоту дискретизации				fд	и шаг дискретизации
	T 1 fд . Частоту дискретизации выбирают в зависимости от
	абсолютной частоты аналогового фильтра-прототипа. Из-за
	проблем наложения спектральных характеристик, свойственных
	этому методу,	fд должна намного превосходить ширину
	спектра фильтруемых сигналов.
4.	Подставить значение (не переменную!) шага дискретизации T
	вместо непрерывной переменной			t	в выражении импульсной
	характеристики. Этим обеспечивается равенство отсчетов h(n)
	дискретной импульсной характеристики значениям непрерывной
	импульсной характеристики в моменты времени t nT .
5.	Найти Z-преобразование функции				h(nT ) и получить системную
	(передаточную) функцию БИХ-фильтра					H (z) в форме отношения
	полиномов от переменной		z .

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

Окончательно для системной функции

H(z) , записываемой в

общем виде

N

bj z j

H (z) h(n)z n

j 0

M

n 0

1

ai z

i

,

получаем набор коэффициентов фильтра:

i 1

b z

1

b z

2

... b z

N

)

1

a z

2

... a

z

M

H(z) T(b

a a z

M

0

1

2

N

0

1

2

и разностное уравнение в общей форме записывается как: y(n) T b0 x(n) b1x(n 1) ... bM x(n N )

a1 y(n 1) a2 y(n 2) ... aN y(n M ).

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

•Вариант 2 метода инвариантного преобразования импульсной характеристики использует другой подход. Он разбивает математически аналоговый фильтр-прототип на несколько фильтров с одним полюсом, а затем аппроксимирует каждый из этих фильтров однополюсным цифровым фильтром. Набор из M однополюсных фильтров затем аналитически объединяется в БИХ-фильтр

Mго порядка, имеющий M полюсов.

•При расчете фильтра этим методом необходимо выполнить следующие шаги:

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

1. Получить передаточную функцию	аналогового фильтра-
прототипа в форме:	H ( p)

H ( p) N

k 0

	M
		a(k ) pk
b(k ) pk
	k 0

(*)

2.	Выбрать подходящую частоту дискретизации fд и вычислить
	период (шаг) дискретизации T 1 fд .
3.	Выразить передаточную функцию H ( p) в виде суммы
	однополюсных передаточных функций. Это требует использования
	разложения (*) на простейшие дроби вида:

H (

где Ak

			N		N 1
	b(N) p			b(N 1) p			... b(1) p b(0)				M
p)
	a(M ) p	M		a(M 1) p		M 1
								... a(1) p a(0)			k 1
- константы;				pk полюсы функции					H(p) на

Ak	,
( p p )
k

p-плоскости.

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

4.	Определить импульсную характеристику			аналогового фильтра с
				h(t)
	передаточной функцией вида (*) и записать ее в форме:
		M	M
		h(t) hk (t) Ak e pk tu 1(t),
		k 1	k 1
	где	u 1(t) единичная функция.

5.Аппроксимировать каждый однополюсный аналоговый фильтр с

передаточной функцией	Hk ( p) Ak	однополюсным
		( p pk )	. Для этого путем
цифровым фильтром с передаточной функцией

H (z)

дискретизации импульсной характеристики аналогового kфильтра получим импульсную характеристику однополюсного цифрового фильтра:

hk (nT ) Ak e pk nT u 1 (nT )

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

6.Найдем Z-преобразование этого однополюсного фильтра:

Ak

Hk (z) h(nT )z

n

Ak (e

pkT

z

1

)

n

1

e

pkT

z

1

n 0

n 0

Аппроксимация заключается в отображении каждого полюса

Hk ( p),

расположенного в точке (

p pk ) на

p-плоскости, в точку

z e pkT

на z-плоскости. Другими словами, аппроксимация осуществляется с помощью отображения, при котором используется замена:

1		1
p pk			1 e pkT z 1

Результирующая передаточная функция дискретного фильтра является

суммой передаточных функций однополюсных дискретных
фильтров:	M	M		Ak
	H (z) Hk (z)							.
			(1 e	pkT	z	1	)
	k 1	k 1

Проектирование фильтров с бесконечной импульсной характеристикой

7. Записать выражение для		H (z)		в виде отношения двух полиномов
от	z . Поскольку H (z)	является суммой простейших дробей,
приводя их к общему знаменателю, получим:
				N
	H (z) Y (z) X (z)			b(k)z k
				k 0	.	(**)
				M
			1 a(k)z k

k 1

По аналогии с вариантом 1 из (**) вытекает разностное уравнение в обобщенной форме с известными коэффициентами. Разностное уравнение можно реализовать либо в виде простой формы БИХ- фильтра, либо в виде улучшенных структур, варианты которых рассмотрены в лекции № 14.