Задачи - Дмитриев (6 сем 2008)

ЗАДАЧИ

по квантовой механике

3-ий курс, 6-ой семестр 2008 г.

(Можно выбрать пять задач)

1. Доказать что оператор

является интегралом движения для задачи с гамильтонианом

(операторы записаны в атомных единицах ).

Найти коммутационные соотношения для компонент .

Найти коммутаторы компонент и компонент момента количества движения.

2. Найти степенной ряд для радиальных функций сплошного спектра атома водорода в

сферических координатах. Найти волновую функцию в пределе .

3. Рассчитать интегралы для средних значений

в состояниях электрона атома водорода с квантовыми числами n,l,m.

4. Определить потенциал поля вблизи начала координат для атома водорода.

5. Найти уровни энергии для модельной системы с гамильтонианом

матрицы Паули,  - частота осциллятора, а d - дипольный момент.

6. Доказать теорему Гельмана-Фейнмана

и с ее помощью написать разложение теории возмущений для энергии.

7. Определить асимптотическую зависимость от волнового вектора к фаз рассеяния и

парциальных амплитуд рассеяния сферическим полем с радиусом действия а,

при условии, что и что энергия рассеянных частиц много меньше энергии

взаимодействия с полем на расстояниях .

8. Показать связь потенциалов ионизации и собственных значений оператора Хартри-

Фока для атомов с замкнутыми оболочками. Вывести формулу, связывающую

их энергию с потенциалами ионизации связанных электронов.

9. Доказать, что детерминант Слэтера с к_с дважды заполненными пространственными

орбиталями и к_v однократно заполненными орбиталями (спин ) является

собственным состоянием квадрата полного спина атома с (2 к_с+ к_v) электронами

(полный спин такого состояния к_v).

10. Доказать равенство Като (cusp condition) для многоэлектронной волновой функции

атома