Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Prezentaciya / Lekciya_3.ppt
Скачиваний:
39
Добавлен:
19.08.2013
Размер:
146.43 Кб
Скачать

Лекция №3

Выбор шага дискретизации с использованием интерполирующих полиномов Лагранжа

При дискретизации реального сигнала, описываемого непрерывной функцией x(t), имеющей (n+1) ограниченную производную, в

качестве аппроксимирующей (воспроизводящей) функции может

использоваться степенной многочлен:

n

 

 

Pn (t) ak tk

a0

a1t a2t2 ... antn .

k 0

 

 

 

 

x(t)

Погрешность дискретизации (восстановления) функции полиномом

Pn (t)

 

 

на каждом участке аппроксимации определяется

остаточным членом

:

Ln (t)

(t) x(t) Pn (t) Ln (t)

Задача точечной интерполяции

Рассмотрим задачу точечной интерполяции, позволяющую выбрать шаг дискретизации сигнала (или частоту дискретизации) с помощью полиномов Лагранжа и критерия наибольшего отклонения.

Математическая формулировка задачи точечной

интерполяции: требуется определить на заданном интервале

времени

шаг дискретизации

, при котором

 

t0 ,tn

t ti ti 1

текущая погрешность восстановления

 

(t) x(t) P (t)

nдоп

не превысит допустимого значения , если функция задана (n 1) узлом, т.е. совокупностью значений

(t0 , x0 ), (t1, x1 ),..., (tn , xn ).

Задача точечной интерполяции

Решение этой задачи сводится к решению системы

 

уравнений:

Pn (t0 ) a0

a1t0 ... ant0n

x0

 

 

P (t ) a

a t ... a t n

x

 

 

n 1

0

1 1

n 1

1

 

 

 

................................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

xn

 

 

Pn (tn ) a0

a1tn ... antn

Решение системы уравнений можно представить в виде

 

интерполяционного полинома Лагранжа, имеющего вид:

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

n

(t ti )

 

Pn (t) xk Lk (t) xk

i 0,i k

 

 

 

n

 

 

 

 

k 0

 

k 0

(tk ti )

 

 

 

 

 

 

i 0,i k

Задача точечной интерполяции

При равномерной дискретизации шаг дискретизации

 

 

t const

и, введя безразмерный параметр (t t0 )

t ,

 

можно записать интерполирующий полином Лагранжа в

 

виде:

 

 

 

 

L (t) ( 1)n ( 1)...( n)

 

 

 

n

n!

 

 

 

 

 

Значение остаточного члена

Ln (t) , определяющего

 

 

погрешность дискретизации (восстановления), имеет вид:

 

 

Ln (t) M n 1

(t tk ),

 

 

 

 

n

 

(n 1)! k 0

где Mn 1 максимальное во всем интервале преобразования

значение модуля

(n 1)

.

производной сигнала

x(t)

Задача точечной интерполяции

• Для равноотстоящих узлов (равномерная дискретизация) остаточный член имеет вид:Ln (t)

L (t)

M n 1

 

 

( 1)...( n)

 

t(n 1)

 

 

 

 

n

(n 1)!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Последнее выражение позволяет определить шаг

дискретизации сигнала при заданной допустимой погрешности восстановления (t)доп .

На практике обычно ограничиваются многочленами нулевой (ступенчатая аппроксимация), первой (линейная аппроксимация) и второй степеней (параболическая аппроксимация).

Интерполяция полиномами нулевой степени

• Значение восстанавливающей функции

P0 (t) a0

в

любой момент времени на каждом i том интервале

ti 1 t ti принимается равным отсчету

x(ti ) .

 

Выражение для остаточного члена имеет вид:

0 (t) m M1 t

Максимальное значение погрешности достигается при

1 . Отсюда получаем, что шаг дискретизации не

должен превышать значения:

t m M1

Интерполяция полиномами первой степени

• Интерполирующие полиномы Лагранжа первой степени имеют вид:

 

 

исходного сигнала на каждом интервале

 

При восстановленииP1(t)

a0 a1t

 

,

 

времени

используются два отсчета и

 

соединяемые прямой линией.

 

x(ti 1)

 

 

 

ti 1, ti

 

Максимальное значение остаточного члена равно:

 

 

x(ti )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Допустимый шаг дискретизации не должен превышать:

 

 

 

M2

 

( 1)

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

8 m

 

 

 

2 m

 

 

 

t

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 2

M 2

 

Интерполяция полиномами второй степени

Интерполирующий полином второй степени при параболической аппроксимации имеет вид:

P2 (t) a0 a1t a2t2

• Для восстановления исходного сигнала по дискретным значениям используют три отсчета на интервале времени.

Остаточный член такого приближения записывается в

 

виде:

M

3

 

( 1)( 2)

 

t

3

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Допустимый шаг дискретизации равен:

 

 

t 3

 

16 m

2 3

2 m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M 3

M 3

 

Выбор шага дискретизации

• Для оценки максимального значения модуля (n 1)

производной функции

x(t)

можно воспользоваться

неравенством Бернштейна :

 

 

 

 

 

 

 

 

M n 1 m(n 1)

 

 

x(t)

 

max

(3.1)

 

 

 

 

где m 2 fm верхняя граничная частота спектра

непрерывной функции

x(t) , а

 

x(t)

 

max - максимальное

 

 

значение модуля этой функции.

 

 

 

 

 

Используя (3.1), получаем еще одно соотношение для выбора шага дискретизации сигнала:

t 1 (n 1) (n) mm x(t) max

Оценки погрешности дискретизации

Введем приведенную погрешность восстановления сигнала:

m

x(t) max

 

• Выражения для оценки величины приведенной погрешности

восстановления в зависимости от отношения двух частот: граничной

частоты fmи частоты дискретизации

fд:

0

0m

 

 

x(t)

 

max 6,28( f

f

)

для ступенчатой аппроксимации;

 

 

 

 

 

 

 

)2

 

 

1

 

1m

 

x(t)

 

max

4,93( f

f

для линейной аппроксимации;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2m

 

x(t)

 

max 15,5( ff )3

для параболической аппроксимации .

 

 

 

 

Соседние файлы в папке Prezentaciya