Программа - Гойденко

Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный университет

________________ А.С.Чирцов

протокол № 31 от 25 апреля 2008 г.

Заведующий кафедрой

В.М.Шабаев

ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

ОПД.Ф.01 – «Теоретическая физика. Квантовая механика» Направление -010800 Радиофзика

Разработчик:

доцент, кандидат физ.-мат. наук ___________________ И.А. Гойденко

Рецензент:

профессор, доктор физ.-мат. наук ___________________ В.М.Шабаев

Санкт-Петербург – 2008 г.

1.Организационно-методический раздел

1.1.Цель изучения дисциплины: Сформировать у студентов современные представления о физических законах микромира, определяющих большинство свойств различных атомно-молекулярных систем и протекающих в них процессах.

1.2.Задачи курса: Дать студентам представление о физических принципах, лежащих в основе квантовой теории, рассказать им об основных методах и подходах квантовой теории, научить применять квантовую теорию к рассмотрению конкретных атомномолекулярных систем, как изолированных, так и взаимодействующих друг с другом и

сизлучением. знакомство с современными методами расчетов электронной структуры твердых тех и использование полученных результатов и представлений для описания физических свойств твердых тел.

1.3.Место курса в профессиональной подготовке выпускника: курс квантовой механики служит основой при изложении специальных дисциплин, посвященных изучению строения и свойств атомно-молекулярных систем.

1.4.Требования к уровню освоения дисциплины «Квантовая механика»

-знать основные положения квантовой механики;

-знать процедуру квантования системы частиц и поля;

-знать связь квантовой и классической механик;

-иметь понятие о квазирелятивистской квантовой теории;

-уметь выводить простейшие уравнения квантовой теории;

-уметь применять квантовую теорию к рассмотрению: простейших атомномолекулярных систем, процессов рассеяния, свойств многочастичных систем,

влияния на квантовую систему стационарного поля и излучения.

2.Объем дисциплины, виды учебной работы, форма текущего, промежуточного и

итогового контроля

1)По итогам практических занятий в 6 семестре выставляется оценка по 10-балльной шкале. Оценка на экзамене по квантовой механике выставляется на основе результатов коллоквиума, оценки за практические занятия и ответа на экзамене в равной пропорции. Допускается пересдача неудовлетворительной оценки коллоквиума во время экзамена. Неудовлетворительная оценка за практические занятия в 6 семестре или неудовлетворительный ответ на экзамене влекут за собой неудовлетворительную общую оценку.

2)Во время коллоквиума и экзамена студенты имеют право пользоваться своими

конспектами при соблюдении следующих правил: а) Конспекты во время проведения экзамена или коллоквиума лежат на отдельном столе в той аудитории, где проводится аттестация. б) Студент может подойти и посмотреть свой конспект в течение короткого времени (не более 5 минут). в) Запись материала конспекта на отдельные листы, а также перенос его со стола в аудиторию не допускаются.

3. Содержание дисциплины

3.1.Темы лекций по дисциплине 5 семестр

Глава 1. Экспериментальные основания квантовой механики.

Реальные опыты: равновесное излучение, опыты Франка-Герца, Штерна-Герлаха, Комптона, Девиссона-Джермера. Дуализм волна-частица. Волны де Бройля. Мысленные опыты: измерение координаты с помощью микроскопа, с помощью щели, измерение импульса по рассеянию рентгеновских лучей, эксперимент с полупрозрачным зеркалом.

Соотношения неопределенностей. Абстракции классической физики и их ограниченная применимость к микромиру. Прибор. Понятия вероятности, плотности вероятности, потенциальной возможности. Понятие состояния в квантовой механике.

Глава 2. Математический аппарат квантовой механики.

Гильбертово пространство. Норма, сходимость последовательности, ортонормированные системы, бесконечные ряды, подпространство, проекция вектора. Реализации Гильбертова пространства.

Операторы в Гильбертовом пространстве и соотношения между ними (равенство, сумма, произведение, коммутатор, антикоммутатор). Обратный оператор. Линейный, эрмитовский, антиэрмитовский, унитарный, положительно определенный, ограниченный операторы. Конкретные виды операторов умножения, дифференцирования, интегральный, проектирования; их линейность и эрмитовость. Спектр линейного самосопряженного оператора. Регулярная точка и точка спектра. Собственные числа. Вырождение. Вещественность собственных чисел и ортогональность собственных векторов. Виды спектров. Операторы с чисто сплошным спектром: оператор дифференцирования и оператор умножения на независимую переменную. Дельта-функция Дирака и ее свойства. Дельтаобразные последовательности. Нормировка на дельта-функцию. Базисная система. Формулы разложения по базисной системе. Коммутация операторов и базисная система. Функции от операторов.

Глава 3. Основные положения квантовой механики.

Физические величины и операторы. Классические и квантовые скобки Пуассона. Вывод выражения для операторов координаты и импульса из скобок Пуассона. Однозначность. Квантование. Оператор кинетической энергии. Оператор Гамильтона.

Состояние системы и вектора в Гильбертовом пространстве. Дираковские обозначения. Среднее значение физической величины. Состояние, в котором физическая величина имеет определенное значение. Одновременная измеримость двух физических величин. Вывод соотношения неопределенностей по Гайзенбергу. Волновая функция, случай дискретного и сплошного спектров. Оператор проектирования. Полный набор величин и операторов.

Теория представлений. Преставление волновой функции и оператора. Переход от одного представления к другому. Унитарность. Координатное и импульсное представления. Операторы координаты и импульса в импульсном представлении. Чистые и смешанные состояния. Статистический оператор и его спектр. Матрица плотности. Матрица плотности подсистемы квантовой системы. Измерение физической величины и редукция волнового пакета. Развитие состояния системы во времени. Уравнение Шредингера. Начальные условия. Оператор эволюции. Представления Шредингера, Гейзенберга, представление взаимодействия. Квантовое

уравнение Лиувилля.

Глава 4. Простейшие модели в квантовой механике.

Прямоугольная потенциальная яма. Симметрия оператора и классификация волновых функций. Непрерывность волновой функции и ее производной. Отсутствие решения в случае энергии, расположенной ниже дна потенциальной ямы. Состояния дискретного спектра. Уровни энергии и волновые функции. Сравнение движения классической и квантовой частиц. Плотность вероятности найти классическую частицу в определенной точке пространства. Состояния сплошного спектра. Физическая интерпретация. Коэффициенты отражения и прохождения. Сравнение движения квантовой и классической частиц. Резонансы. Прямоугольная потенциальная яма с бесконечными стенками.

Прямоугольный потенциальный барьер. Коэффициент отражения и прохождения. Туннельный эффект. Надбарьерное отражение. Резонансы. Сравнение движения квантовой и классической частиц.

Гребенка Дирака. Периодический потенциал. Оператор трансляции. Теорема Блоха. Нормировка на дельта-функцию. Энергетический спектр. Разрешенные и запрещенные зоны.

Гармонический осциллятор. Операторы рождения и уничтожения, их коммутатор. Оператор числа частиц и его спектр. Энергетический спектр гармонического осциллятора. Волновые функции. Среднее значение координаты, импульса, кинетической и потенциальной энергий. Соотношение неопределенностей. Сравнение классического и квантового осцилляторов.

Частица в однородном электрическом поле. Импульсное представление. Функции Эйри и их асимптотика. Сравнение движения квантовой и классической частиц.

Глава 5. Момент количества движения.

Коммутационные соотношения. Собственные числа операторов квадрата и z- проекции момента количества движения. Сложение моментов. Орбитальный момент количества движения. Полярные диаграммы. Спиновый момент количества движения. Матрицы Паули.

Глава 6. Центральное поле.

Движение в центральном поле. Энергетический спектр. Орбитали. Понятие электронного облака. Сферически-симметричная потенциальная яма. Движение в кулоновском поле. Дискретный спектр. Волновые функции. Сплошной спектр.

Глава 7. Связь квантовой механики с классической механикой.

Теоремы Эренфеста. Минимизирующий пакет и его расплывание. Когерентные состояния. Квазиклассическое приближение. Квазиклассические условия квантования.

Глава 8. Квазирелятивистская теория.

Уравнение Дирака для свободной частицы. Матрицы Дирака и их свойства. Стационарные состояния свободной частицы. "Частицы" и "дырки". Спин. Собственные функции операторов квадрата спина и его z-проекции. Уравнение неразрывности. Уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле. Уравнение Паули. Магнитный момент электрона. Спин-орбитальное взаимодействие. Зарядовое сопряжение. Уравнение Клейна-Фока-Гордона.

6 семестр Глава 9. Теория возмущений.

Стационарные возмущения. Невырожденный случай. Случай близких уровней. Случай вырождения. Аномальный эффект Зеемана. Эффект Пашена-Бака. Эффект Штарка (линейный и квадратичный). Нестационарные возмущения, теория квантовых переходов. Постоянное возмущение. Возмущение, периодически зависящее от времени. Соотношение неопределенностей энергия-время. Вероятность перехода в единицу времени.

Глава 10. Квантовая теория рассеяния.

Эффективное сечение рассеяния. Две постановки задачи - временная и стационарная. Асимптотика решения уравнение Шредингера для стационарного состояния. Амплитуда рассеяния. Функция Грина свободной частицы. Интегральное уравнение для волновой функции. Асимптотика. Выражение амплитуды рассеяния через волновую функцию. Борновское приближение. Связь первого борновского приближения с первым порядком теории нестационарных возмущений для постоянного возмущения (без вывода). Амплитуда рассеяния в борновском приближении для сферически-симметричного потенциала. Экранированный кулоновский потенциал. Формула Резерфорда. Рассеяние на атоме. Форм-фактор. Метод парциальных волн в теории рассеяния. Фазовые сдвиги. Оптическая теорема. Рассеяние на потенциале конечного радиуса, связь фазового сдвига с логарифмической производной решения во внутренней области. Рассеяние на непроницаемой сфере. Рассеяние медленных частиц. Эффект Рамзауэра. Резонансы. Выражение амплитуды рассеяния через матричные элементы T-оператора. S- матрица, ее связь с фазовыми сдвигами (без вывода). Свойства S-матрицы в комплексной плоскости K. Полюса S-матрицы, стационарные, виртуальные, квазистационарные состояния. Квазистационарные состояния и резонансы, вид волновой функции квазистационарного состояния. Закон распада квазистационарного состояния, теорема Фока-Крылова.

Глава 11. Квантовая теория поля.

Скалярное поле. Функция Лагранжа. Функциональные производные. Уравнения Лагранжа. Функция Гамильтона, скобки Пуассона. Общая процедура квантование. Квантование скалярного поля с использованием плоских волн, сведение к системе невзаимодействующих осцилляторов. Оператор Гамильтона, операторы рождения и уничтожения, оператор импульса поля, операторы поля. Вектор состояния поля. Вакуум (физический и математический). Вакуумное среднее поля и квадрата поля. Электромагнитное поле. Векторный, скалярный потенциалы, калибровка. Квантование свободного электромагнитного поля (сведение к поперечному полю, аналогия со скалярным полем). Оператор Гамильтона, оператор импульса, оператор векторного потенциала электромагнитного поля.

Глава 12. Теория взаимодействия света с веществом.

Функция Гамильтона системы заряженных частиц и электромагнитного поля. Связь продольного и скалярного полей с кулоновским взаимодействием между частицами (без вывода). Квантование. Вектор состояния, вакуум. Одна частица в электромагнитном поле. Переходы под влиянием внешнего электромагнитного поля. Оператор взаимодействия, вероятность перехода в единицу времени. Вынужденные и спонтанные переходы. Формула Планка равновесного излучения. Дипольное приближение. Силы осцилляторов. Правила отбора (гармонический осциллятор, центральное поле). Элементарная теория фотоэффекта. Наведенные электрический и магнитный моменты. Поляризуемость системы. Вращение плоскости поляризации света.

Глава 13. Задача многих тел.

Оператор Гамильтона и волновая функция. Выделение движения центра инерции на примере системы двух частиц. Атом водорода, спектр энергии, волновая функция. Двухатомная молекула.

Глава 14. Система тождественных частиц.

Понятие тождественности частиц. Принципиальная неразличимость тождественных квантовых частиц. Симметрия волновой функции системы тождественных частиц: оператор транспозиции, его спектр, одинаковость симметрии для всех пар частиц, сохранение симметрии во времени, принцип Паули. Система тождественных невзаимодействующих частиц: операторы симметризации и антисимметризации, симметричные и антисимметричные функции, принцип исключения Паули, его приближенность, фермионы и бозоны. Приближенные методы. Необходимость приближенных методов. Полная система одноэлектронных функций, полная система детерминантных функций. Нормировка и ортогональность детерминантных функций. Разложение полной волновой функции по детерминантным. Однодетерминантное приближение. Принцип выбора наилучших одноэлектронных функций. Уравнения Хартри-Фока.

3.2. Примерный план практических занятий

5семестр

1.Операторы. Определения, свойства операторов, линейность, эрмитовское сопряжение, построение эрмитовского оператора, дифференцирование оператора.

2.Волновая функция, координатное и импульсное представления.

3.Повторное измерение, редукция волнового пакета.

4.Контрольная работа

5.Прямоугольная потенциальная яма

6.Прямоугольный потенциальный барьер

7.Периодический потенциал

8.Гребенка Дирака

9.Осциллятор

10.Однородное поле

11.Осциллятор в однородном поле

12.Контрольная работа

6семестр

-Оператор момента количества движения. Коммутационные соотношения. Сферические функции.

-Оператор поворота на конечный угол.

-Сферически симметричная потенциальная ямя конечной глубины.

-Потенциал Морса.

-Низкоэнергетическое рассеяние.

-Спин электрона, матрицы Паули.

-Определитель Слейтера.

-Контрольная работа.

3.3.Примерный перечень вопросов к экзамену по курсу

1.Измерение импульса с помощью рассеяния рентгеновских лучей

2.Измерение координаты с помощью микроскопа

3.Абстракции классической физики

4.Операторы в гильбертовом пространстве

5.Оператор умножения на независимую переменную

6.Оператор дифференцирования

7.Интегральный оператор, оператор проектирования

8.Спектр линейного самосопряженного оператора

9.Вещественность собственных чисел и ортогональность собственных векторов 10.Собственные вектора коммутирующих операторов 11.Унитарные преобразования 12.Реализации Гильбертова пространства 13.Физические величины и операторы 14.Скобки Пуассона 15.Оператор координаты 16.Дельта-функция 17.Оператор импульса 18.Оператор Гамильтона

19.Состояние системы и вектора в гильбертовом пространстве 20.Волновая функция

21.Состояние, в котором физическая величина имеет определенное значение 22.Состояние, в котором две физические величины имеют определенное значение 23.Вывод соотношения неопределенностей по Гайзенбергу 24.Теория представлений 25.Координатное и импульсное представления

26.Оператор координаты в импульсном представлении 27.Чистые и смешанные состояния, статистический оператор 28.Статистический оператор чистого состояния 29.Редукция волнового пакета 30.Развитие системы во времени 31.Оператор эволюции

32.Представление Шредингера и представление Гайзенберга. 33.Стационарные состояния 34.Прямоугольная потенциальная яма 35.Прямоугольный потенциальный барьер 36.Гребенка Дирака 37.Гармонический осциллятор

38.Частица в однородном электрическом поле 39.Оператор момента количества движения 40.Орбитальный момент количества движения 41.Спиновый момент количества движения 42.Сложение моментов

43.Качественное рассмотрение движения в центральном поле 44.Орбитали в центральном поле 45.Понятие электронного облака, его вид в центральном поле 46.Полярные диаграммы 47.Кулоновское поле

48.Спектр энергии в кулоновском и центральном полях 49.Теоремы Эренфеста 50.Волновой пакет и его расплывание 51.Когерентные состояния 52.Квазиклассическое приближение

53.Условия квантования Бора-Зоммерфельда 54.Уравнение Дирака 55.Матрицы Дирака

56.Уравнение неразрывности в теории Дирака

57.Спин из уравнения Дирака 58.Уравнение Паули 59.Магнитный момент электрона 60.Зарядовое сопряжение

61.Стационарные состояния свободной частицы 62."Частицы" и "дырки"

63.Спин-орбитальное взаимодействие 64.Теория стационарных возмущений 65.Теория возмущений для близких уровней 66.Эффект Пашена-Бака 67.Эффект Штарка

68.Различие эффекта Штарка в центральном и кулоновском полях 69.Теория нестационарных возмущений 70.Постоянное возмущение 71.Теория квантовых переходов

72.Вероятность перехода в единицу времени 73.Гармоническое возмущение 74.Постановка задачи о рассеянии 75.Амплитуда рассеяния 76.Функция Грина свободной частицы 77.Борновское приближение

78.Форм-фактор и формула Резерфорда 79.Метод парциальных волн в теории рассеяния 80.Фазовые сдвиги 81.Выражение сечения через фазовые сдвиги 82.Оптическая теорема 83.Матрица рассеяния

84.Свойства S-матрицы в комплексной плоскости $к$ 85.Полюса матрицы рассеяния и резонансы 86.Рассеяние на экранированном кулоновском потенциале 87.Квазистационарное состояние и его распад 88.Квантование скалярного поля 89.Вакуум 90.Квантование электромагнитного поля

91.Вектор состояния электромагнитного поля 92.Взаимодействие света с веществом 93.Вынужденные и спонтанные переходы 94.Дипольное приближение 95.Правила отбора 96.Элементарная теория фотоэффекта

97.Вращение плоскости поляризации 98.Волновая функция и оператор Гамильтона системы многих частиц

99.Симметрия волновой функции системы тождественных частиц 100.Фермионы и бозоны 101.Принцип Паули 102.Определитель Слейтера

103.Полный спин многоэлектронной системы 104.Уравнения Хартри-Фока

4.Учебно-методическое обеспечение курса

4.1.Активные методы обучения

Вкурсе используется традиционная лекционная форма преподавания.

4.2.Материальное обеспечение дисциплины

Стандартно оборудованная лекционная аудитория.

4.3.Литература

4.3.1.Основная

1.А.Мессиа "Квантовая механика", Т.1,Т.2, М., Наука, 1978.

2.А.С.Давыдов "Квантовая механика", М., Физ.Мат.лит., 1963.

3.В.А.Фок "Начала квантовой механики", М., Наука, 1976.

4.З.Флюгге "Задачи по квантовой механике", Т.1,Т.2, М., Мир, 1974.

4.3.2.Дополнительная

3.И. фон Нейман "Математические основы квантовой механики", М., Наука, 1964.

4.П.А.М.Дирак "Принципы квантовой механики", М., Физ.Мат.лит., 1960.

5.Г.Бете "Квантовая механика", М., Мир, 1965.

6.Л.Д.Фаддеев, О.А.Якубовский "Лекции по квантовой механике для студентовматематиков", Л., Изд.Лен.Унив., 1980.

7.Г.Ф.Друкарев "Квантовая механика", Л., Изд.Лен.Унив., 1988.

8.Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц "Квантовая механика", М., Наука, 1963.

9.В.М.Галицкий, Б.М.Карнаков, В.И.Коган "Задачи по квантовой механике", М., Наука, 1992.