Разделение переменных искусство или алгоритм?
А.В. Цыганов
Санкт-Петербургский Университет
Ижевск, январь 19-24, 2010.
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|
Канонические переменные (q1; : : : ; qn; p1; : : : ; pn)
fqi; qkg = fpi; pkg = 0; fqi; pkg = ik
называются переменными разделения, если существует система из n разделенных уравнений
|
@ i |
i(qi; pi; H1; : : : ; Hn) = 0 |
; det "@Hj # 6= 0 ; |
связывающих каждую пару переменных (qi; pi) с интегралами движения H1; : : : ; Hn.
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|
В этом случае стационарные уравнения Гамильтона-Якоби
Hi = i
обладают аддитивным полным интегралом
n
W (q1; : : : ; qn; 1; : : : ; n) = X Wi(qi; 1; : : : ; n) ;
i=1
где каждое Wi может быть найдено в квадратурах.
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|
Построение переменных действие-угол
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|
Построение переменных действие-угол
Теория возмущений
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|
Построение переменных действие-угол
Теория возмущений
Квантовая механика (анзац Бете и т.д.)
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|
Построение переменных действие-угол
Теория возмущений
Квантовая механика (анзац Бете и т.д.)
Математика (геометрия, теория чисел, криптография и т.д.)
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|
Предположим, что существует несколько систем переменных разделения, например q; p è Q; P
e |
|
i(qi; pi; 1; : : : ; n) = 0 i(Qi; Pi; 1 |
; : : : ; n) = 0 |
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|
Предположим, что существует несколько систем переменных разделения, например q; p è Q; P
i(qi; pi; 1; : : : ; n) = 0 |
i(Qi; Pi; 1; : : : ; n) = 0 |
||||||||
Каноническое преобразование (q;ep) ! (Q; P ) порождает |
|||||||||
h |
|
|
|
|
|
ni ! h e |
e |
eni |
|
|
C1 |
|
C2 |
|
C |
|
C1 |
C2 |
C |
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|
Предположим, что существует несколько систем переменных разделения, например q; p è Q; P
i(qi; pi; 1; : : : ; n) = 0 |
i(Qi; Pi; 1; : : : ; n) = 0 |
||||||||
Каноническое преобразование (q;ep) ! (Q; P ) порождает |
|||||||||
h |
|
|
|
|
|
ni ! h e |
e |
eni |
|
|
C1 |
|
C2 |
|
C |
|
C1 |
C2 |
C |
Редукции интегралов Абеля - Hermite, Goursat, Burkhardt, Brioschi, Bolza ...
накрытия кривых - Poincare, Frey, Kani, Kuhn, Shaska ...
изогенные кривые - Richelot, Brock, Hayashida, Nishi, Ibukiyama, Katsura, van Wamelen ....
Hurwitz spaces, Humbert varieties, moduli problems - Tate, Faltings, Zarhin, Lange, McMullen, Merel ...
A.V. Tsiganov |
Separation of variables art or algorithm? |
|
|