Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный университет Физический факультет

Программа учебной дисциплины

ОПД.Ф.01 – «Теоретическая физика. Теоретическая механика» Направление 010600 «Прикладные математика и физика»

Санкт-Петербург – 2008 г.

1.Организационно методический раздел

1.1.Цель изучения дисциплины: ознакомление студентов – физиков с первым из разделов теоретической физики – классической механикой, базирующейся на законах Ньютона и изучающей движение материальных тел со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света.

1.2.Задачи курса: изучение основ теоретической механики, включающей в себя кинематику и динамику материальной точки и системы материальных точек, кинематику и динамику абсолютно твердого тела, теорию малых колебаний, аналитическую механику, а также основ механики сплошной среды: теории упругости

игидродинамики.

1.3.Место курса в профессиональной подготовке выпуска: курс служит основой для изложения последующих разделов теоретической физики (квантовой механики, статистической физики, теории относительности) и позволяет, не выходя за пределы понятий классической физики, изучить и освоить многие математические методы и подходы, используемые в дальнейшем.

1.4.Требование к уровню освоения дисциплины «Теоретическая механика»:

♦знать основные определения и понятия, используемые в курсе;

♦владеть математическим аппаратом, используемым при выводе формул;

♦уметь формулировать основные принципы и законы механики;

♦уметь выводить уравнения движения из основных принципов механики;

♦уметь анализировать полученные результаты и закономерности.

2.Объем дисциплины, виды учебной работы, форма текущего, промежуточного и итогового контроля:

1)По итогам практических занятий в 4 семестре выставляется оценка по 10-балльной шкале. Оценка на экзамене по теоретической механике выставляется на основе результатов коллоквиума, оценки за практические занятия и ответа на экзамене в равной пропорции. Допускается пересдача неудовлетворительной оценки коллоквиума во время экзамена. Неудовлетворительная оценка за практические занятия в 4 семестре или неудовлетворительный ответ на экзамене влекут за собой неудовлетворительную общую оценку.

2)Во время коллоквиум и экзамена студенты имеют право пользоваться своими конспектами при соблюдении следующих правил: а) Конспекты во время

2

проведения экзамена или коллоквиума лежат на отдельном столе в той аудитории, где проводится аттестация. б) Студент может подойти и посмотреть свой конспект в течение короткого времени (не более 5 минут). в) Запись материала конспекта на отдельные листы, а также перенос его со стола в аудиторию не допускаются.

3. Содержание дисциплины

3.1.Темы лекций по дисциплине

3-й семестр

Часть I. Теоретическая механика.

Пространство и время в классической механике.

1.Основные свойства пространства и времени. Системы отсчета. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея. Преобразование Галилея.

Кинематика материальной точки.

2.Траектория. Скорость, ускорение и их проекции на оси естественного трехгранника.

Динамика материальной точки.

3.Второй закон Ньютона. Импульс. Сила. Масса. Момент импульса.

4.Теоремы сохранения импульса и момента импульса. Секторная скорость. Прямая и обратная задачи механики. Интегрирование уравнений движения. Первые и вторые интегралы движения.

5.Работа силы. Кинетическая энергия. Консервативные силы и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.

Движение материальной точки в центральном поле.

6.Консервативность центральной силы. Интегралы движения для случая центрального поля. Плоскость орбиты. Уравнение траектории в полярных координатах.

7.Исследование возможных траекторий. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр. Условие замкнутости траектории.

8.Задача Кеплера. Ньютоновский потенциал. Сведение задачи двух тел к движению материальной точки в центральном поле. Уравнение траектории в канонической форме. Типы орбит. Законы Кеплера.

9.Рассеяние частиц неподвижным силовым центром. Угол рассеяния. Дифференциальное сечение рассеяния. Прицельное расстояние. Рассеяние заряженных частиц электрическим полем неподвижного заряда. Формула Резерфорда.

Динамика системы материальных точек.

10.Третий закон Ньютона. Силы внешние и внутренние. Движение центра инерции. Импульс и момент импульса системы материальных точек. Законы их сохранения. Энергия системы материальных точек. Закон сохранения энергии. Теорема вириала.

11.Движение при наложенных связях. Классификация связей. Виртуальные перемещения. Идеальные связи. Принцип виртуальных работ. Принцип Даламбера.

12.Уравнения Лагранжа I рода. Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа II рода. Функция Лагранжа. Обобщение уравнений Лагранжа на неголономные связи. 13.Обобщенный импульс. Циклические координаты. Связь законов сохранения импульса, момента импульса и энергии с однородностью, изотропностью пространства и однородностью времени. Силы трения и диссипативная функция Релея.

Кинематика твердого тела.

14.Понятие абсолютно твердого тела. Обобщенные координаты для твердого тела: направляющие косинусы, углы Эйлера. Кинематическая теорема Эйлера. Теорема Шаля. 15.Угловая скорость, ее свойства. Понятие псевдовектора. Движение в неинерциальной системе отсчета. Ускорение во вращающейся системе. Силы инерции: центробежная сила, сила Кориолиса.

3

Динамика твердого тела.

16.Кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции. Момент инерции. Момент количества движения твердого тела. Теорема Штейнера.

17.Главные оси инерции и главные моменты инерции. Симметрический волчок, шаровой волчок, ротатор. Эллипсоид инерции. Динамические уравнения Эйлера.

18.Решение уравнений Эйлера для свободного симметрического волчка. Явление прецессии. Стационарность и устойчивость вращения.

4-й семестр

Малые колебания системы материальных точек.

19.Понятие малых колебаний. Кинетическая и потенциальная энергия системы материальных точек, совершающих малые колебания. Уравнения движения. Собственные частоты. Общий вид решения. Нормальные координаты.

20.Случай вырождения частот. Вынужденные колебания. Явления резонанса. Малые колебания при наличии сил трения. Комплексная частота, коэффициент затухания. Вынужденные колебания при наличии затухания.

Принцип наименьшего действия Гамильтона - Остроградского.

21.Основы вариационного исчисления. Понятие функционала, вариации, экстремали. Уравнения Эйлера для отыскания экстремалей.

22.Конфигурационное пространство. Действие. Виртуальные траектории. Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода из принципа Гамильтона – Остроградского.

Уравнения Гамильтона.

23.Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона. Переход к методу Гамильтона как преобразование Лежандра.

24.Связь функции Гамильтона с полной энергией системы. Циклические координаты. Метод Рауса.

Канонические преобразования.

25.Определение канонических преобразований. Производящие функции различных типов, связь между ними. Примеры канонических преобразований.

26.Скобки Пуассона и их свойства. Фундаментальные скобки. Тождество Якоби. Скобки Пуассона и интегралы движения.

27.Доказательство инвариантности скобок Пуассона относительно канонических преобразований (стационарный случай).

28.Бесконечно малые канонические преобразования. Движение системы как бесконечно малое каноническое преобразование. Бесконечно малые канонические преобразования и законы сохранения.

29.Фазовое пространство. Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объема.

Часть II. Механика сплошной среды.

30.Предмет и методы механики сплошной среды. Основные гипотезы.

Общие соотношения механики сплошной среды: кинематика деформируемой среды.

31.Пространственные и материальные координаты. Описание движения сплошной среды методом Лагранжа и методом Эйлера. Формулировка закона движения сплошной среды в переменных Лагранжа и в переменных Эйлера и переход от одних переменных к другим. Эквивалентность обоих подходов.

32.Скалярные и векторные поля и их характеристики: локальная и субстанциональная производные; поверхности уровня; производная по направлению; вектор-градиент; линии и поверхности тока; трубки тока; потенциальное векторное поле.

4

33.Понятие деформируемой среды. Вектор смещения и тензор деформации. Главные оси и главные значения тензора деформации.

34.Однородные деформации. Малые деформации. Тензор скорости деформации.

Общие соотношения механики сплошной среды: динамические понятия и динамические уравнения.

35.Объемные и поверхностные силы. Тензор напряжений, его свойства. Закон сохранения массы и уравнение неразрывности.

36.Общие уравнения движения сплошной среды. Незамкнутость системы уравнений и необходимость учета физических свойств реальных сплошных сред.

Замкнутые системы механических уравнений для простейших классических моделей сплошных сред.

Теория упругости.

37.Понятие упругой среды. Обобщенный закон Гука. Тензор модулей упругости. Изотропное абсолютно упругое тело. Коэффициенты Ламе.

38.Тензор напряжений в случае деформации равномерного всестороннего сжатия. Деформация растяжения стержня, модули Юнга и Пуассона. Уравнение движения для деформированного твердого тела (уравнение Ламе).

39.Упругие волны. Продольные колебания деформированного стержня.

Гидродинамика.

40.Модель идеальной жидкости. Тензор напряжений для идеальной жидкости. Гидродинамические уравнения Эйлера. Несжимаемая жидкость. Полная система уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости (однородной и неоднородной).

41.Баротропное течение. Замкнутая система уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов.

42.Стационарное течение жидкости. Линии тока. Интеграл Бернулли.

43.Вихревое движение жидкости. Циркуляция скорости. Теорема Томсона. Вихревые линии.

44.Потенциальное течение жидкости. Интеграл Коши. Потенциальное обтекание твердых тел. Парадокс Даламбера.

45.Вязкая жидкость. Уравнение Навье-Стокса. Кинематическая вязкость. Закон подобия. Число Рейнольдса.

3.2.Примерный план практических занятий 3-й семестр

1.Кинематика материальной точки. Радиус-вектор, скорость, ускорение. Закон движения и уравнение траектории. Системы координат: декартова, полярная, цилиндрическая, сферическая. Естественные координаты. (2 занятия).

2.Динамика одномерного движения материальной точки. Масса, сила, уравнение второго закона Ньютона. Закон движения в квадратурах для случая стационарной силы. Разрешенные и запрещенные области, точки поворота. Финитное и инфинитное движение, период финитного движения. (2 занятия).

3.Интегралы движения материальной точки. Законы сохранения импульса, момента импульса, энергии. Симметрия задачи и выбор системы координат. Примеры использования интегралов движения в декартовой системе координат. (1 занятие).

4.Использование интегралов движения в цилиндрической системе координат. Сведение задачи к случаю одномерного движения. Эффективная потенциальная энергия. Нахождение закона движения и уравнения траектории в квадратурах. (1 занятие).

5

5.Движение в центральном поле. Законы сохранения момента импульса и энергии. Плоскость движения, полярные координаты. Эффективная потенциальная энергия в центральном поле. Закон движения и уравнение траектории в квадратурах. (1 занятие).

6.Разрешенные и запрещенные области движения в центральном поле, точки поворота. Финитное и инфинитное движение, свойства траекторий. Период радиальных колебаний в случае финитного движения. Критерий замкнутости траектории и периодичности финитного движения. (1 занятие).

7.Кеплерово движение. Свойства эффективной потенциальной энергии и классификация типов движения материальной точки в зависимости от ее энергии. Возможные траектории движения: эллипс, парабола, гипербола. Уравнение траектории в случае поля притяжения и поля отталкивания. Интеграл Лапласа. Третий закон Кеплера. (2 занятия).

8.Постановка задачи о рассеянии в центральном поле. Прицельный параметр и угол рассеяния. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния. Полное сечение рассеяния и его геометрический смысл в классической механике. (1 занятие).

9.Рассеяние частиц высокой энергии в центральном поле. Приближенная формула для угла рассеяния. Особенности дифференциального эффективного сечения рассеяния: радужное рассеяние и глория. Сечение падения в центр поля. (2 занятия).

10.Контрольная работа. Зачет. (3 занятия).

4-й семестр

1.Уравнения Лагранжа 2-го рода. Ковариантность уравнений Лагранжа в независимых координатах. Выбор обобщенных координат. Интегрирование уравнений Лагранжа в простейших случаях. (1 занятие).

2.Обобщенные импульсы. Циклические координаты и законы сохранения обобщенных импульсов. Обобщенная энергия и закон ее сохранения. Возможность сохранения обобщенной энергии в случае нестационарных связей. Сведение задачи к случаю одномерного движения при наличии достаточного количества циклических координат. (1 занятие).

3.Движение под действием обобщенно-потенциальных сил. Функция Лагранжа электромагнитного поля, возможные случаи сведения к задаче с конечным числом степеней свободы. Функция Лагранжа заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле. Электромеханическая аналогия и функция Лагранжа системы конденсаторов и катушек индуктивности. (2 занятия).

4.Малые колебания в одномерных системах. Положение устойчивого равновесия системы, степенное разложение кинетической и потенциальной энергий в окрестности положения устойчивого равновесия. Собственные малые колебания. Линейные колебания, независимость частоты линейных колебаний от амплитуды. Нелинейные малые колебания. Вынужденные колебания в одномерных системах. (2 занятия).

5.Малые колебания в системах с несколькими степенями свободы. Положение устойчивого равновесия многомерной системы. Разложение кинетической и потенциальной энергий в окрестности положения устойчивого равновесия, квадратичные формы кинетической и потенциальной энергий. (1 занятие).

6

6.Задача об одновременном приведении двух квадратичных форм к диагональному виду. Собственные частоты и собственные векторы колебаний в многомерных системах. Случай вырождения частот. Нормальные координаты, функция Лагранжа в нормальных координатах. (1 занятие).

7.Контрольная работа. (1 занятие).

3.3Примерные темы типовых расчетов

-Расчёт траектории финитного движения в поле экранированного кулоновского потенциала

-Расчёт траектории инфинитного движения в поле экранированного кулоновского потенциала

-Расчёт дифференциального эффективного сечения рассеяния для потенциала с кулоновской сердцевиной

-Расчёт траектории частицы в неоднородном магнитном поле и анализ устойчивости движения по круговой орбите

-Расчёт траектории движения заряженной частицы в поле точечного заряда и однородном магнитном поле

-Расчёт траектории движения заряженной частицы в поле гармонического осциллятора и однородном магнитном поле

-Расчёт закона и траектории движения свободной частицы на вращающейся кривой известной формы

-Расчёт закона и траектории движения тяжёлой частицы по поверхности параболоида вращения

3.4.Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу.

1.Основные свойства пространства и времени. Системы отсчета. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея. Преобразование Галилея.

2.Траектория. Скорость, ускорение и их проекции на оси естественного трехгранника.

3.Второй закон Ньютона. Импульс. Сила. Масса. Момент импульса.

4.Теоремы сохранения импульса и момента импульса. Секторная скорость.

5.Прямая и обратная задачи механики. Интегрирование уравнений движения. Первые и вторые интегралы движения.

6.Работа силы. Кинетическая энергия. Консервативные силы и потенциальная энергия. Закон сохранения энергии.

7.Консервативность центральной силы. Интегралы движения для случая центрального поля.

8.Плоскость орбиты. Уравнение траектории в полярных координатах.

9.Исследование возможных траекторий. Финитное и инфинитное движение. Падение на центр. Условие замкнутости траектории.

10.Задача Кеплера. Ньютоновский потенциал. Сведение задачи двух тел к движению материальной точки в центральном поле.

11.Уравнение траектории в канонической форме. Типы орбит. Законы Кеплера.

12.Рассеяние частиц неподвижным силовым центром. Угол рассеяния. Дифференциальное сечение рассеяния. Прицельное расстояние.

13.Рассеяние заряженных частиц электрическим полем неподвижного заряда. Формула Резерфорда.

14.Третий закон Ньютона. Силы внешние и внутренние. Движение центра инерции.

15.Импульс и момент импульса системы материальных точек. Законы их сохранения.

16.Энергия системы материальных точек. Закон сохранения энергии. Теорема вириала.

17.Движение при наложенных связях. Классификация связей. Виртуальные перемещения. Идеальные связи.

18.Принцип виртуальных работ. Принцип Даламбера.

7

19.Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа II рода. Функция Лагранжа.

20.Уравнения Лагранжа I рода. Обобщение уравнений Лагранжа на неголономные связи.

21.Обобщенный импульс. Циклические координаты. Связь закона сохранения импульса с однородностью пространства.

22.Связь закона сохранения момента импульса с изотропностью пространства.

23.Обобщенная энергия. Связь закона сохранения обобщенной энергии с однородностью времени.

24.Силы трения и диссипативная функция Релея.

25.Понятие малых колебаний. Кинетическая и потенциальная энергия системы материальных точек, совершающих малые колебания. Уравнения движения. Собственные частоты.

26.Общий вид решения уравнений движения для малых колебаний. Нормальные координаты. Случай вырождения частот.

27.Вынужденные колебания. Явление резонанса.

28.Малые колебания при наличии сил трения. Комплексная частота, коэффициент затухания.

29.Вынужденные колебания при наличии затухания.

30.Понятие абсолютно твердого тела. Обобщенные координаты для твердого тела: направляющие косинусы, углы Эйлера.

31.Кинематическая теорема Эйлера. Теорема Шаля.

32.Угловая скорость, ее свойства. Понятие псевдовектора.

33.Ускорение во вращающейся системе. Силы инерции: центробежная сила, сила Кориолиса.

34.Кинетическая энергия твердого тела. Тензор инерции.

35.Момент инерции. Момент количества движения твердого тела. Теорема Штейнера.

36.Главные оси инерции и главные моменты инерции. Симметрический волчок, шаровой волчок, ротатор. Эллипсоид инерции.

37.Динамические уравнения Эйлера. Решение уравнений Эйлера для свободного симметрического волчка.

38.Явление прецессии. Стационарность и устойчивость вращения.

39.Понятие функционала, вариации, экстремали. Уравнения Эйлера для отыскания экстремалей.

40.Конфигурационное пространство. Действие. Виртуальные траектории.

41.Вывод уравнений Лагранжа 2-го рода из принципа Гамильтона – Остроградского.

42.Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона.

43.Переход к методу Гамильтона как преобразование Лежандра.

44.Связь функции Гамильтона с полной энергией системы.

45.Циклические координаты. Метод Рауса.

46.Определение канонических преобразований. Производящие функции различных типов, связь между ними.

47.Примеры канонических преобразований.

48.Скобки Пуассона и их свойства. Фундаментальные скобки.

49.Тождество Якоби.

50.Скобки Пуассона и интегралы движения.

51.Доказательство инвариантности скобок Пуассона относительно канонических преобразований (стационарный случай).

52.Бесконечно малые канонические преобразования. Движение системы как бесконечно малое каноническое преобразование.

53.Бесконечно малые канонические преобразования и законы сохранения.

54.Фазовое пространство. Теорема Лиувилля об инвариантности фазового объема.

8

55.Пространственные и материальные координаты. Описание движения сплошной среды методом Лагранжа и методом Эйлера. Эквивалентность обоих подходов.

56.Скалярные и векторные поля и их характеристики.

57.Понятие деформируемой среды. Вектор смещения и тензор деформации. Главные оси и главные значения тензора деформации.

58.Однородные деформации. Малые деформации. Тензор скорости деформации.

59.Объемные и поверхностные силы. Тензор напряжений, его свойства.

60.Закон сохранения массы и уравнение неразрывности.

61.Общие уравнения движения сплошной среды. Незамкнутость системы уравнений и необходимость учета физических свойств реальных сплошных сред.

62.Понятие упругой среды. Обобщенный закон Гука.

63.Тензор модулей упругости. Изотропное абсолютно упругое тело. Коэффициенты Ламе.

64.Тензор напряжений в случае деформации равномерного всестороннего сжатия.

65.Деформация растяжения стержня, модули Юнга и Пуассона.

66.Уравнение движения для деформированного твердого тела (уравнение Ламе).

67.Упругие волны.

68.Продольные колебания деформированного стержня.

69.Модель идеальной жидкости. Тензор напряжений для идеальной жидкости. Гидродинамические уравнения Эйлера.

70.Несжимаемая жидкость. Полная система уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости (однородной и неоднородной).

71.Баротропное течение. Замкнутая система уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости в случае баротропных процессов.

72.Стационарное течение жидкости. Линии тока. Интеграл Бернулли.

73.Вихревое движение жидкости. Циркуляция скорости. Теорема Томсона. Вихревые линии.

74.Потенциальное течение жидкости. Интеграл Коши.

75.Потенциальное обтекание твердых тел. Парадокс Даламбера.

76.Вязкая жидкость. Уравнение Навье-Стокса.

77.Кинематическая вязкость. Закон подобия. Число Рейнольдса.

4.Учебно-методическое обеспечение курса

4.1.Активные методы обучения

Вкурсе используется традиционная лекционная форма преподавания.

4.2.Материальное обеспечение дисциплины

Стандартно оборудованная лекционная аудитория.

4.3. Литература Основная

1.Голдстейн Г. «Классическая механика». М., Наука, 1975.

2.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Механика». М., Наука 1988.

3.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Теория упругости». М., Наука 1988.

4.Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Гидродинамика». М., Наука 1988.

5.Ольховский Н.И. «Курс теоретической механики для физиков». Изд-во МГУ, 1978.

Дополнительная

1.Невзглядов В.Г. «Теоретическая механика». М., Физматгиз 1959.

2.Седов Л.И. «Механика сплошной среды». М., Наука 1970.

9