Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Наврозов, В. В. Элементы высшей математики 1

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
27.05.2015
Размер:
357.47 Кб
Скачать

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Вятская государственная сельскохозяйственная академия» Кафедра математики

В.В. Наврозов, Т.В. Малых

Элементы высшей математики 1

Дифференциальное исчисление

Учебное пособие для студентов биологического факультета

Киров 2012

УДК 517.2 ББК 22.161.11

Наврозов В.В., Малых Т.В. Элементы высшей математики 1. Дифференциальное исчисление: Учебное пособие для студентов биологического факультета. – Киров: ФГБОУ ВПО Вятская ГСХА, 2012.- 42с.

Рецензенты: доцент кафедры математики Вятской ГСХА, кандидат физикоматематических наук Фарафонов В.Г.; доцент кафедры математического моделирования в экономике ВятГУ, кандидат физикоматематических наук Ковязина Е.М.

Учебное пособие рассмотрено и утверждено методической комиссией инженерного факультета Вятской государственной сельскохозяйственной академии (протокол № 8 от 3 мая 2012 г.).

В учебном пособии рассмотрены основные понятия дифференциального исчисления. Приведены примеры решения задач, задания для самостоятельной работы и контрольные задания.

ФГБОУ ВПО Вятская ГСХА , 2012

Наврозов Виктор Васильевич, Малых Татьяна Викторовна, 2012

2

Оглавление

1.Производная функции…………………………………………........4

2.Геометрические приложения производной……………………….8

3.Производные высших порядков…………………………….........10

4.Дифференциал функции. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям……………………………………….12

5.Правило Лопиталя…………………………………………...…….15

6.Исследование функций с помощью производных……………....18

6.1Возрастание и убывание функций. Точки экстремума………...18

6.2Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке…….23

6.3Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба...25

6.4Асимптоты………………………………………………………...28

6.5Исследование функций и построение их графиков. Общая схема исследования функции…………………………………………….....31

Контрольные задания………………………...………………………37

3

1. Производная функции

Правила дифференцирования

U =U (x);V =V (x) − дифференцируемые функции аргумента х.

I. (U ±V )′ =U ′±V

II.

IIа.(CU )

= CU , C const

III.

 

(UV )′ =U V +UV

U

 

 

 

=

U V UV

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V 2

 

V

 

 

 

 

IV. Производная сложной функции.

y = f (u),u =ϕ(x) y = f (ϕ(x)) , тогда yx = y'u ux .

Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции по внутреннему аргументу на производную внутренней функции по конечному аргументу.

V. Производная обратной функции.

y = y(x) x = x(y) x(y)= y1(x).

Формулы дифференцирования

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8. y = cos x y′ = −sin x

 

 

 

 

1. y =Сconst y

=0

 

 

 

 

 

 

 

α

 

 

 

 

α1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

y =x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

=αx

 

 

9. y = tgx y′ =

cos2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

3. y =a

x

y =a

lna

 

10. y = ctgx y′ = −

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

y = ex y′= ex

 

 

 

 

11. y = arcsin x y

=

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x2

5.

y = loga х y′ =

 

1

 

12. y = arccos x y′ = −

1

 

 

x ln a

 

 

1 x2

6. y = ln x y

1

 

 

 

 

13. y = arctgx y′ =

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

7.

y = sin x y′ = cos x

 

14. y = arcctgx y′ = −

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Примеры. Найти производные функций:

а) y = 3x2 + 2 x 3 3x x14 + 5 .

Решение. Вводя дробные и отрицательные показатели степени, преобразуем данную функцию: y = 3x2 + 2x1 2 3x1 3 x4 + 5.

Применяя правило дифференцирования суммы функций и формулу 2 (см. стр.4), получим

y′ = (3x2 + 2x1 2 3x1 3 x4 +5)= 3(x2 )+ 2(x12 )3(x13 )(x4 )+5′ =

6x + x1 2 + x4 3 + x5 = 6x +

1

+

1

+

4 .

 

x

 

3 x4

 

x5

б) y = x2 cos x.

Решение. Применяя правило дифференцирования произведения функций и формулы 2, 8 (стр.4), получим

y′ = (x2 cos x)= (x2 )cos x + x2 (cos x)= 2x cos x x2 sin x.

в) y = ex . arctgx

Решение. Применяя правило дифференцирования частного и формулы 4, 13 (стр.4), получим

 

ex

 

(ex )arctgx ex (arctgx)

 

e

x

arctgx

 

ex

 

 

ex (1 + x2 )arctgx ex

 

 

 

 

1

+ x2

 

 

 

y′ =

 

 

=

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

.

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

(1 + x

2

)arctg

2

 

 

 

 

 

arctg

x

 

 

 

arctg

x

 

 

 

x

 

arctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

3

 

 

2

г)

y = x

 

5x +1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

3x

Решение. Сначала раскроем скобки, затем дифференцируем как сумму функций.

 

 

y = 5x4 + x3

2 x2

,

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

y′ =

5x4

+ x3

2 x2

= 20x3

+3x2

4 x .

 

 

 

3

 

 

 

 

3

д)

y = xln x +

3x

.

sin x

 

 

 

Решение. Здесь применим правило дифференцирования суммы функций (I), затем правила дифференцирования произведения (II) и частного (III).

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

= xln x + x(ln x)+

(3 )sin x 3 (sin x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = x ln x

+

 

 

 

= ln x +1 +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+3x sin x ln 3 cos x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 1. Найти производные функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1)

y = 2x +

 

3 53

x + 7 ;

2) y = x 2 x ;

 

 

3) y = 84 x 4 x + 3 ;

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

y = 4cos x + 5ex ;

 

5)

y = 3x + x3 ;

 

 

6) y = 2 ln x cos x ;

 

 

7)

y = (3x 2)tgx ;

 

8)

y = x2 arcctgx

 

; 9)

y =

 

 

 

 

1

 

 

;

 

 

x

2

+ 5x +

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

10) y =

e

 

;

 

 

 

 

 

11) y = 1 + x ;

 

 

12)

 

y =

 

x

3

;

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+ 3

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

6

13)

y =

 

 

3x

 

arctgx ; 14) y =

x

; 15)

y =

 

e х

 

.

 

 

 

 

 

 

x

2

1

+ x

2

sin x + cos x

 

 

 

 

 

4

 

 

Примеры. Найти производные следующих функций:

а) y = (1 + 4x2 )3 .

Решение. Применяя правило функции (IV) и учитывая, что получаем

дифференцирования сложной

(1 + 4x2 )- внутренняя функция,

y′ = ((1 + 4x2 )3 )= 3(1 + 4x2 )2 (1 + 4x2 )= 24x(1 + 4x2 )2 .

б) y = ln tgx .

Решение. Применяя правило дифференцирования сложной функции и учитывая, что tgx − внутренняя функция, получаем

 

 

y′ =

(ln tgx)′ =

1

(tgx)=

 

1

 

 

 

=

 

 

2

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

tgx cos

2

 

x

 

sin 2x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) y = ln 3

e2 x

2 x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Прежде чем находить

 

производную,

 

 

функцию

преобразуем, используя правила логарифмирования:

 

 

 

 

 

y = ln 3

1

e2 x2 x

= 1 [ln e2 x ln(1 + e

2 x )]=

1

[2x ln(1 + e2 x )].

 

 

 

+ e

3

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[2x ln(1 + e2 x )]

 

 

 

 

2e

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = 1

= 1

 

 

=

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

+ e

2 x

3(1

+ e

2 x

)

 

 

3

 

 

 

 

 

3

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение 2. Найти производные функций:

7

1)

y = sin(3x 5);

 

2)

 

y = e4 x+2 ;

 

 

3)

y = tg3 x ;

 

 

 

4)

y = 5 x2

+ x +5

;

 

5) y = ln cos 3x ;

 

 

6)

y =

sin 2x ;

 

 

 

7) y = cos

2

4x ;

 

 

 

8) y = ln

3x2

;

 

 

9) y = ln(5x2 + 6x +1);

 

 

 

 

1 x2

 

 

10)

y = arctg 1x ;

 

 

 

11) y =

1 +

x ;

 

12) y = sin5x cos

x

.

 

 

 

 

 

5

 

Упражнение 3. Найти производные функций:

 

 

 

 

 

 

 

1) y = x(x3 x + 2)3 ; 2) y = 2x10x ;

 

3) y = (x3 3x + 2) (x4 + x 1);

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

4) y = ( x +

1)

 

1

; 5)

y =

 

 

;

 

 

 

 

 

6) y =

 

 

 

 

;

 

 

 

 

x

 

x

 

 

 

 

 

x2 +

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7) y =

2x4

;

 

 

 

8)

y =

 

ex

 

;

 

 

9) y

=

x2 +1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 + x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

arctgx

 

 

 

 

 

 

 

9 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10)

y = arctgx2 ;

 

11)

y = arcsin

5

;

 

12)

 

y = x ln(x3 6x);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13)

y = log2 (x2 +1);

14)

y = 1 + ln4 x ;

 

15)

y =

1

 

 

;

 

 

 

 

 

ln x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16)

y = arccos x

;

 

17)

y = cos2 x cos x2

; 18)

y = ex sin x cos2 x

.

 

 

 

1 4x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Геометрические приложения производной

 

Значение производной f (x0 )

функции

y = f (x) в точке x0

равно

тангенсу угла наклона касательной

к графику функции в точке

M (x0 ; f (x0 )), т.е. kτ

= f (x0 ) . Тогда уравнение касательной к графику

функции y = f (x) в точке M (x0 ; y0 = f (x0 ))

будет следующим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y f (x0 )= f (x0 )(x x0 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.1)

или

 

 

y y0 = y0(x x0 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, где y0 = f (x0 ),

y0

 

= f (x0 ).

 

 

 

 

(2.2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нормаль − прямая, перпендикулярная касательной в точке

касания, поэтому kn = −

1

и уравнение нормали к графику функции

k

 

τ

 

 

 

 

 

 

y = f (x) в точке M (x0 ; y0 )

следующее:

 

 

 

y y =−

1

(x x

)

.

(2.3)

 

 

 

0

y0

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. Найти уравнения касательных, проведенных к параболе y =x2 4:

а) в точке (2;0) ;

б) в точках пересечения параболы с прямой x y 2 = 0 .

Решение.

а) x0 = −2, y0 = 0.

Для определения углового коэффициента касательной k , найдем производную функции y = x2 4 и вычислим ее частное значение при x = −2:

y′ = (x2 4)= 2x , тогда k = y0′ = y(2)=−4.

Подставляя значения x0, y0, y0в уравнение (2.2), получим уравнение касательной:

y = −4(x + 2) 4x + y +8 = 0 .

б) Точка пересечения принадлежит обеим линиям, поэтому координаты точки находим, решая систему уравнений:

 

2

4,

 

2

4,

A(2;0), B(1;3).

y = x

y = x

 

 

 

 

 

x y 2 =0.

y = x 2.

 

 

 

 

 

 

9

 

Из предыдущей задачи

y′ = 2x . Тогда

угловой коэффициент

касательной в точке A y0′ = 4 , в точке B y0

= −2 .

Уравнения касательных

к

параболе

y = x2 4 в точках

пересечения с прямой x y 2 = 0 имеют следующий вид:

y = 4x +8

(в точке A(2;0) ),

y = −2x 5

(в точке B(1;3) ).

Упражнение 4.

1) Составить уравнения касательной и нормали к графику функции

y = 2x3 x 2 + 2 :

а) в точке, абсцисса которой х =1 ;

б) в точке пересечения с параболой y = −x2 .

2)В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 1?

3)В какой точке касательная к параболе y = x2

а) параллельна прямой y = 4x 5 ;

б) перпендикулярна к прямой

2x 6 y + 5 = 0 ;

в) образует с прямой 3x y +1

= 0 угол 450 ?

3. Производные высших порядков

Если yесть производная

функции y = f (x) и y′ = f (x)

дифференцируемая функция, то производная от yназывается

10