Лекция №6

Ортогональные преобразования сигналов в базисе функций Уолша

Непрерывные функции Уолша относятся к классу кусочно-постоянных знакопеременных функций, задаваемых на отрезке 0, 1 либо 12, 12 и принимающих значения 1 . Для представления реальных, ограниченных во времени сигналов с началом отсчета в нулевой точке, удобно пользоваться функциями Уолша с интервалом определения 0, 1 .

.

Базис функций Уолша

• Интервал определения функций Уолша можно представить как совокупность N 2mравных(m 1,2,...) подынтервалов, на каждом из которых функции Уолша принимают значения +1 или -1, а на концах подынтервалов имеют разрывы первого рода, причем в этих точках функции Уолша непрерывны справа.

•Совместно записанные и пронумерованные функции Уолша образуют базисную систему, в которой можно разложить произвольный сигнал в ряд Уолша. Поскольку нумерация (упорядочение) функций Уолша может быть выполнена различными способами, то возможны три варианта упорядочения: по Пэли, Хармуту и Адамару.

Функции Радемахера

•Каждая из систем упорядочения функций Уолша может

быть построена и аналитически описана с помощью кусочно-постоянных функций Радемахера r(k,t) . Эти функции на интервале 0, 1 заданы следующим образом:

r(0,1) 1; r(k,t) sign(sin 2k t), k 1, 2,...

Выражение sign(x) является функцией знака x :

1, x 0 sign(x)

0, x 0

Функции Радемахера, имеют вид совокупности меандров.

Функции Радемахера

• Три первые функции Радемахера приведены на рисунке:

r(0,t)

r(1,t)

r(2,t)

1
-1 0
1
-1		0
1

-1 0

1

1	1
2
1	1
2

t

t

t

Функции Радемахера

•Функции Радемахера ортонормированны на интервале 0, 1 , но не образуют полной системы функций, т.к. являются нечетными функциями относительно середины интервала.

В частности, можно подобрать функцию

sign(cos2k t), которая будет ортогональна всем функциям Радемахера. Поэтому, дополнив систему Радемахера функциями, образованными посредством всевозможных произведений функций Радемахера, построим полную систему функций Уолша с различными способами упорядочения.

Диадно-упорядоченная система функций Уолша

• Функции Пэли		pal(k,t) с номером k ( k 0, 1, 2, ...)
формируются из произведений таких функций Радемахера,
номера которых определяются по номерам позиций
двоичного представления числа			, содержащихk	единицу.

•	Если номер функции	k имеет следующее двоичное
	n разрядное представление:

n 1

k kp 2p ; kp 0,1 ,

то функции системыpПэли0 в общем виде представляются так:

n 1

pal(k,t) r( p 1,t)k p

p 0

Диадно-упорядоченная система функций Уолша

Пример. Построить систем у функций Пэли для случая

N 8, t 0,1 :

pal(0,t) r(0,t); pal(1,t) pal(001,t) r(1,t); pal(2,t) pal(010,t) r(2,t);

pal(3,t) pal(011,t) r(1,t)r(2,t);

pal(4,t) pal(100,t) r(3,t);

pal(5,t) pal(101,t) r(1,t)r(3,t);

pal(6,t) pal(110,t) r(2,t)r(3,t);

pal(7,t) pal(111,t) r(1,t)r(2,t)r(3,t).

Диадно-упорядоченная система функций Уолша

pal(3,t)

pal(4,t)

pal(5,t)

1

-1 0

1

-1 0

1

-1 0

t

1

t

1

t

1

Система упорядочения по Хармуту

• Систему упорядочения по Хармуту называют системой, функции которой упорядочены по частоте следования или по числу переходов через нулевой уровень (числу смены знаков) на интервале 0,1 . Запишем функции системы

Хармута в форме:

n 1

wal(k,t) sign(cos kp 2p t)

p0

•Анализ показывает, что система Хармута представляет собой систему, в которой чередуются четные и нечетные функции относительно середины временного интервала.

•Свойство четной и нечетной симметрии уподобляет систему Хармута тригонометрической системе функций .

Свойства функций Уолша

1.Ортогональность функций на интервале 0, 1 :

1	1,	k l
			.
wal(k,t)wal(l,t)		k l
0	0,

2.Модуль функций Уолша равен 1, т.к. функции принимают только значения :

wal(k,t) 1

3. Среднее значение функций Уолша для всех нулю в силу ортогональности с функцией

1 wal(k,t)dt 0; k 0.

0

k 0 равно

wal(0,t):

4. Функции Уолша являются ортонормированными:1 wal(k,t) 2 dt 1 при любом k .

0