- •Лекция №3
- •Задача точечной интерполяции
- •Задача точечной интерполяции
- •Задача точечной интерполяции
- •Задача точечной интерполяции
- •Интерполяция полиномами нулевой степени
- •Интерполяция полиномами первой степени
- •Интерполяция полиномами второй степени
- •Выбор шага дискретизации
- •Оценки погрешности дискретизации
Лекция №3
Выбор шага дискретизации с использованием интерполирующих полиномов Лагранжа
При дискретизации реального сигнала, описываемого непрерывной функцией x(t), имеющей (n+1) ограниченную производную, в
качестве аппроксимирующей (воспроизводящей) функции может |
||
использоваться степенной многочлен: |
||
n |
|
|
Pn (t) ak tk |
a0 |
a1t a2t2 ... antn . |
k 0 |
|
|
|
|
x(t) |
Погрешность дискретизации (восстановления) функции полиномом |
||
Pn (t) |
|
|
на каждом участке аппроксимации определяется |
||
остаточным членом |
: |
Ln (t) |
(t) x(t) Pn (t) Ln (t)
Задача точечной интерполяции
•Рассмотрим задачу точечной интерполяции, позволяющую выбрать шаг дискретизации сигнала (или частоту дискретизации) с помощью полиномов Лагранжа и критерия наибольшего отклонения.
•Математическая формулировка задачи точечной
интерполяции: требуется определить на заданном интервале
времени |
шаг дискретизации |
, при котором |
|
t0 ,tn |
t ti ti 1 |
текущая погрешность восстановления |
|
(t) x(t) P (t)
nдоп
не превысит допустимого значения , если функция задана (n 1) узлом, т.е. совокупностью значений
(t0 , x0 ), (t1, x1 ),..., (tn , xn ).
Задача точечной интерполяции
• |
Решение этой задачи сводится к решению системы |
||||||
|
уравнений: |
Pn (t0 ) a0 |
a1t0 ... ant0n |
x0 |
|||
|
|
P (t ) a |
a t ... a t n |
x |
|||
|
|
n 1 |
0 |
1 1 |
n 1 |
1 |
|
|
|
................................................ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
xn |
|
|
|
Pn (tn ) a0 |
a1tn ... antn |
||||
• |
Решение системы уравнений можно представить в виде |
||||||
|
интерполяционного полинома Лагранжа, имеющего вид: |
||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
(t ti ) |
||
|
Pn (t) xk Lk (t) xk |
i 0,i k |
|
|
|||
|
n |
|
|
||||
|
|
k 0 |
|
k 0 |
(tk ti ) |
||
|
|
|
|
|
|
i 0,i k
Задача точечной интерполяции
• |
При равномерной дискретизации шаг дискретизации |
|
||
|
t const |
и, введя безразмерный параметр (t t0 ) |
t , |
|
|
можно записать интерполирующий полином Лагранжа в |
|||
|
виде: |
|
|
|
|
L (t) ( 1)n ( 1)...( n) |
|
||
|
|
n |
n! |
|
|
|
|
|
|
• |
Значение остаточного члена |
Ln (t) , определяющего |
|
|
|
погрешность дискретизации (восстановления), имеет вид: |
|||
|
|
Ln (t) M n 1 |
(t tk ), |
|
|
|
|
n |
|
(n 1)! k 0
где Mn 1 максимальное во всем интервале преобразования |
||
значение модуля |
(n 1) |
. |
производной сигнала |
x(t)
Задача точечной интерполяции
• Для равноотстоящих узлов (равномерная дискретизация) остаточный член имеет вид:Ln (t)
L (t) |
M n 1 |
|
|
( 1)...( n) |
|
t(n 1) |
|
|
|
|
|||||
|
|||||||
n |
(n 1)! |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
•Последнее выражение позволяет определить шаг
дискретизации сигнала при заданной допустимой погрешности восстановления (t)доп .
•На практике обычно ограничиваются многочленами нулевой (ступенчатая аппроксимация), первой (линейная аппроксимация) и второй степеней (параболическая аппроксимация).
Интерполяция полиномами нулевой степени
• Значение восстанавливающей функции |
P0 (t) a0 |
в |
любой момент времени на каждом i том интервале |
||
ti 1 t ti принимается равным отсчету |
x(ti ) . |
|
•Выражение для остаточного члена имеет вид:
0 (t) m M1 t
•Максимальное значение погрешности достигается при
1 . Отсюда получаем, что шаг дискретизации не
должен превышать значения:
t m M1
Интерполяция полиномами первой степени
• Интерполирующие полиномы Лагранжа первой степени имеют вид:
• |
|
|
исходного сигнала на каждом интервале |
||||||||
|
При восстановленииP1(t) |
a0 a1t |
|
, |
|||||||
|
времени |
используются два отсчета и |
|||||||||
|
соединяемые прямой линией. |
|
x(ti 1) |
||||||||
• |
|
|
|
ti 1, ti |
|
||||||
Максимальное значение остаточного члена равно: |
|
||||||||||
|
x(ti ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Допустимый шаг дискретизации не должен превышать: |
||||||||||
|
|
|
M2 |
|
( 1) |
|
t2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
8 m |
|
|
|
2 m |
|
||
|
|
t |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
M 2 |
M 2 |
|
Интерполяция полиномами второй степени
•Интерполирующий полином второй степени при параболической аппроксимации имеет вид:
P2 (t) a0 a1t a2t2
• Для восстановления исходного сигнала по дискретным значениям используют три отсчета на интервале времени.
• |
Остаточный член такого приближения записывается в |
|||||||||||
|
виде: |
M |
3 |
|
( 1)( 2) |
|
t |
3 |
||||
|
|
|
||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|||||||
• |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Допустимый шаг дискретизации равен: |
||||||||||||
|
|
t 3 |
|
16 m |
2 3 |
2 m |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
M 3 |
M 3 |
|
Выбор шага дискретизации
• Для оценки максимального значения модуля (n 1)
производной функции |
x(t) |
можно воспользоваться |
|||||||||
неравенством Бернштейна : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
M n 1 m(n 1) |
|
|
x(t) |
|
max |
(3.1) |
|||||
|
|
||||||||||
|
|
||||||||||
где m 2 fm верхняя граничная частота спектра |
|||||||||||
непрерывной функции |
x(t) , а |
|
x(t) |
|
max - максимальное |
||||||
|
|
||||||||||
значение модуля этой функции. |
|
|
|
|
|
•Используя (3.1), получаем еще одно соотношение для выбора шага дискретизации сигнала:
t 1 (n 1) (n) mm x(t) max
Оценки погрешности дискретизации
•Введем приведенную погрешность восстановления сигнала:
m
x(t) max |
|
• Выражения для оценки величины приведенной погрешности |
|
восстановления в зависимости от отношения двух частот: граничной |
|
частоты fmи частоты дискретизации |
fд: |
0 |
0m |
|
|
x(t) |
|
max 6,28( fmд |
f |
) |
для ступенчатой аппроксимации; |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
)2 |
|
||||||||||
|
1 |
|
1m |
|
x(t) |
|
max |
4,93( f |
mд |
f |
для линейной аппроксимации; |
||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2m |
|
x(t) |
|
max 15,5( fmд f )3 |
для параболической аппроксимации . |
|
|
|||||
|
|