Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

вычмат / Введение в численные методы

.pdf
Скачиваний:
49
Добавлен:
27.05.2015
Размер:
689.56 Кб
Скачать

Кораблина Т.В. Руденкова Е.Г.

Кафедра систем информатики и управления

ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Учебное пособие

Новокузнецк

2003

УДК 519.6 ББК 22.19

Рецензенты:

Доктор технических наук, профессор, зав. лаб. ИПУ РАН В.Н. Бурков Кандидат технических наук, доцент каф. Информационных систем и управления НФИ КемГУ С. А. Шипилов

Кораблина Т.В., Руденкова Е.Г.

Введение в численные методы: Учебное пособие/ ГОУВПО «СибГИУ». - Ново-

кузнецк, 2003. – 59 с.

Пособие содержит материал, предусмотренный программой по дисциплине «Вычислительная математика», и охватывает все основные разделы численного анализа: прямые и итерационные методы линейной алгебры, уравнения и системы нелинейных уравнений, интерполирование и приближение функций, численной интегрирование и дифференцирование, задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений. В каждом разделе дается необходимые теоретические сведения и упражнения для самостоятельного решения. Учебное пособие ориентировано на закрепление студентами теоретического материала и направлено на практическое освоение и исследование свойств вычислительных алгоритмов.

Предназначено для студентов специальностей: «Информационные системы (в управлении)» (071900), «Прикладная информатика (в управлении)» (351400), «Автоматизация технологических процессов и производств» (210200).

© ГОУВПО «СибГИУ», 2003 © Кораблина Т.В., 2003

2

СОДЕРЖАНИЕ

Введение …………………………………………………………………………

5

 

 

1. Элементы теории погрешностей …………………………………………….

5

 

 

1.1. Вычислительная погрешность ……………………………………………..

5

 

 

1.2. Значащие и верные цифры числа ………………………………………….

6

 

 

1.3. Прямая задача теории погрешностей ……………………………………...

7

 

 

2. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений ……….

11

 

 

2.1. Прямые методы численного решения систем

 

алгебраических уравнений………………………………………………….

11

 

 

2.2. Итерационные методы численного решения

 

систем алгебраических уравнений …………………………………….......

16

 

 

3. Численное решение уравнений и систем нелинейных уравнений ……...

18

 

 

3.1. Численное решение нелинейных уравнений ………………………….......

18

 

 

3.2. Численное решение систем нелинейных уравнений ……………………..

21

 

 

3.3. Распространение методов на систему п уравнений с п неизвестными ….

24

 

 

4. Среднеквадратическое приближение функций …………………………….

26

 

 

4.1. Среднеквадратичное приближение функции

 

тригонометрическими многочленами …………………………………….

27

 

 

4.2. Среднеквадратичное приближение функции

 

алгебраическими многочленами Лежандра ………………………………

28

 

 

4.3. Точечное среднеквадратичное приближение функции

 

ортогональными многочленами Чебышева ………………………………

29

 

 

4.4. Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы ………………..

31

 

 

5. Интерполяция функций ………………………………………………………

33

 

 

5.1. Интерполяционная формула Лагранжа ………………………………......

34

 

 

5.2. Интерполяционная формула Ньютона …………………………………….

35

 

 

5.3. Сплайн-интерполяция ……………………………………………………...

36

 

 

6. Численное дифференцирование ……………………………………………..

37

 

 

6.1. Вычисление производной по ее определению …...……………………….

37

 

 

3

6.2.Конечно-разностные аппроксимации …………………………………….. 38

6.3.Применение интерполяционного многочлена Лагранжа

для аппроксимации производных ………………………………………… 39

 

 

6.4. Выбор оптимального шага дифференцирования …………………………

40

 

 

7. Численное интегрирование …………………………………………………..

41

 

 

7.1. Квадратурные формулы с равностоящими узлами ………………………

41

7.2.Квадратурные формулы Гаусса …………………………………………… 44

7.3.Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами ……………………………………………....... 46

7.4.Приближенное вычисление несобственных интегралов от функции с бесконечным разрывом …………………………………….. 47

8. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений …….. 49

8.1. Численное решение дифференциальных уравнений первого порядка …………………………………………………………… 49

8.2. Численное решение систем дифференциальных уравнений первого порядка …………………………………………………………… 55

8.3. Численное решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений высших порядков ……………………… 56

Список литературы ……………………………………………………………... 59

4

ВВЕДЕНИЕ

Появление ЭВМ привело к изменению технологии научных исследований. Благодаря ЭВМ стало возможным решение крупнейших научнотехнических проблем, применяя математическое моделирование и новые численные методы.

Разработка и исследование вычислительных алгоритмов и их применение к решению конкретных задач составляет содержание большого раздела современной математики – вычислительной математики, которую в широком смысле определяют как раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использование ЭВМ, и в узком смысле – как теорию численных методов и алгоритмов решения поставленных математических задач.

Общим для всех численных методов является сведение математической задачи к конечномерной. Это чаще всего достигается дискретизацией исходной задачи. После дискретизации строится вычислительный алгоритм. Полученной решение дискретной задачи принимается за приближенное решение исходной математической задачи.

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТЕЙ

1.1Вычислительная погрешность

Можно выделить три основные причины возникновения погрешности при решении задачи численными методами.

1)Погрешность исходных данных – это неустранимая погрешность.

2)Погрешность дискретизации – это погрешность метода. Например,

заменяя производную выражением u

u(x + ∆x)

, допускается погрешность

 

x

дискретизации, имеющую при х 0 порядок х.

3) Погрешность, связанная с конечной разрядностью чисел, представляемых в ЭВМ – это ошибка округления, она может нарастать в процессе вычислений.

Таким образом, основное требование, предъявляемое к вычислительному алгоритму – это требование точности. Оно означает, что вычислительный алгоритм должен давать решение задачи с заданной точностью ε>0 за конечное число действий Q(ε) действий. Алгоритм должен быть реализуем, т.е. давать решение за допустимое машинное время.

Теория приближённых вычислений позволяет:

1.Зная степень точности данных (чисел), оценить степень точности результатов вычислений.

2.Брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной для обеспечения требуемой точности результата.

3.Рационализировать процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые окажут влияние на точность результата.

5

Погрешностью вычислений называется отклонение результата вычисления от истинного значения числа.

Абсолютная погрешность величины – разность между истинным х и при-

ближённым значениями х* этой величины.

= |х х*| (1.1)

может быть положительной и отрицательной. Измеряется в тех же единицах измерения, что и сама величина.

Относительная погрешность величины – отношение абсолютной по-

грешности к самой величине.

δ =

[оотн.ед] δ =

100% [%]

(1.2)

 

 

 

х

х

 

С точностью относительная погрешность связана следующим соотноше-

нием:

Т =

 

1

(1.3)

δ

 

 

Абсолютные и относительные погрешности числа принято округлять только в большую сторону, так как при округлениях границы неопределенности числа, как правило, увеличиваются. По этой причине вычисления ведутся с одним-двумя запасными знаками.

1.2 Значащие и верные цифры числа.

Результат всякого вычисления выражается числом. Чтобы по самому начертанию числа можно было судить о точности, необходимо писать число так, чтобы в нём все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и притом не более, как на единицу.

¾Значащими цифрами числа называют все его цифры, начиная с отличной от нуля первой слева, кроме нулей, стоящих в конце записи числа на месте отброшенных при округлении цифр.

¾Значащая цифра числа называется верной, если абсолютная по-

грешность числа не превосходит половины единицы того разряда, в котором она находится.

¾Если граница абсолютной погрешности приближённого числа равна половине единицы разряда последней его цифры, то все цифры этого числа называют точными. Если эта граница больше половины единицы разряда последней цифры числа, то последняя цифра такого числа называется со-

мнительной.

Обратим внимание на способ написания больших чисел, например, если в

числе 12732000 четвёртая цифра уже сомнительна, то это число следует писать так: 1,273 107 ; если бы была сомнительна пятая цифра то это число написали

бы так: 1,2732 107 .

Точно также в целых числах, если в числе 37 ошибка начинается лишь с пятого знака, то это число следует писать так: 37,000.

6

Упражнение 1.

1. Округляя следующие числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную δ погрешности полученных приближенных чисел:

1.

8,2564

2.

0,26352

3.

0,02041

4.

0,7545

5.1,335 6. 0,004912

7.

-0,0017392

8.

925,55

9.

-893,65

10.

74,525

2.Определить абсолютную погрешность следующих приближенных чисел по их относительным погрешностям:

1.

а=23268,

δ=0,1%

2.

а=0,268,

δ=1%

3.

а=3,52,

δ=0,8%

4.

а=12345,

δ=2%

5.

а=68,33,

δ=1%

6.

а=0,00235,

δ=1,5%

3.Определить количество верных цифр в числе х, если известна его абсолютная погрешность:

1.

х=0,3941,

х =0,25 10-2

2.

х=14,00231, х =0,2 10-3

3.

х=0,1132,

 

-3

4.

х=0,0842,

 

 

 

 

 

-2

 

 

х =0,1 10

 

 

 

х =0,15 10

 

5.

х=38,2543,

х =0,27 10-2

6.

х=0,00381,

х =0,1 10-4

7.

х=293,481,

х =0,1

 

8.

х=-32,285,

х =0,2 10-2

9.

х=2,325,

 

-1

10.

х=-0,2113,

х =0,5

 

10

-2

 

 

х =0,1 10

 

 

 

 

 

 

 

4.Определить количество верных цифр в числе х, если известна его относительная погрешность:

1.

а=1,8921,

δа=0,1 10-2

2.

а=9,3598,

δа=0,1%

3.

а=0,2218,

δа=0,2 10-1

4.

а=0,11452,

δа=10%

5.

а=2,351,

δа=0,1

6.

а=48361,

δа=1%

7.

а=0,02425,

δа=0,5 10-2

8.

а=592,8,

δа=2%

9.

а=0,000135,

δа=0,15

10.

а=14,9360,

δа=1%

1.3 Прямая задача теории погрешностей

Пусть в некоторой области G n-мерного числового пространства рассматривается непрерывно дифференцируемая функция y=f(x1, x2, …, xn). И пусть в точке (x1, x2, …, xn) области G нужно вычислить значение функции y=f(x1, x2, …,

xn).

Предположим, что нам известны лишь приближенные значения x1, x2, …, xn, x1*, x2* ,..., xn* G и их погрешности.

Вычислим приближенное значение y*=f( x1*, x2* ,..., xn* ). и оценим его абсо-

лютную погрешность.

Если воспользоваться формулой Лагранжа, то получим

n

 

 

y*=|у - y*| xi*

f (x1*,..., xn* )

(1.4)

*

i =1

xi

 

7

Абсолютная погрешность дифференцируемой функции одного аргумента y=f(x), вызываемая достаточно малой погрешностью аргумента х*, оценивается величиной

*

*

)

x

*

(1.5)

y

f (x

 

Погрешность суммы. Пусть даны числа: х1, х2, …, хn и их относительные погрешности: δ1, δ2, …, δn.

Абсолютная погрешность суммы чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Относительная погрешность суммы этих чисел δΣ заключается между наибольшей и наименьшей из относительных погрешностей слагаемых. То есть она не превышает наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.

δΣ =

1 +∆2 +...+∆n

(1.6)

 

x1 +x2 +...+xn

 

С другой стороны имеем равенства:

δ = 1

, δ

2

= 2

,..., δ

n

= n

,

(1.7)

1

x1

 

x2

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а так как все дроби (1.6) рассматриваются лишь по их численной величине, то дробь (1.6), представляющая отношение суммы числителей к сумме знаменателей, заключается между наибольшей и наименьшей из дробей (1.7).

Поэтому, в том случае, когда все слагаемые приблизительно одинаковой величины (отношение наибольшего из них к наименьшему менее 10 [1]), надо их писать с одним и тем же числом знаков, столько же верных знаков будет и в сумме.

Если числа сильно разнятся по величине, то разрядность их уравнивают по разрядности наибольшего из чисел. Однако в этом случае необходимо иметь информацию о том, как получены эти значения и не является ли число, резко отличающееся от остальных, например, "грубым выбросом", ошибочным значением и т.д. Тогда ориентироваться на него надо осторожно или вовсе этого не делать.

Пример. Сложить числа: 2,374; 2,8232; 0,52181; 0,014253, тогда не следу-

ет делать сложение так показано в п. а), а следует делать так, как показано в п.

б):

а)

2,374

б)

2,374

 

+ 2,8232

 

+ 2,823

 

0,52181

 

0,522

 

0,014253

 

0,014

 

5,733263

 

5,733

При сложении приближённых чисел абсолютная погрешность может быть как положительной, так и отрицательной, при этом может происходить взаимная компенсация погрешностей.

Погрешность произведения. Относительная погрешность произведения чисел равна сумме относительных погрешностей слагаемых.

8

Пусть множители х1, х2 имеют относительные погрешности δ1, δ2. Следо-

вательно, истинные величины этих чисел можно представить:

 

х1 = х1 (1 + δ1) и х2 = х2 (1 + δ2)

(1.8)

Истинная величина произведения будет:

 

х1 х2 = х1 х2 (1 + δ1)(1 + δ2) = х1 х2(1 + (δ1 + δ2) + δ1δ2)

(1.9)

Обыкновенно δ1 и δ2 весьма малы, например, 0,001; тогда произведение δ1δ2 будет весьма мало по сравнению с их суммой и эти произведением можно пренебречь. Тогда имеем:

х1 х2 = х1 х2(1 + (δ1 + δ2)) = х1 х2 + х1 х2(δ1 + δ2),

(1.10)

что подтверждает высказанное свойство для случая двух множителей, которое распространяется и на любое их количество.

Деление. Так как деление на число х равносильно умножению на число 1х, то при делении относительная погрешность частного равна сумме относи-

тельных погрешностей делимого и делителя. Этой величины она достигает при условии, когда абсолютные погрешности делимого и делителя разных знаков.

Возведение в степень. Относительная погрешность m-ой степени числа равна m-кратной относительной погрешности этого числа. Относительная погрешность квадрата числа равна удвоенной относительной погрешности числа, куба – утроенной и т.д. Относительная погрешность корня m-ой степени числа составляет 1/m часть относительной погрешности числа.

То есть это справедливо и для дробных степеней:

хP =хP (1+δ )P =хP (1+Pδ +

P(P 1)

δ2

+...),

(1.11)

 

1

1

1

1

1 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Р - степень числа.

Поскольку δ мала, то всеми членами, её содержащими можно пренебречь, тогда:

хР = хР(1+ Рδ) = хР + РδхР

(1.12)

1

1

1

 

Вычитание. Относительная погрешность разности не поддаётся простому учёту. Особенно не благоприятна в этом смысле разность двух близких по величине чисел.

Например, пусть даны числа: 52,287 и 51,939. Разность между ними равна 0,348. Как известно, в каждом из исходных чисел можно ручаться только за первые четыре цифры, а так как в последней погрешность не более 1, то отно-

сительная погрешность самих чисел не более 150000 . Между тем как в разности этих чисел 0,348 последняя цифра может быть неверна уже на две единицы и относительная погрешность может составить 2 0,348, т.е. примерно в триста

раз большую величину нежели в данных.

Относительная погрешность разности во столько же раз больше относительной погрешности в слагаемых, во сколько раз сама разность меньше каждого из них.

Представим сводку тех общих правил, которые вытекают из приведённых выше рассуждений:

9

1.О точности результата судят по его относительной погрешности.

2.Точность вычисления нужно сообразовывать с точностью данных, а точность данных – с практической потребностью, для которой результат вычисления нужен.

3.При вычислении избегать вписывания лишних знаков, это не прибавит точности вычисления.

4.При сложении и вычитании приближённых чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в числе с наименьшим количеством знаков.

5.При умножении и делении приближённых чисел в результате надо оставлять столько значащих цифр, сколько их в данном числе с наименьшим количеством значащих цифр.

6.При возведении приближённых чисел в степень в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.

7.В промежуточных результатах можно брать одной цифрой больше, чем рекомендуют общие правила.

8.Если некоторые числа имеют больше десятичных знаков или значащих цифр, чем другие, то их предварительно следует округлить.

9.Логарифмами пользоваться с тем же количеством знаков, сколько их в числах.

10.Малые разности стараться вычислять непосредственно, не вычисляя самих чисел.

Упражнение 2.

1. Найти суммы приближенных чисел и указать их погрешности (все зна-

ки чисел верные):

г) х1 + х2 + х3;

а) 1,145+421+88,2;

б) 0,401+283,1+12,58;

х1=289,6; х1=0,2;

в) 498,5- 82,28+0,55567;

х2=34,44,6; х2=0,12;

 

х3=209,55; х3=0,18.

2. Найти произведение приближенных чисел и указать их погрешности (в

исходных числах все знаки верные):

 

а) 4,59 9,5

г) 0,343 654 92,6

б) 35,1 2,852

д) 2,67 9,1 2,283

в) 0,03 17,6

е) 492,66 8346 0,0052

3. Найти частное приближенных чисел:

а) 5,684 : 5,032

г) 726,676 : 829

б) 0,144 : 1,2

д) 754,9367 :36,5

в) 216 : 4,2

е) 7,3 : 4491

5.Стороны прямоугольника равны а=5,03 ± 0,02 м, b=5.89 ± 0,02 м. Вычислить площадь прямоугольника.

10

Соседние файлы в папке вычмат