Программа - Абрамов

1.Организационно-методический раздел

1.1.Цель изучения дисциплины: формирование у студентов, обучающихся на физическом факультете, знаний о начальном разделе теоретической физики – теоретической механике, научить использовать методы теоретической механики для решения практических задач.

1.2. Задачи курса: знакомство с основными принципами классической механики, изучение методов Лагранжа и Гамильтона и роли вариационных принципов в современной теоретической физике, применение этих методов для решения задач о малых колебаниях системы материальных точек и движении абсолютно твердого тела, решение задач рассеяния методом интегралов движения, использование канонических преобразований для решения задач механики, знакомство с методом Гамильтона-Якоби.

1.3.Место курса в профессиональной подготовке выпускника: курс служит основой как для изучения других разделов теоретической физики так и для изучения ряда специальных дисциплин.

1.4.Требования к уровню освоения дисциплины « Теоретическая механика»

-знать основные принципы лагранжева и гамильтонова формализмов в классической механики,

-уметь применять уравнения Лагранжа и Гамильтона для решения практических задач классической механики,

-уметь решать задачи о рассеянии частицы центральным полем и , в частности, уметь выводить формулу Резерфорда для сечения рассеяния заряженной частицы кулоновским центром,

-знать основы теории малых колебаний и теории динамики поступательного и вращательного движения твердого и уметь применять их для решения конкретных задач,

-иметь представление о методе Гамильтона-Якоби и способах его применения для решения конкретных задач,

-уметь решать задачи о периодическом движении типа колебания или вращения посредством перехода к переменным “действие-угол”.

2. Объем дисциплины, виды учебной работы, форма текущего, промежуточного и итогового контроля

1) По итогам практических занятий в 4 семестре выставляется оценка по 10-балльной шкале. Оценка на экзамене по теоретической механике выставляется на основе результатов

11.Связь законов сохранения импульса, момента количества движения и энергии с однородностью, изотропностью пространства и однородностью времени. Силы трения, пропорциональные скорости, их учет в лагранжевой формулировке механики. Диссипативная функция Рэлея.

12.Малые колебания системы материальных точек. Уравнения движения. Комплексные амплитуды. Собственные частоты, их вещественность.

13.Общий вид решения задачи о малых колебаниях. Нормальные координаты. Случай

кратных корней характеристического уравнения. Вынужденные колебания. Явление резонанса.

14.Малые колебания при наличии сил трения. Вынужденные колебания при наличии затухания.

15.Кинематика твердого тела. Кинематическая теорема Эйлера. Теорема Шаля.

16.Угловая скорость, ее свойства. Движение в неинерциальной системе отсчета. Ускорение во вращающейся системе. Силы инерции: центробежная сила, сила Кориолиса.

17.Динамика твердого тела. Теорема Штейнера. Симметричный волчок. Динамические уравнения Эйлера. Решение уравнений Эйлера для свободного симметричного волчка.

18.Тяжелый симметрический волчок с закрепленной точкой: решение уравнений движения по методу Лагранжа. Нерегулярная прецессия, нутация. Быстрый волчок. Спящий волчок.

4-й семестр

19.Принцип наименьшего действия Гамильтона. Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода из принципа Гамильтона.

20.Уравнения Гамильтона. Связь функции Гамильтона с полной энергией системы. Циклические координаты в методе Гамильтона. Метод Рауса.

21.Принцип наименьшего действия Мопертюи. Принцип Мопертюи в форме ЯкобиГерца.

22.Канонические преобразования. Производящие функции различных типов, связь между ними. Примеры канонических преобразований.

23.Использование канонических преобразований для решений задач механики. Пример: гармонический осциллятор. Инварианты канонических преобразований.

24.Скобки Пуассона и скобки Лагранжа. Доказательство инвариантности скобок. Фундаментальные скобки.

25.Свойства скобок Пуассона. Тождество Якоби. Скобки Пуассона и интегралы движения.

26.Бесконечно малые канонические преобразования и законы сохранения.

27.Интегральные инварианты Пуанкаре. Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объема.

28.Уравнение Гамильтона-Якоби. Решение уравнения Гамильтона-Якоби для гармонического осциллятора. Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби.

29.Периодические движения типа колебания и вращения. Примеры. Многопериодические движения при наличии вырождения. Переход к независимым частотам.

30.Задача Кеплера в переменных действие-угол. Правила квантования Бора-Зоммерфельда.

3.2.Примерный план практических занятий 3-й семестр

1.Кинематика материальной точки. Радиус-вектор, скорость, ускорение. Закон движения и уравнение траектории. Системы координат: декартова, полярная, цилиндрическая, сферическая. Естественные координаты. (2 занятия).

2.Динамика одномерного движения материальной точки. Масса, сила, уравнение второго закона Ньютона. Закон движения в квадратурах для случая стационарной силы. Разрешенные и запрещенные области, точки поворота. Финитное и инфинитное движение, период финитного движения. (2 занятия).

3.Интегралы движения материальной точки. Законы сохранения импульса, момента импульса, энергии. Симметрия задачи и выбор системы координат. Примеры использования интегралов движения в декартовой системе координат. (1 занятие).

4.Использование интегралов движения в цилиндрической системе координат. Сведение задачи к случаю одномерного движения. Эффективная потенциальная энергия. Нахождение закона движения и уравнения траектории в квадратурах. (1 занятие).

5.Движение в центральном поле. Законы сохранения момента импульса и энергии. Плоскость движения, полярные координаты. Эффективная потенциальная энергия в центральном поле. Закон движения и уравнение траектории в квадратурах. (1 занятие).

6.Разрешенные и запрещенные области движения в центральном поле, точки поворота. Финитное и инфинитное движение, свойства траекторий. Период радиальных колебаний в случае финитного движения. Критерий замкнутости траектории и периодичности финитного движения. (1 занятие).

7.Кеплерово движение. Свойства эффективной потенциальной энергии и классификация типов движения материальной точки в зависимости от ее энергии. Возможные траектории движения: эллипс, парабола, гипербола. Уравнение траектории в случае поля притяжения и поля отталкивания. Интеграл Лапласа. Третий закон Кеплера. (2 занятия).

8.Постановка задачи о рассеянии в центральном поле. Прицельный параметр и угол рассеяния. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния. Полное сечение рассеяния и его геометрический смысл в классической механике. (1 занятие).

9.Рассеяние частиц высокой энергии в центральном поле. Приближенная формула для угла рассеяния. Особенности дифференциального эффективного сечения рассеяния: радужное рассеяние и глория. Сечение падения в центр поля. (2 занятия).

10.Контрольная работа. Зачет. (3 занятия).

4-й семестр

1.Уравнения Лагранжа 2-го рода. Ковариантность уравнений Лагранжа в независимых координатах. Выбор обобщенных координат. Интегрирование уравнений Лагранжа в простейших случаях. (1 занятие).

2.Обобщенные импульсы. Циклические координаты и законы сохранения обобщенных импульсов. Обобщенная энергия и закон ее сохранения. Возможность сохранения обобщенной энергии в случае нестационарных связей. Сведение задачи к случаю одномерного движения при наличии достаточного количества циклических координат. (1 занятие).

3.Движение под действием обобщенно-потенциальных сил. Функция Лагранжа электромагнитного поля, возможные случаи сведения к задаче с конечным числом степеней свободы. Функция Лагранжа заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. Электромеханическая аналогия и функция Лагранжа системы конденсаторов и катушек индуктивности. (2 занятия).

4.Малые колебания в одномерных системах. Положение устойчивого равновесия системы, степенное разложение кинетической и потенциальной энергий в окрестности положения устойчивого равновесия. Собственные малые колебания. Линейные колебания, независимость частоты линейных колебаний от амплитуды. Нелинейные малые колебания. Вынужденные колебания в одномерных системах. (2 занятия).

5.Малые колебания в системах с несколькими степенями свободы. Положение устойчивого равновесия многомерной системы. Разложение кинетической и потенциальной энергий в окрестности положения устойчивого равновесия, квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий. (1 занятие).

6.Задача об одновременном приведении двух квадратичных форм к диагональному виду. Собственные частоты и собственные векторы колебаний в многомерных системах. Случай вырождения частот. Нормальные координаты, функция Лагранжа в нормальных координатах. (1 занятие).

7.Контрольная работа. (1 занятие).

3.3.Примерные темы типовых расчетов

-Вывод формулы для определения потенциальной энергии по периоду колебаний.

-Вывод формул, определяющих зависимость координат частиц от времени в задаче Кеплера.

-Вывод формулы для угла рассеяния в случае быстрых частиц.

-Вычисление амплитуды и частоты нутации быстрого тяжелого волчка.

-Доказательство инвариантности уравнений Лагранжа относительно точечных преобразований.

-Вывод уравнений Гамильтона непосредственно из принципа наименьшего действия.

-Вывод уравнений Лагранжа для малых колебаний сплошной среды.

-Вывод уравнения траектории частиц жидкости при волновом движении.

3.4.Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу

1.Основные свойства пространства и времени. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея. Преобразование Галилея.

2.Кинематика материальной точки. Траектория. Скорость, ускорение и их проекции на оси естественного трехгранника.

3.Второй закон Ньютона. Импульс. Теоремы сохранения. Момент импульса. Секторная скорость.

4.Прямая и обратная задача механики. Интегрирование уравнений движения. Первые и вторые интегралы движения. Условия независимости интегралов движения.

5.Работа силы. Кинетическая энергия. Консервативные силы и потенциальная энергия.

Закон сохранения энергии.

6.Движение материальной точки в центральном поле. Интегралы движения . Уравнение траектории.

7.Возможные траектории движения материальной точки в центральном поле. Падение на центр. Условие замкнутости траектории.

8.Задача Кеплера. Сведение задачи двух тел к движению материальной точки в центральном поле.

9.Общее исследование возможных траекторий в случае ньютоновского потенциала. Типы орбит. Законы Кеплера.

10.Рассеяние частиц неподвижным силовым центром. Угол рассеяния. Дифференциальное

сечение рассеяния.

11.Рассеяние заряженных частиц электрическим полем неподвижного заряда. Формула Резерфорда.

12.Упругие столкновения частиц. Углы рассеяния в лабораторной системе и их

выражение через углы рассеяния в системе центра инерции.

13. Третий закон Ньютона. Силы внешние и внутренние. Движение центра инерции системы. Импульс и момент импульса системы. Законы их сохранения.

14.Энергия системы материальных точек и ее сохранение.

15.Теорема вириала.

16.Движение при наложенных связях. Классификация связей. Обобщенные координаты.

17. Принцип виртуальных работ. Идеальные связи. Принцип Даламбера. Уравнения Лагранжа 2-го рода. Функция Лагранжа.

18. Обобщение уравнений Лагранжа на случай неголономных связей, линейно зависящих от скорости. Неопределенные множители Лагранжа. Уравнения Лагранжа 1-го рода.

19.Обобщенный импульс. Циклические координаты. Формулировка законов сохранения с помощью функции Лагранжа.

20. Связь законов сохранения импульса, момента количества движения и энергии с однородностью, изотропностью пространства и однородностью времени.

21.Силы трения, пропорциональные скорости, их учет в лагранжевой формулировке механики. Диссипативная функция Рэлея.

22.Понятие малых колебаний. Устойчивое равновесие. Кинетическая

ипотенциальная энергия системы материальных точек, совершающих малые колеба-

ния.

23.Уравнения движения системы материальных точек, совершающих малые колебания. Собственные частоты.

24.Общий вид решения задачи о малых колебаниях. Нормальные координаты.

25.Случай кратных корней характеристического уравнения.

26.Вынужденные колебания. Явление резонанса.

27.Малые колебания при наличии сил трения.

28.Вынужденные колебания при наличии затухания.

29.Понятие абсолютно твердого тела. Обобщенные координаты для твердого тела: направляющие косинусы, углы Эйлера. Выражение матрицы поворота через углы Эйлера.

30.Кинематическая теорема Эйлера. Теорема Шаля.

31.Угловая скорость, ее свойства. Понятие псевдовектора.

32.Движение в неинерциальной системе отсчета. Ускорение во вращающейся системе.

Силы инерции: ценробежная сила, сила Кориолиса.

33. Кинетическая энергия вращающегося твердого тела. Тензор инерции. Момент инерции. Теорема Штейнера.

32. Момент количества движения твердого тела. Главные оси инерции и главные моменты инерции. Симметричный волчек, шаровой волчек, ротатор.

34.Динамические уравнения Эйлера. Решение уравнений Эйлера для свободного симметричного волчка. Явление прецессии.

35.Эллипсоид инерции. Стационарность и устойчивость вращения.

36.Тяжелый симметрический волчок с закрепленной точкой. Выражение для кинетической энергии через углы Эйлера. Интегралы движения и их физический смысл.

37.Исследование движения тяжелого волчка: траектории Апекса. Нерегулярная прецессия,

нутация. Естественные начальные условия. Быстрый волчок. Спящий волчок.

38. Принцип наименьшего действия Гамильтона. Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода из принципа Гамильтона.

39.Функция Гамильтона. Уравнения Гамильтона.

40.Связь функции Гамильтона с полной энергией системы.

41.Циклические координаты в методе Гамильтона. Метод Рауса.

42.Принцип наименьшего действия Мопертюи.

43.Принцип Мопертюи для материальной точки, на которую не действуют внешние силы.

44.Принцип Мопертюи в форме Якоби-Герца.

45.Определение канонических преобразований. Примеры канонических преобразований.

46.Решение задачи о гармоническом осцилляторе методом канонических преобразований.

47.Инварианты канонических преобразований. Скобки Пуассона и скобки Лагранжа.

48.Доказательство инвариантности скобок Пуассона. Фундаментальные скобки. Свойства скобок Пуассона. Тождество Якоби.

49.Скобки Пуассона и интегралы движения.

50.Бесконечно малые канонические преобразования. Движение системы как бесконечно малое каноническое преобразование.

51.Бесконечно малые канонические преобразования и законы сохранения.

52.Интегральные инварианты Пуанкаре.

53.Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объема.

54.Уравнение Гамильтона-Якоби. Главная функция Гамильтона. Характеристическая

функция Гамильтона.

55.Решение уравнения Гамильтона-Якоби для гармонического осциллятора. Разделение переменных в уравнении Гамильтона-Якоби.

56.Периодические движения типа колебания и вращения. Фазовые траектории. Примеры.

57.Многопериодические движения при наличии вырождения. Переход к независимым частотам.

58. Задача Кеплера в переменных действие-угол. Правила квантования Бора-Зоммерфельда.

4.Учебно-методическое обеспечение курса

4.1.Активные методы обучения

Вкурсе используется традиционная лекционная форма преподавания.

4.2.Материальное обеспечение дисциплины

Стандартно оборудованная лекционная аудитория.

4.3.Литература

Основная

1.Голдстейн Г. Классическая механика. М., Наука, 1975.

2.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. М., Наука, 1988.

3.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М., Наука, 1988.

4.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М., Наука, 1988.

Дополнительная

1.Невзглядов В.Г. Теоретическая механика. М., Физматгиз, 1959.

2.Ольховский Н.И. Курс теоретической механики для физиков. М., Наука, 1970.

3.Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М., Наука, 1974.